Die Kettenregel

Wir kennen bereits die Ableitung von einfachen Funktionen. Für die Sinusfunktion, zum Beispiel, gilt:

f(x)=sin⁡(x)→f′(x)=cos⁡(x)f(x)=\sin(x) \rightarrow f'(x)=\cos(x)

Oft ist das Argument der Sinusfunktion eine andere Funktion, z. B.

f(x)=sin⁡(x2)f(x)=\sin(x^2)

oder

f(x)=sin⁡(ln⁡(x))f(x)=\sin(\ln(x))

Wir verknüpfen oder verketten also zwei Funktionen miteinander: Wollen wir den Wert von f(0.5)f(0.5) bestimmen, so müssen wir zwei Funktionen anwenden, zuerst die eine, dann die andere: Zuerst müssen wir 0.50.5 in die erste Funktion (genannt innere Funktion) einspeisen, um ln⁡(0.5)=−0.693\ln(0.5)=-0.693 zu berechnen, und dann müssen wir dieses Ergebnis in die zweite Funktion (genannt äussere Funktion) einspeisen, um sin⁡(−0.693)=−0.638\sin(-0.693)=-0.638 zu berechnen. Kurz gefasst:

0.5→ln⁡(0.5)→sin⁡(ln⁡(0.5))0.5 \rightarrow \ln(0.5) \rightarrow \sin(\ln(0.5))

Allgemeiner ausgedrückt: Wenn wir die innere Funktion mit ii und die äussere Funktion mit oo bezeichnen, kann ff geschrieben werden als

f(x)=o(i(x))f(x)=o(i(x))

und wir haben die Kette

x→i(x)→o(i(x))x \rightarrow i(x) \rightarrow o(i(x))

Damit wir solche Funktionen ableiten können, müssen wir zuerst immer die innere und äussere Funktion identifizieren. Üben wir das zuerst.

Exercise 1
F1.1

Bestimme die innere und äussere Funktionen:

  1. f(x)=cos⁡(x2)f(x)=\cos(x^2)
  2. f(x)=e3xf(x)=e^{3x}
  3. f(x)=sin⁡(−x)f(x)=\sin(-x)
  4. f(x)=log⁡3(x)f(x)=\log_{3}(\sqrt{x})
  5. f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}
  6. f(x)=2x2−2x+1f(x)=\frac{2}{x^2-2x+1}
  7. f(x)=(1−2x)10f(x)=(1-2x)^{10}
  8. f(x)=(sin⁡(x))2f(x)=\left(\sin(x)\right)^2
F1.2

Bestimme zwei verschiedene innere und äussere Funktionen für

f(x)=sin⁡(1−x2)f(x)=\sin(1-x^2)
Solution
A1.1
  1. o(x)=cos⁡(x),i(x)=x2o(x)=\cos(x), i(x)=x^2
  2. o(x)=ex,i(x)=3xo(x)=e^x, i(x)=3x
  3. o(x)=sin⁡(x),i(x)=−xo(x)=\sin(x), i(x)=-x
  4. o(x)=log⁡3(x),i(x)=xo(x)=\log_3(x), i(x)=\sqrt{x}
  5. o(x)=x,i(x)=1+x2o(x)=\sqrt{x}, i(x)=1+x^2
  6. o(x)=2x,i(x)=x2−2x+1o(x)=\frac{2}{x}, i(x)=x^2-2x+1
  7. o(x)=x10,i(x)=1−2xo(x)=x^{10}, i(x)=1-2x
  8. o(x)=x2,i(x)=sin⁡(x)o(x)=x^2, i(x)=\sin(x)
A1.2

Lösung 1: o(x)=sin⁡(1−x),i(x)=x2o(x)=\sin(1-x), i(x)=x^2 Lösung 2: o(x)=sin⁡(x),i(x)=1−x2o(x)=\sin(x), i(x)=1-x^2

Beachten, dass es manchmal mehr als eine Möglichkeit gibt, innere und äussere Funktionen zuzuweisen (siehe F2 oben). Im Allgemeinen wird es aus dem Kontext klar sein, welche man nehmen sollte.

Wie können wir also die Ableitung einer Kette von Funktionen finden? Kehren wir zu unserem Beispiel zurück

f(x)=sin⁡⏟o(ln⁡⏟i(x))f(x)=\underbrace{\sin}_{o}(\underbrace{\ln}_{i}(x))

Unser erster Instinkt ist, f′(x)=cos⁡(ln⁡(x))f'(x)=\cos(\ln(x)) zu setzen. Das ist nicht ganz falsch, aber auch nicht ganz richtig (klicke rechts, um zu sehen, dass es nicht richtig sein kann).

