Mengen

Eine Menge in der Mathematik ist im wesentlichen das, was wir auch in der Umgangssprache darunter verstehen: eine Liste von Dingen. Es gibt aber noch ein paar weitere Eigenschaften von Mengen, die wir genauer definieren müssen.

Der Begriff der Menge ist fundamental in der Mathematik und kommt überall vor. Um über Mengen zu sprechen, verwenden wir eine spezielle Notation mit vielen verschiedenen Symbolen. Es ist wichtig, diese zu verstehen.

Definition 1

Eine Menge ist eine Liste oder Sammlung von Dingen, wobei es keine Rolle spielt, wie diese Dinge in der Liste angeordnet sind, noch wie oft sie auftreten. Diese Dinge können alles mögliche sein und werden Elemente der Menge genannt.

Zum Beispiel, die Menge der Element Münze, Schlüssel und Taschentuch schreiben wir wiefolgt:

\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}

Wie oben zu sehen ist, setzen wir die Liste der Komma-getrennten Objekte in geschweifte Klammern. Dies ist wichtig, um zu sagen, dass wir diese Liste als eine Menge behandeln.

Wenn wir der Menge einen Namen geben wollen, wie $A$ , schreiben wir

A = \{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}

(sprich: $A$ ist die Menge mit den Elementen Münze, Schlüssel und Taschentuch) und wenn wir die Menge mit einem Bild darstellen wollen, verwenden wir ein Venn-Diagramm, das einfach ein Kreis ist, der die Elemente der Liste enthält:

wie in der Definition angegeben, haben Mengen zwei wichtige Eigenschaften:

Die Reihenfolge der Elemente ist nicht wichtig: wir betrachten also die beiden Mengen
$\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}$
und
$\{\textnormal{Schlüssel, Taschentuch, Münze}\}$
als gleich. Es sind die gleichen Mengen.
Wie oft ein Element vorkommt, ist auch nicht wichtig. Wir betrachten also die beiden Mengen
$\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}$
und
$\{\textnormal{Schlüssel, Münze, Münze, Schlüssel, Schlüssel, Taschentuch, Münze}\}$
als gleich. Es sind die gleichen Mengen.

Definition 2

Falls zwei Mengen $A$ und $B$ gleich sind, also die gleichen Elemente enthalten, so schreiben wir

\boxed{A=B}

Sind sie nicht gleich, schreiben wir

\boxed{A\neq B}

Exercise 1

Gilt $A=B$ ?

$A=\{1,4,5,4\}, B=\{5,4,2\}$
$A=\{\text{rot},-2,\text{gross}, \text{Haus}\}, B=\{\text{Haus}, \text{gross}, -2, -2, -2\}$
$A=\{1,4,5,4\}, B=\{1,1,4,5,5,5\}$

Solution

nein
nein
ja

Note 1

In der Mathematik verwenden wir auch Listen, bei denen die Reihenfolge wichtig ist. Solche Listen nennen wir Tupel, und um diese Arten von Listen zu kennzeichnen, verwenden wir runde Klammern $(...)$ . Zum Beispiel wird die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem durch ein Tupel von Koordinaten beschrieben, z.B.

(1,2)

Es ist klar, dass die Position $(2,1)$ sich von der Position $(1,2)$ unterscheidet. Die Position eines Punktes als Menge $\{1,2\}$ anzugeben ist also nicht sinvoll, da dann nicht klar ist, welche Position wir meinen.

Universalmengen und die leere Menge

Eine Menge ist immer in einem "Universum" von gewissen Dingen eingebettet. Zum Beispiel ist die Menge

A=\{1,2,3\}

im Universum der natürlichen Zahlen

\{1,2,3,4,5,...\}

eingebettet, und die Menge

\{\textnormal{Münze, Schlüssel, Taschentuch}\}

im Universum der "Dinge, die wir oft bei uns tragen".

Diese "Universen" sind ebenfalls Mengen, die wir als Universalmengen (oder Grundmengen) bezeichnen. Eine Universalmenge wird oft mit $U$ gekennzeichnet, und wird im Venn-Diagramm als Rechteck gezeichnet:

Das obige Diagramm zeigt die Menge $A=\{1,2,3\}$ , die in der Universalmenge $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ eingebettet ist. Beachte, dass die Menge $A$ in vielen möglichen Universalmengen vorkommen kann, zum Beispiel ist $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ eine weitere. Welche wir wählen, ist oft nicht wichtig, und wenn doch, müssen wir genau angeben, welche wir meinen. Später wird das hoffentlich klarer werden.

