Zahlenmengen

Jede Zahl hat eine genaue Position auf dem Zahlenstrahl (einer Geraden). Umgekehrt gilt: Jede Position auf dem Zahlenstrahl entspricht einer Zahl.

Es werden verschiedene Typen von Zahlen unterschieden, die im Folgenden erläutert werden.

Die natürlichen Zahlen

Das sind die Zahlen, mit denen man Dinge zählt.

N={1,2,3,… }\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \dots\}

Die natürlichen Zahlen können weiter in diverse Untergruppen unterteilt werden, wie zum Beispiel:

Es ist zu beachten, dass 00 nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt wird. Es kann aber die Notation

N0={0,1,2,3,… }\mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, 3, \dots\}

verwendet werden, um die 00 miteinzubeziehen.

Das "N" steht für natürliche Zahl.

Die ganzen Zahlen

Werden zu den natürlichen Zahlen die 00 und die negativen natürlichen Zahlen hinzugefügt, erhält man die ganzen Zahlen:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,… }\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}

Das "Z" steht für ganze Zahlen.

Die rationalen Zahlen

Werden zu den ganzen Zahlen noch alle Brüche 12,−13,23,…\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \dots hinzugefügt, erhält man die rationalen Zahlen:

Q={pq∣p∈Z,q∈N}\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \right\}

Jede ganze Zahl kann ebenfalls als Bruch dargestellt werden: 1=11,2=21,−2=−21,…1=\frac{1}{1}, 2=\frac{2}{1}, -2=\frac{-2}{1}, \dots. Die ganzen Zahlen sind also in der obigen Definition enthalten.

Definition 1

Beachte, dass pp der Zähler und qq der Nenner ist. Die horizontale Linie heisst Bruchstrich.

Das "Q" für die rationalen Zahlen kommt vom Wort "Quotient". Dieses Wort stammt vom lateinischen "quoties", was "wie oft" bedeutet – also, wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten ist. Um herauszufinden, wie oft die 44 in der 1212 enthalten ist, kann 1212 durch 44 dividiert oder als Bruch 124\frac{12}{4} geschrieben werden.

Die irrationalen Zahlen

Alle Zahlen, die nicht rational sind, d. h. alle Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können, werden irrationale Zahlen genannt. Es wird kein eigenes Symbol für diese Menge eingeführt.

Es kann gezeigt werden, dass zum Beispiel π\pi und 2\sqrt{2} irrationale Zahlen sind.

Die reellen Zahlen

Alle Zahlen auf der Zahlengeraden bilden die reellen Zahlen. Sie sind die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen.

R=Q∪{irrationale Zahlen}\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrationale Zahlen}\}
Exercise 1

Zeichne ein Venn-Diagramm, das die Beziehung zwischen den verschiedenen Zahlenmengen N,Z,Q\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q} und R\mathbb{R} zeigt.

Solution

Es gilt N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}:

Die Dezimaldarstellung von Zahlen

Zahlen können auch mithilfe eines Dezimalpunktes geschrieben werden. Zum Beispiel:

Man beobachtet, dass rationale Zahlen (Brüche) eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung haben. Dies ist bei irrationalen Zahlen wie π\pi oder 2\sqrt{2} nicht der Fall.

Es gilt:

Theorem 1

Eine Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung endlich oder periodisch ist.

Ist eine Zahl irrational, so ist ihre Dezimaldarstellung weder endlich noch periodisch. Aus einem Bruch lässt sich durch schriftliche Division immer eine Dezimaldarstellung finden:

Example 1

Stelle 23\frac{2}{3} als Dezimalzahl dar.