Show

Um die korrekte Ableitung zu erhalten, müssen wir noch einen Korrekturfaktor anwenden, und dieser Korrekturfaktor ist immer die Ableitung der inneren Funktion, in diesem Fall i′(x)=1/xi'(x)=1/x. Die korrekte Ableitung ist

f′(x)=cos⁡⏟o′(ln⁡(x)⏟i(x))⋅1x⏟i′(x)f'(x)=\underbrace{\cos}_{o'}(\underbrace{\ln(x)}_{i(x)})\cdot \underbrace{\frac{1}{x}}_{i'(x)}

Dies ist die so genannte Kettenregel:

f(x)=o(i(x))→f′(x)=o′(i(x))⋅i′(x)\boxed{f(x)=o(i(x)) \rightarrow f'(x)=o'(i(x))\cdot i'(x)}

In Worten:

  1. Identifizieren die inneren und äusseren Funktionen ii und oo
  2. Bestimme deren Ableitungen i′i' und o′o'.
  3. o′o' erhält als Input i(x)i(x), und dann wird o′(i(x))o'(i(x)) mit i′(x)i'(x) multipliziert.

Der Beweis ist eine der Übungsaufgaben. Doch zunächst einige Beispiele ... .

Example 1

Bestimme f′(1)f'(1):

  1. f(x)=cos⁡⏟o(x2⏟i(x))f(x)=\underbrace{\cos}_{o}(\underbrace{x^2}_{i(x)})

    • o(x)=cos⁡(x)→o′(x)=−sin⁡(x)o(x)=\cos(x) \rightarrow o'(x)=-\sin(x)
    • i(x)=x2→i′(x)=2xi(x)=x^2 \rightarrow i'(x)=2x
    • f′(x)=−sin⁡(x2)⋅2xf'(x)=-\sin(x^2)\cdot 2x
    • f′(1)=−sin⁡(1)⋅2=−1.683f'(1)=-\sin(1)\cdot 2 = -1.683

  2. f(x)=e−xf(x)=e^{-x}

    • o(x)=ex→o′(x)=exo(x)=e^x \rightarrow o'(x)=e^x
    • i(x)=−x→i′(x)=−1i(x)=-x \rightarrow i'(x)=-1
    • f′(x)=e−x⋅(−1)=−e−xf'(x)=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}
    • f′(1)=−e−1=−1/ef'(1)=-e^{-1}=-1/e

  3. f(x)=21+xf(x)=\frac{2}{1+\sqrt{x}}

    • o(x)=2x=2x−1→o′(x)=−2x−2o(x)=\frac{2}{x}=2x^{-1} \rightarrow o'(x)=-2x^{-2}
    • i(x)=1+x=1+x1/2→i′(x)=12x−1/2i(x)=1+\sqrt{x}=1+x^{1/2} \rightarrow i'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}
    • f′(x)=−2(1+x)−2⋅12x−1/2=−1x⋅1(1+x)2f'(x)=-2(1+\sqrt{x})^{-2}\cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} =-\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}
    • f′(1)=−11⋅1(1+1)2=−14f'(1)=-\frac{1}{\sqrt{1}}\cdot \frac{1}{\left(1+\sqrt{1}\right)^2}=-\frac{1}{4}
Exercise 2

Beweis der Kettenregel.

Solution

Wir haben f(x)=o(i(x))f(x)=o(i(x)). Wir wissen, dass

i(x+h)≈i(x)+i′(x)⋅hi(x+h)\approx i(x)+i'(x)\cdot h

Der Differentialquotient von ff ist also

f′(x)≈f(x+h)−f(x)h=o(i(x+h))−o(i(x))h=o(i(x)+i′(x)⋅h)−o(i(x))h\begin{array}{lll} f'(x) &\approx & \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=& \frac{o(i(x+h))-o(i(x))}{h}\\ &=& \frac{o\left(i(x)+i'(x)\cdot h\right)-o(i(x))}{h} \end{array}

Nun wissen wir auch, dass

o(y+s)≈o(y)+o′(y)⋅so(y+s)\approx o(y)+o'(y)\cdot s

Mit y=i(x)y=i(x) und s=i′(x)⋅hs=i'(x)\cdot h erhalten wir also

o(i(x)⏟y+i′(x)⋅h⏟s)≈o(i(x)⏟y)+o′(i(x)⏟y)⋅i′(x)⋅h⏟so(\underbrace{i(x)}_{y}+\underbrace{i'(x)\cdot h}_{s})\approx o(\underbrace{i(x)}_{y})+o'(\underbrace{i(x)}_{y})\cdot \underbrace{i'(x)\cdot h}_{s}