Definition 3

Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält, und wir bezeichnen sie mit

\boxed{\{\} \text{ oder }\phi}

Ist Element von

Gegeben sei eine Menge $A$ , die in der Universalmenge $U$ eingebettet ist, und ein Element $u$ , das in $U$ ist. Nun, $u$ ist entweder in $A$ oder nicht. Wenn es in $A$ ist, schreiben wir

\boxed{u \in A}

(wir sagen: $u$ ist ein Element von $A$ ). Wenn $u$ nicht in $A$ ist, schreiben wir

\boxed{u \not\in A}

(wir sagen: $u$ ist kein Element von $A$ ).

Exercise 2

Welche dieser Aussagen sind richtig? Nehmen wir an, dass die Universalmenge

U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

ist (dies ist hier aber nicht wirklich wichtig).

$1\in \{2,3,4\}$
$3\in \{4,3,3,2,1\}$
$\{3\} \in \{1,2,3,4,5\}$

Solution

nein
ja
nein, da $\{3\}$ da nicht in $\{1,2,3,4,5\}$ ist. Das Element $\{3\}$ wäre in $\{1,2,\{3\},4,5\}$ .

Möglichkeiten, eine Menge zu definieren

Grundsätzlich gibt es zwei Methoden, wie wir eine Menge beschreiben können. Entweder wir schreiben einfach alle Elemente der Menge auf - das nennt man die explizite Methode. Oder wir geben eine Regel oder Beschreibung an, die deutlich macht, welche Elemente in der Menge sein müssen - das nennt man die implizite Methode.

Hier sind einige Beispiele:

$A=\{1,2,3,5\}$ ist eine explizite Methode
$B=\,$ "natürliche Zahlen von $1$ bis $5$ " ist eine implizite Methode.
$C=\,$ "die Lösungen der Gleichung $x^2=4$ " ist eine implizite Methode.
$D=\{2,4,6,...,10\}$ ist eine implizite Methode. "Alle geraden Zahlen von $2$ bis $10$ ."
$E=\{2,4,6,...\}$ ist eine implizite Methode. "Alle geraden Zahlen von $2$ bis unendlich."

Die drei Punkte ( $...$ ) stehen für "und so weiter". Die explizite Methode ist nur bei Mengen mit wenigen Elementen praktikabel.

Exercise 3

Betrachte die Menge $A=\,$ "Vielfaches von 3". Welche Aussagen sind richtig?
1. $4\in A$
2. $21\not\in A$
3. $111 \in A$
Schreibe die explizite Form der Mengen
1. $A=\,$ "alle ungeraden Zahlen zwischen $0$ und $20$ , die auch Primzahlen sind"
2. $L=\,$ "die Lösungen der Gleichung $3x+15=0$ "

Solution

1. nein
nein
ja
$A=\{3,5,7,11,13,17,19\}$
$L=\{-5\}$

Die Kardinalität von Mengen

Die Anzahl der verschiedenen Elemente in einer Menge $A$ heisst Kardinalität von $A$ und wird mit

\boxed{\vert A \vert}

bezeichnet.

Example 1

$A=\{1,4,6\}$ , also $|A|=3$
$B=\{1,1,1,4,4,6,6,6,6\}$ , also $|B|=3$ (da die Kardinalität die minimale Anzahl an Elementen in der Menge ist, und wir können schreiben $B=\{1,4,6\}$
$|\{2,4,6,8,...,20\}|=10$
$|\{2,4,6,8,...\}|=\infty$ (unendlich)

Teilmengen

Betrachte zwei Mengen $A$ und $B$ . Wir sagen, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist, geschrieben

\boxed{A \subset B}

wenn jedes Element von $A$ auch in $B$ enthalten ist. Mit anderen Worten: $A$ ist "innerhalb" von $B$ . Wenn $A$ nicht eine Teilmenge von $B$ ist, schreiben wir

\boxed{A \not\subset B}

In diesem Fall ist nicht jedes Element von $A$ in $B$ enthalten.

Offensichtlich ist das Venn-Diagramm für $A\subset B$ wie folgt:

Example 2

Für $A=\{1,2,5\}$ und $B=\{1,2,3,4,5\}$ gilt $A\subset B$
Für $A=\{1,2,2,5,1,5\}$ und $B=\{1,2,3,4,5\}$ gilt $A\subset B$
Für $A=\{1,2,5\}$ und $B=\{1,2,6\}$ gilt $A\not\subset B$

Beachte, dass die folgenden Aussagen immer richtig sind:

Theorem 1

$A \subset A$
$\{\} \subset A$ (es gibt nichts zu prüfen, also ist die Aussage "jedes Element von $\{\}$ ist in $A$ " nicht falsch, also richtig).
falls $A\subset B$ und $B\subset A$ ( $A$ enthält $B$ und $B$ enthält $A$ ), dann müssen die beiden Mengen die gleichen Elemente haben und sind daher gleich, d.h. es muss gelten $A=B$ .

