Stammfunktionen finden

Der Schlüssel zum Lösen von Integralen ist, wie wir gesehen haben, das Finden von Stammfunktionen. Hier besprechen wir einige Methoden, wie man solche finden kann. Im Allgemeinen ist es jedoch keineswegs trivial, für jede beliebige Funktion eine Stammfunktion zu finden!

Bevor wir das jedoch tun, möchten wir hier bemerken, dass eine Funktion ff nicht nur eine, sondern unendlich viele Stammfunktionen hat! Wieso?

Exercise 1

Gegeben ist die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2.

  1. Finde eine Stammfunktion von ff.

  2. Finde eine weitere Stammfunktion von ff.

  3. Argumentiere, dass es unendlich viele Stammfunktionen hat.

  4. Spielt es eine Rolle, welche Stammfunktion ich nehme, um das Integral zu bestimmen:

    ∫abx2 dx\int_a^b x^2\, dx

    Argumentiere.

Solution

  1. Um eine Stammfunktion von ff zu finden, müssen wir eine Funktion FF finden, deren Ableitung ff ist. Das heisst, man muss FF finden mit

    F′(x)=x2F'(x)=x^2

    Wenn wir ein bisschen herumprobieren, sehen wir, dass

    F(x)=13x3F(x)=\frac{1}{3}x^3

    eine solche Funktion ist. In der Tat gilt

    F′(x)=13⋅3x2=x2F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2 = x^2

  2. Addieren wir eine Konstante dazu,

    G(x)=13x3+1G(x)=\frac{1}{3}x^3+1

    so ist dies wieder eine Stammfunktion, denn die Ableitung einer Konstanten ist 00:

    G′(x)=13⋅3x2+0=x2G'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2 + 0 =x^2

  3. Wir sehen also sofort, dass es unendlich viele Stammfunktionen von ff gibt, wir können einfach eine beliebige Konstante addieren:

    13x3,13x3+1,13x3−1.34,13x3+100000.01,...\frac{1}{3}x^3, \frac{1}{3}x^3+1, \frac{1}{3}x^3-1.34, \frac{1}{3}x^3+100000.01, ...

    In der Tat kann gezeigt werden, dass alle Stammfunktion von ff sich um eine Konstante unterscheiden müssen. Das zeigen wir hier aber nicht.

  4. Nein, das spielt keine Rolle, denn die Konstante fällt bei der Subtraktion F(b)−F(a)F(b)-F(a) weg. Bezeichnen wir die Konstante mit cc, wobei cc eine beliebige Zahl sein kann, so ist unsere Antiderivative

    F(x)=13x3+cF(x)=\frac{1}{3} x^3+c

    Wir haben dann

    ∫abx2 dx=F(b)−F(a)=(13b3+c)−(13a3+c)=13b3−13a3+c−c=13b3−13a3\begin{array}{lll} \int_a^b x^2\, dx &=& F(b)-F(a)\\ &=& \left(\frac{1}{3} b^3 +c \right) - \left(\frac{1}{3} a^3 +c \right)\\ &=& \frac{1}{3} b^3 - \frac{1}{3} a^3 +c -c\\ &=& \frac{1}{3} b^3 - \frac{1}{3} a^3 \end{array}

    Wir sehen also, dass die Konstante cc keinen Einfluss auf das Resultat hat.

Besprechen wir nun einige Strategien, um die Stammfunktion einer Funktion zu finden.

Es ist hilfreich, sich das Finden der Stammfunktion als aufwärts gehend vorzustellen, während das Finden der Ableitung als abwärts gehend erfolgt:

FF↓′↑∫ff\begin{array}{lll} F & & F\\ \downarrow ' & & \uparrow \int\\ f & & f \\ \end{array}

Beachte das Integralzeichen ∫\int rechts neben dem Pfeil. Es wird oft verwendet, um den Vorgang des Auffindens der Stammfunktion anzuzeigen. Aus dem gleichen Grund wird die Stammfunktion auch oft mit einem Grossbuchstaben bezeichnet. Das finden der Stammfunktion wird auch oft als "Aufleiten" bezeichnet.

Wie finden wir also die Antiderivative einer bestimmten Funktion ff? Die allgemeine Strategie ist, jede bekannte Funktion zu besuchen und zu prüfen, ob ihre Ableitung die gewünschte Funktion ff ist:

?↓′f\begin{array}{lll} ? \\ \downarrow ' \\ f \\ \end{array}

Auf diese Weise finden wir schnell die Stammfunktion von einigen Grundfunktionen:

exsin⁡(x)−cos⁡(x)ln⁡(x)′↓↑∫′↓↑∫′↓↑∫′↓↑∫excos⁡(x)sin⁡(x)x−1\boxed{\begin{array}{cccc} e^x & \sin(x) & -\cos(x) & \ln(x)\\ '\downarrow \uparrow\int & '\downarrow\uparrow\int & '\downarrow \uparrow\int & '\downarrow \uparrow\int\\ e^x & \cos(x) & \sin(x) & x^{-1} \\ \end{array}}

Und aus den Regeln der Differentialrechnung sehen wir, wie man die Stammfunktion von einer gewichteten Summe von Funktionen ist:

GHa⋅G+b⋅H′↓↑∫′↓↑∫⇒′↓↑∫gha⋅g+b⋅h\boxed{\begin{array}{cccc} G & H & & a\cdot G+ b\cdot H\\ '\downarrow\uparrow\int & '\downarrow\uparrow\int & \Rightarrow & '\downarrow \uparrow\int\\ g & h & & a\cdot g+ b\cdot h \\ \end{array}}
Example 1

Finde die Stammfunktion von f(x)=3cos⁡(x)−5exf(x)=3\cos(x)-5e^x.

