Der Beweis des Fundamentalsatzes

Es gibt zwei überraschende Fakten über den Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis. Erstens stellt sich heraus, dass der Beweis recht einfach ist, und zweitens verwenden wir im Beweis keine Summe von Balkenflächen, sondern Differentialrechnung. Genauer, es wird untersuch, wie sich eine Fläche unter einer Kurve vergrössert.

Das Folgende wollen wir als beweisen. Für eine beliebige Funktion $f$ und eine Funktion $F$ mit $F'=f$ gilt

Um den Beweis zu beginnen, definieren wir $F$ wie folgt (siehe Abbildung unten):

Nun ist dies in der Tat eine seltsame Funktion. Sie ist weder durch eine algebraische Regel definiert, noch haben wir gegenwärtig die Möglichkeit, den genauen Ausgabewert $y$ für einen gegebenen Eingabewert $x$ zu bestimmen. Aber auch wenn wir den Ausgabewert nicht kennen, gibt es eindeutig einen, denn der Bereich unter der Kurve $f$ zwischen $0$ und $x$ hat eine Fläche. Jede Eingabe hat also eine Ausgabe, nur kennen wir den Ausgabewert nicht. Trotzdem können wir sehen, dass diese Funktion eine sehr interessante Eigenschaft hat:

Und warum? Erstens wissen wir bereits, dass die linke Seite, das Integral, die Vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve zwischen $a$ und $b$ ist, also die schattierte Fläche in der Abbildung unten (Bild unten, links). Zweitens ist $F(a)$ die Fläche zwischen $0$ und $a$ (Bild unten, Mitte), und $F(b)$ ist die Fläche zwischen $0$ und $b$ (Bild unten, Rechts), also ist $F(b)-F(a)$ ebenfalls die Fläche zwischen $a$ und $b$.

Wenn wir also zeigen können, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, daher $F'(x)=f(x)$ für alle $x$, dann haben wir den Satz bewiesen. Dazu vergrössern wir den Input $x$ der Funktion $F$ ein klein wenig, um den Betrag $\Delta x$, so dass wir nun $F(x+\Delta x)$ betrachten. Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Von der Skizze oben sehen wir, dass gilt

und es ist intuitiv klar, dass die Approximation für immer kleinere $\Delta x$ immer besser wird. Nimmt man $F(x)$ auf die andere Seite und dividiert beide Seiten durch $\Delta x$, so erhält man

Die obige Näherung ergibt sich aus unserer Definition von $F$ als die Fläche von $0$ bis $x$. Aus der Differentialrechnung wissen wir nun, dass die rechte Seite gegen $F'(x)$ strebt für $\Delta x\rightarrow 0$. Tatsächlich ist der rechte Ausdruck einfach der Differenzenquotient von $F$, und Differenzenquotienten konvergieren immer gegen Ableitungen!

Wir haben also für $\Delta x\rightarrow 0$:

Dies gilt für jeden Input $x$. Wir sehen also, dass $F$ in der Tat eine Stammfunktion von $f$ ist. Der Fundamentalsatz ist somit bewiesen.