Exercise 4

Welche Paare von Mengen sind Teilmengen voneinander?
1. $A=\{2\}$
2. $B$ ="alle geraden Zahlen"
3. $C$ ="alle Primzahlen"
4. $D$ ="alle ungeraden Zahlen"
Welche Aussagen sind richtig?
1. $3 \in \{1,2,3\}$
2. $\{3\} \in \{1,2,3\}$
3. $\{3\} \subset \{1,2,3\}$

Solution

$A\subset B, A\subset C$
Es ist
1. ja
2. nein
3. ja

Definition 4

Die Potenzmenge einer Menge $A$ , geschrieben als

P(A)

ist die Menge aller Teilmengen von $A$ .

Example 3

Gegeben sei die Menge $A=\{1,2\}$ . Die Teilmengen von $A$ sind

\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}

Wir haben also

P(A)=\{ \{\},\{1\},\{2\},\{1,2\} \}

Mengenoperationen

Betrachten wir zwei Mengen $A$ und $B$ . Mit den folgenden Operationen können wir weitere Mengen bilden:

Die Schnittmenge von $A$ und $B$

Die Schnittmenge von $A$ und $B$ , geschrieben

\boxed{A\cap B}

ist definiert als die Menge aller Elemente, die in $A$ und in $B$ sind. Somit enthält $A \cap B$ die gemeinsamen Elemente von $A$ und $B$ . Im Venn-Diagramm ist dies der Teil, in dem sich $A$ und $B$ überschneiden (unten, links):

$A$ und $B$ heissen disjunkt, wenn $A$ und $B$ sich nicht schneiden und somit keine Elemente gemeinsam haben, d.h. wenn $A\cap B=\{\}$ . Im Venn-Diagramm überschneiden sich $A$ und $B$ nicht (oben, rechts).

Example 4

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $B=\{3,4,5,6\}$ ist $A\cap B=\{4,6\}$ .
Für $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{4,5\}$ ist $A\cap B=\{\}$ (keine gemeinsamen Elemente)

Die Vereinigung von $A$ und $B$

Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ , geschrieben

\boxed{A\cup B}

ist definiert als die Menge aller Elemente, die in $A$ oder in $B$ sind. Somit enthält $A \cup B$ alle Elemente von $A$ und $B$ (sie werden zusammengeführt). Im Venn-Diagramm ist dies die gesamte Fläche von $A$ und $B$ (unten, links):

Beachte, dass der Satz "Wir nehmen ein Element, das in $A$ oder in $B$ ist" zwei Bedeutungen haben kann. Die Bedeutung des inklusiven Oder ist, dass wir ein Element nehmen, das in $A$ , in $B$ oder in beiden ist. Dieses einschliessende "oder" entspricht der Mengenoperation $\cup$ , wie sie oben definiert wurde. Die Bedeutung des exklusiven Oder ist, dass wir ein Element nehmen, das entweder in $A$ oder in $B$ ist, aber nicht in beiden. Das Venn-Diagramm für diese Operation (für die wir kein Symbol einführen) ist oben rechts dargestellt.

Example 5

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $B=\{3,4,5,6\}$ ist $A\cup B=\{2,3,4,5,6,8\}$ (alle Elemente die in $A$ , in $B$ und in beiden Mengen sind).

Würden wir das exklusive oder anwenden, bekämen wir die Menge aller Elemente, die in $A$ , in $B$ aber nicht in beiden ist, also $\{2,3,5,8\}$ .

$A$ ohne $B$ (oder $A$ minus $B$ )

Die Menge Differenzmenge (oder A ohne B, oder A minus B), geschrieben

\boxed{A \setminus B}

ist definiert als die Menge aller Elemente, die in A aber nicht in B sind. Im Venn-Diagramm (unten, links) ist dies der Teil von $A$ ohne $B$ :

Example 6

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $B=\{3,4,5,6\}$ ist $A\setminus B=\{2,8\}$ (wir nehmen alle Elemente von $B$ aus $A$ heraus).

Das Komplement von $A$

Die Komplementärmenge von $A$ , geschrieben

\boxed{A^c \text{ oder } \overline{A} \text{ oder } A^{\prime}}

ist die Menge aller Elemente in der Universalmenge von $U$ , die nicht in $A$ liegen. Wir können also schreiben

A^c=U\setminus A

Das Venn-Diagramm ist unten dargestellt.

Example 7

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ gilt $A^c=\{1,3,5,7,9,10\}$ .
Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{2,4,6,8,9\}$ gilt $A^c=\{9\}$ .
Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{2,4,6,8\}$ gilt $A^c=\{\}$ .

Aus dem obigen Beispiel geht hervor, dass das Komplement von $A$ stark von der Universalmenge $U$ abhängig ist. Ohne diese Menge zu kennen, können wir das Komplement nicht bilden.