Solutionsin⁡(x)ex3sin⁡(x)−5ex′↓↑∫′↓↑∫⇒′↓↑∫cos⁡(x)ex3cos⁡(x)−5ex\boxed{\begin{array}{cccc} \sin(x) & e^x & & 3\sin(x)-5 e^x\\ '\downarrow \uparrow\int & '\downarrow \uparrow\int & \Rightarrow & '\downarrow \uparrow\int\\ \cos(x) & e^x & & 3\cos(x)-5 e^x\\ \end{array}}

Schliesslich wollen wir noch die Stammfunktion von Potenzfunktionen xnx^n besprechen. Wir wissen, dass die Ableitung einer Potenzfunktion im wesentlichen durch Erniedrigung der Potenz um eins erhalten wird, also ist ein Kandidat für die Stammfunktion xn+1x^{n+1}, müssen aber einen Multiplikationsfaktor hinzufügen:

xn+11n+1⋅xn+1′↓↑∫′↓↑∫(n+1)⋅xnxn\boxed{\begin{array}{cccc} x^{n+1} & \frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}\\ '\downarrow \uparrow\int & '\downarrow \uparrow\int\\ (n+1)\cdot x^n & x^n\\ \end{array}}

Die Regel, um die Stammfunktion von xnx^n zu finden, lautet also

(Beachte, dass das Addieren der Potenz um 11, um die Stammfunktion zu erhalten, und das Subtrahieren um 11, wenn wir die Ableitung nehmen, gut zu unserer Vorstellung von Aufwärts und Abwärts passt.)

Es gibt aber eine Ausnahme von dieser Regel. Was ist die Stammfunktion von

x−1x^{-1}

(also n=−1n=-1)? Die oben besprochene Regel wird hier nicht funktionieren, denn die Erhöhung des Exponenten mit 11 ergibt 00, und was die Division durch 00 sein soll ist unklar. In der Tat haben wir oben gesehen, dass die Antiderivative von x−1x^{-1} ln⁡(x)\ln(x) ist:

10⋅x0 ??ln⁡(x)↑∫↑∫x−1x−1\begin{array}{cccc} \frac{1}{0} \cdot x^{0}\,?? & \ln(x)\\ \uparrow \int & \uparrow \int\\ x^{-1} & x^{-1} &\\ \end{array}
Exercise 2

Bestimme die Stammfunktion der folgenden Funktionen:

  1. f(x)=3f(x)=3 for all xx (konstant Funktion)

  2. f(x)=2xf(x)=2x

  3. f(x)=xf(x)=\sqrt{x}

  4. f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2}

  5. f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}

  6. f(x)=2x3+4x+1f(x)=2x^3+4x+1

  7. f(x)=(x−1)2f(x)=(x-1)^2

  8. f(x)=2x+3exf(x)=\frac{2}{x}+3e^x

Solution
  1. f(x)=3x0f(x)=3x^0 (also n=0n=0). Es folgt F(x)=3⋅10+1x0+1=3xF(x)=3\cdot \frac{1}{0+1} x^{0+1}=3x
  2. f(x)=2x1f(x)=2 x^1 (also n=1n=1). Es folgt F(x)=2⋅11+1x1+1=x2F(x)=2\cdot \frac{1}{1+1}x^{1+1}=x^2
  3. f(x)=x0.5f(x)=x^{0.5} (also n=0.5n=0.5). Es folgt F(x)=11+0.5x1+0.5=23x3/2F(x)=\frac{1}{1+0.5}x^{1+0.5} = \frac{2}{3}x^{3/2}
  4. f(x)=x−2f(x)=x^{-2} (also n=−2n=-2). Es folgt F(x)=1−2+1x−2+1=−x−1=−1xF(x)=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} =-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
  5. f(x)=2x−1f(x)=2 x^{-1} (also n=−1n=-1). Es folgt F(x)=2ln⁡(x)F(x)=2\ln(x)
  6. F(x)=2⋅13+1x3+1+4⋅11+1x1+1+1⋅10+1x0+1=12x4+2x2+xF(x)=2\cdot\frac{1}{3+1}x^{3+1}+4\cdot \frac{1}{1+1} x^{1+1} + 1\cdot\frac{1}{0+1}x^{0+1}=\frac{1}{2}x^4+2x^2+x
  7. f(x)=x2−2x+1f(x)=x^2-2x+1, also F(x)=13x3−2⋅12x2+11x=13x3−x2+xF(x)=\frac{1}{3}x^3-2\cdot \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{1}x=\frac{1}{3}x^3-x^2+x
  8. f(x)=21x+3exf(x)=2\frac{1}{x}+3e^x, also F(x)=2ln⁡(x)+3exF(x)=2\ln(x)+3e^x