Setzt man dies in den obigen Differenzquotienten ein, erhält man

f′(x)≈f(x+h)−f(x)h=o(i(x+h))−o(i(x))h=o(i(x)+i′(x)⋅h)−o(i(x))h≈o(i(x))+o′(i(x))⋅i′(x)⋅h−o(i(x))h=o′(i(x))⋅i′(x)⋅hh=o′(i(x))⋅i′(x)\begin{array}{lll} f'(x) &\approx & \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=& \frac{o(i(x+h))-o(i(x))}{h}\\ &=& \frac{o\left(i(x)+i'(x)\cdot h\right)-o(i(x))}{h}\\ &\approx& \frac{o(i(x))+o'(i(x))\cdot i'(x)\cdot h-o(i(x))}{h}\\ &=& \frac{o'(i(x))\cdot i'(x)\cdot h}{h}\\ &=& o'(i(x))\cdot i'(x)\\ \end{array}

Und das gilt natürlich auch für h→0h \rightarrow 0.

q.e.d.

Exercise 3
F3.1

Bestimme mit den angegebenen Methoden die Ableitung von ff.

  1. f(x)=(x+2)2f(x)=(x+2)^2 (Ausmultiplizieren, Produktregel, Kettenregel)
  2. f(x)=(x4)2f(x)=(x^4)^2 (Potenzregel, Produktregel, Kettenregel)
  3. f(x)=(3x)2f(x)=(3x)^2 (Potenzregel, Produktregel, Kettenregel)
F3.2

Bestimme f′(x)f^\prime(x):

  1. f(x)=e(x2)f(x)=e^{(x^2)}
  2. f(x)=3sin⁡(2x)f(x)=3\sin(2x)
  3. f(x)=22x+1f(x)=\frac{2}{2x+1}
  4. f(x)=ln⁡(x2−3x+1)f(x)=\ln(x^2-3x+1)
  5. f(x)=11−xf(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}
  6. f(x)=(ln⁡(x))2f(x)=(\ln(x))^2
  7. f(x)=(ln⁡(3x))2f(x)=(\ln(3x))^2
  8. f(x)=sin⁡(2x)cos⁡(3x)f(x)=\sin(2x)\cos(3x)
F3.3

Betrachte eine Funktion, die als Quotient von zwei anderen Funktionen uu und ww geschrieben ist:

f(x)=u(x)w(x)f(x)=\frac{u(x)}{w(x)}

Zeige mit Hilfe der Kettenregel, dass Folgendes gilt:

f′(x)=u′(x)w(x)−u(x)w′(x)w(x)2f'(x)=\frac{u'(x)w(x)-u(x)w'(x)}{w(x)^2}

Aus offensichtlichen Gründen wird dies die Quotientenregel genannt.

Solution
A3.1

  1. Expandiere: f(x)=(x+2)2=x2+4x+4→f′(x)=2x+4f(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4\rightarrow f^\prime(x)=2x+4

    Kettenregel: f′(x)=2(x+2)1⋅1=2x+4f^\prime(x)=2(x+2)^1\cdot 1=2x+4

    Produktregel: f(x)=(x+2)(x+2)→f′(x)=1⋅(x+1)+(x+1)⋅1=2(x+2)f(x)=(x+2)(x+2) \rightarrow f'(x)=1\cdot(x+1)+(x+1)\cdot 1= 2(x+2)

  2. Potenzregel: f(x)=(x4)2=x8→f′(x)=8x7f(x)=(x^4)^2=x^8 \rightarrow f^\prime(x)=8x^7

    Kettenregel: f′(x)=2(x4)⋅4x3=8x7f^\prime(x)=2(x^4)\cdot 4x^3 =8x^7

    Produktregel: f(x)=x4⋅x4→f′(x)=4x3⋅x4+x4⋅4x3=8x7f(x)=x^4\cdot x^4 \rightarrow f'(x)=4x^3 \cdot x^4+x^4\cdot 4x^3= 8x^7

  3. Potenzregel: f(x)=(3x)2=32x2=9x2→f′(x)=18xf(x)=(3x)^2=3^2 x^2 =9x^2\rightarrow f^\prime(x)=18x

    Kettenregel: f′(x)=2(3x)1⋅3=18xf^\prime(x)=2(3x)^1 \cdot 3 =18x

    Produktregel: f(x)=3x⋅3x→f′(x)=3⋅3x+3x⋅3=18xf(x)=3x\cdot 3x \rightarrow f'(x)=3\cdot 3x+3x\cdot 3=18x