Venn-Diagramme für drei Mengen

Oft haben wir es mit allgemeinen Mengen zu tun, ohne zu wissen, welche Elemente sie enthalten. In diesem Fall nehmen wir immer an, dass sich die Mengen schneiden, da dies alle Möglichkeiten abdeckt (es kann sich heraustellen, dass die Schnittmemge leer ist, aber das ist ja nicht schlimm). Würden wir von Anfang an ohne Begründung annehmen, dass sich die Mengen nicht schneiden, machen wir schon ein Einschränkung, die nicht stimmen muss.

Daraus folgt, dass in einem Venn-Diagramm die allgemeinen Mengen so gezeichnet werden müssen, dass sie sich alle überschneiden. Im Fall von drei Mengen $A, B$ und $C$ ist das noch machbar (siehe unten). Das Zeichnen von Venn-Diagrammen mit mehr als drei Mengen wird unpraktisch.

Exercise 5

F1

Schreibe alle Teilmengen von $A$ auf.

$A=\{1,2\}$
$A=\{1,2,3\}$
Ganz allgemein: wie viele Teilmengen enthält eine allgemeine Menge $A$ mit $n$ Elementen ( $n$ ist eine beliebige aber fixe Nummer, wie etwa $3$ , oder $10$ )? Finde eine Formel.
Stimmt die Formel $|P(A)|=2^{|A|}$ für eine Menge $A$ ?

F2

Gegeben sind die Mengen

\begin{array}{ll} A &=& \text{"ungerade Zahlen kleiner als 10"}\\ B &=& \{4,5,6,7,8\}\\ C &=& \{1,2,3,4,5\} \end{array}

Die Universalmenge ist $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ . Bestimme die folgenden Mengen:

$A\cup B$
$A\cap B$
$A^c$
$A\setminus B$
$A\cap B\cap C$
$A\cup(A\cap C)$

F3

Gegeben sind die Mengen $A$ , $B$ , und $C$ . Zeichne die Venn-Diagramme der folgenden Mengen:

$A\cap B$
$A\cap (B\cup C)$
$A^c \cap B^c$

F4

Welche Aussagen sind richtig? Argumentiere mit Hilfe von Venn-Diagrammen.

$(A\cap B)\subset A$
$A\subset (A\cup B)$
$A\subset A^c$
$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$
$A\setminus B=A\cap B^c$
$(A^c)^c=A$
$|A\cup B|\leq |A|+|B|$

F5

Drücke die folgenden Venn-Diagramme nur mit Hilfe von Schnittmenge, Vereinigung und Komplement aus:

F6

$A$ und $B$ haben die Universalmenge $U$ . Es gilt $|U|=10$ , $|A|=3$ , $|B|=4$ , und $|A\cup B|=5$ . Bestimme

$|A\cap B|$
$|B\setminus A|$
$|A^c|$

F7

Vereinfache die folgenden Ausdrücke:

$A\cap A$
$A\cup A$
$A\cap \overline{A}$
$A\cup (A\setminus B)$
$A\cap (A\cup B)$
$(A\setminus B)\cap (A\cap B)$

F8

Was für eine Menge erhält man, wenn alle unten stehenden Mengen (1)-(8) vereinigt werden?

$A\cap B\cap C$
$A^c\cap B\cap C$
$A\cap B^c\cap C$
$A\cap B\cap C^c$
$A^c\cap B^c\cap C$
$A^c\cap B\cap C^c$
$A\cap B^c\cap C^c$
$A^c\cap B^c\cap C^c$

Solution

A1

A2

$A\cup B = \{1,3,4,5,6,7,8,9\}$
$A\cap B = \{5,7\}$
$A^c = \{2,4,6,8,10,11\}$
$A\setminus B = \{1,3,9\}$
$A\cap B\cap C = \{5\}$
$A\cup(A\cap C) = \{1,3,5,7,9\}$

A3

A4

A5

$A\cap B$
$(A\cup B) \cap (A\cap B)^\prime$ or $(A^\prime \cap B)\cup (A\cap B^\prime)$
$A$
$B\cap A^\prime$
$(A\cup B)^\prime$
e.g $((A\cap B) \cup (A\cap C) \cup (B\cap C)) \cap (A\cap B\cap C)^\prime$

A6

A7

A8

The union is the universal set $U$ :

Mengen

Universalmengen und die leere Menge

Ist Element von

Möglichkeiten, eine Menge zu definieren

Die Kardinalität von Mengen

Teilmengen

Mengenoperationen

Die Schnittmenge von AA und BB

Die Vereinigung von AA und BB

AA ohne BB (oder AA minus BB)

Das Komplement von AA

Venn-Diagramme für drei Mengen

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

Die Schnittmenge von $A$ und $B$

Die Vereinigung von $A$ und $B$

$A$ ohne $B$ (oder $A$ minus $B$ )

Das Komplement von $A$