Diese Darstellung muss entweder abbrechen (endlich sein) oder sich wiederholen (periodisch sein). Umgekehrt lässt sich jede endliche oder periodische Dezimalzahl als Bruch darstellen:

Example 2

Drücke die Dezimalzahlen als Brüche pq\frac{p}{q} aus:

  1. 1.321.32

  2. 0.3‾0.\overline{3}

  3. 1.23‾1.\overline{23}

Solution
  1. 1.32=132100=33251.32=\frac{132}{100} = \frac{33}{25}
  2. Die Zahl 0.3‾0.\overline{3} wird mit 1010 multipliziert und die ursprüngliche Zahl subtrahiert: 10⋅0.3‾−0.3‾=3.3‾−0.3‾=310 \cdot 0.\overline{3} - 0.\overline{3} = 3.\overline{3} - 0.\overline{3} = 3 Gleichzeitig gilt: 10⋅0.3‾−0.3‾=9⋅0.3‾10 \cdot 0.\overline{3} - 0.\overline{3} = 9 \cdot 0.\overline{3} Daraus folgt: 9⋅0.3‾=3  ⟹  0.3‾=39=139 \cdot 0.\overline{3} = 3 \implies 0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
  3. Nach demselben Prinzip wird hier mit 100100 multipliziert: 100⋅1.23‾−1.23‾=123.23‾−1.23‾=122100 \cdot 1.\overline{23} - 1.\overline{23} = 123.\overline{23} - 1.\overline{23} = 122 Zudem gilt: 100⋅1.23‾−1.23‾=99⋅1.23‾100 \cdot 1.\overline{23} - 1.\overline{23} = 99 \cdot 1.\overline{23} Daraus folgt: 99⋅1.23‾=122  ⟹  1.23‾=1229999 \cdot 1.\overline{23} = 122 \implies 1.\overline{23} = \frac{122}{99}

Aufgaben

Exercise 2: Kleinste Zahlenmenge bestimmen

Zu welcher kleinsten Zahlenmenge (N,Z,Q,R\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}) gehört die jeweilige Zahl?

  1. −23-23

  2. 42\frac{4}{2}

  3. 0.30.3

  4. 0.3‾0.\overline{3}

  5. 1.14‾1.\overline{14}

  6. 0.101001000100001…0.101001000100001\dots

Solution
  1. −23∈Z-23 \in \mathbb{Z}
  2. 42=2∈N\frac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}
  3. 0.3∈Q0.3 \in \mathbb{Q} (endliche Dezimalzahl)
  4. 0.3‾∈Q0.\overline{3} \in \mathbb{Q} (periodische Dezimalzahl)
  5. 1.14‾∈Q1.\overline{14} \in \mathbb{Q} (periodische Dezimalzahl)
  6. 0.101001000100001⋯∈R0.101001000100001\dots \in \mathbb{R} (irrationale Zahl, da nicht periodisch und unendlich)
Exercise 3: In Dezimalzahl umwandeln

Stelle als Dezimalzahl dar:

  1. 14\frac{1}{4}

  2. 108\frac{10}{8}

  3. 17\frac{1}{7}

Solution
Exercise 4: Zahl mit allen natürlichen Zahlen

Gibt es eine Zahl, deren Dezimaldarstellung jede natürliche Zahl als Ziffernfolge enthält?

Solution

Ja, zum Beispiel die Champernowne-Zahl: 0.123456789101112131415…0.123456789101112131415\dots

Exercise 5: Periodische Dezimalzahl als Bruch

Schreibe 2.513‾2.\overline{513} als Bruch pq\frac{p}{q}.

Solution1000⋅2.513‾−2.513‾=2513.513‾−2.513‾=25111000 \cdot 2.\overline{513} - 2.\overline{513} = 2513.\overline{513} - 2.\overline{513} = 2511

Daraus folgt:

999⋅2.513‾=2511  ⟹  2.513‾=2511999999 \cdot 2.\overline{513} = 2511 \implies 2.\overline{513} = \frac{2511}{999}
Exercise 6: Beweis 0.9999... = 1

Zeige, dass 0.9999⋯=10.9999\dots = 1 gilt.

Solution10⋅0.9‾−0.9‾=9.9‾−0.9‾=910 \cdot 0.\overline{9} - 0.\overline{9} = 9.\overline{9} - 0.\overline{9} = 9

Daher gilt:

9⋅0.9‾=9  ⟹  0.9‾=99=19 \cdot 0.\overline{9} = 9 \implies 0.\overline{9} = \frac{9}{9} = 1