A3.2

  1. f(x)=e(x2)→f′(x)=e(x2)⋅2xf(x)=e^{(x^2)} \rightarrow f^\prime(x)=e^{(x^2)}\cdot 2x

  2. f(x)=3sin⁡(2x)→f′(x)=3cos⁡(2x)⋅2=6cos⁡(2x)f(x)=3\sin(2x)\rightarrow f^\prime(x)=3\cos(2x)\cdot 2=6\cos(2x)

  3. f(x)=22x+1=2⋅(2x+1)−1⏟Kettenregel anwenden→f′(x)=2⋅(−1)(2x+1)−2⋅2=−4(2x+1)2f(x)=\frac{2}{2x+1}=2\cdot \underbrace{(2x+1)^{-1}}_{\text{Kettenregel anwenden}}\rightarrow f^\prime(x)=2\cdot(-1)(2x+1)^{-2}\cdot 2=-\frac{4}{(2x+1)^2}

  4. f(x)=ln⁡(x2−3x+1)→f′(x)=1x2−3x+1⋅(2x−3)=2x−3x2−3x+1f(x)=\ln(x^2-3x+1)\rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{x^2-3x+1}\cdot(2x-3)=\frac{2x-3}{x^2-3x+1}

  5. f(x)=11−x=(1−x)−1/2→f′(x)=−12(1−x)−3/2⋅(−1)=12(1−x)−3/2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}=(1-x)^{-1/2} \rightarrow f^\prime(x)=-\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}\cdot(-1)=\frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}

  6. f(x)=(ln⁡(x))2→f′(x)=2ln⁡(x)⋅1x=2ln⁡(x)xf(x)=(\ln(x))^2\rightarrow f^\prime(x)=2\ln(x)\cdot \frac{1}{x}=\frac{2\ln(x)}{x} (beachte, dass i(x)=ln⁡(x)i(x)=\ln(x))

  7. f(x)=(ln⁡(3x))2→f′(x)=2ln⁡(3x)⋅13x⋅3=2ln⁡(3x)xf(x)=(\ln(3x))^2 \rightarrow f^\prime(x)=2\ln(3x)\cdot \frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{2\ln(3x)}{x} (beachte, dass i(x)=ln⁡(3x)i(x)=\ln(3x), also brauchen wir wieder die Kettenregel, um i′i^\prime zu finden). Natürlich kann auch die Produktregel verwendet werden.

  8. Wir müssen die Produktregel und die Kettenregel verwenden:

    f(x)=sin⁡(2x)⏟u(x)⋅cos⁡(3x)⏟v(x)f(x)=\underbrace{\sin(2x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{\cos(3x)}_{v(x)}

    f′(x)=cos⁡(2x)⋅2⏟u′(x)⋅cos⁡(3x)⏟v(x)+sin⁡(2x)⏟u(x)⋅−sin⁡(3x)⋅3⏟v′(x)f'(x)=\underbrace{\cos(2x)\cdot 2}_{u'(x)} \cdot \underbrace{\cos(3x)}_{v(x)}+\underbrace{\sin(2x)}_{u(x)}\cdot \underbrace{-\sin(3x)\cdot 3}_{v'(x)}

A3.3
f(x)=u(x)w(x)=u(x)1w(x)=u(x)⋅(w(x))−1⏟v(x)f(x)=\frac{u(x)}{w(x)}=u(x)\frac{1}{w(x)} =u(x)\cdot \underbrace{(w(x))^{-1}}_{v(x)}

Unter Anwendung der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir

f′(x)=u′(x)⋅(w(x))−1⏟v(x)+u(x)⋅−1⋅(w(x))−2⋅w′(x)⏟v′(x)=u′(x)w(x)−u(x)w′(x)w(x)2=u′(x)w(x)w(x)2−u(x)w′(x)w(x)2=u′(x)w(x)−u(x)w′(x)w(x)2\begin{array}{lll} f'(x) & = & u'(x)\cdot \underbrace{(w(x))^{-1}}_{v(x)} + u(x)\cdot \underbrace{-1\cdot (w(x))^{-2}\cdot w'(x)}_{v'(x)}\\ & = & \frac{u'(x)}{w(x)}-\frac{u(x)w'(x)}{w(x)^2}\\ & = & \frac{u'(x)w(x)}{w(x)^2}-\frac{u(x)w'(x)}{w(x)^2}\\ & = & \frac{u'(x)w(x)-u(x)w'(x)}{w(x)^2}\\ \end{array}