Ableiten und Integrieren

Exercise 1: Definition der Ableitung und des Integrals

Betrachte die Funktion f(x)=x23f(x)=\sqrt[3]{x^2}. Man möchte die Steigung der Tangente an den Graphen von ff bei x=2x=2 wissen. Ausserdem soll die Fläche bestimmt werden, die durch den Graphen von x23\sqrt[3]{x^2}, die x-Achse und die Senkrechte bei x=2x=2 eingeschlossen wird. Schauen wir uns die verschiedenen Möglichkeiten an, wie man dies tun kann:

  1. Schätze die Steigung durch Zeichnen des Graphen der Funktion (verwende z. B. eine Wertetabelle, um den Graphen zu zeichnen).

  2. Bestimme eine sehr gute Schätzung der Steigung mit Hilfe des Differenzquotienten (Sekante ...).

  3. Bestimme die exakte Steigung mit Hilfe der Potenzregel zur Differenzierung.

  4. Gebe eine grobe Schätzung der Fläche mit Hilfe von 3 Balken.

  5. Gebe eine sehr gute Schätzung der Fläche mit Hilfe der numerischen Integral-Methode des Taschenrechners (der Taschenrechner verwendet einfach viele sehr dünne Balken ...).

  6. Bestimme die exakte Fläche mit Hilfe des Satzes der Infinitesimalrechnung (Stammfunktion).

Solution

  1. Zeichne den Graphen und die Tangente an x=2x=2 (siehe unten). Gemäss Abbildung ist die Steigung der Tangente

    at=ΔyΔx≈13a_t=\frac{\Delta y}{\Delta x}\approx \frac{1}{3}

  2. Wir approximieren die Tangente durch eine Sekante, indem wir um h=0.1h=0.1 nach rechts gehen (siehe Abbildung). Die Steigung der Sekante ist eine Annäherung an die Steigung der Tangente (je kleiner die Verschiebung hh, desto besser ist die Annäherung). Mit Hilfe des Steigungsdreiecks erhält man für die Steigung der Sekante

    as=ΔyΔx=f(2.1)−f(2)0.1a_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(2.1)-f(2)}{0.1}

    Mit f(2)=1.58740f(2)=1.58740 und f(2.1)=1.63988f(2.1)=1.63988 bekommen wir

    as=1.63988−1.587400.1=0.5248a_s=\frac{1.63988-1.58740}{0.1}=0.5248

  3. genaue Steigung kann mit Hilfe der Differenzierungsregeln berechnet werden. Mit f(x)=x2/3f(x)=x^{2/3} erhalten wir

    f′(x)=23x−1/3f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}

    und somit

    at=f′(2)=23⋅2−1/3=0.5291a_t=f'(2)=\frac{2}{3}\cdot 2^{-1/3}=0.5291

  4. Bei drei Balken muss die Breite jedes Balkens Δx=23\Delta x=\frac{2}{3} sein, und so erhalten wir für die drei Balkenflächen:

    A1=23⋅f(23)=23⋅(23)2/3=0.508A_1=\frac{2}{3}\cdot f(\frac{2}{3})=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2/3}=0.508 A2=23⋅f(43)=23⋅(43)2/3=0.807A_2=\frac{2}{3}\cdot f(\frac{4}{3})=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{2/3}=0.807 A3=23⋅f(63)=23⋅22/3=1.058A_3=\frac{2}{3}\cdot f(\frac{6}{3})=\frac{2}{3}\cdot 2^{2/3}=1.058

    Eine Annäherung an die Fläche AA unter der Kurve ist also

    A≈A1+A2+A3=2.374A\approx A_1+A_2+A_3 = 2.374

  5. Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir die Fläche unter der Kurve:

    A≈1.9048...A\approx 1.9048...

  6. Der genaue Wert kann mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung berechnet werden. Die Stammfunktion von f(x)=x2/3f(x)=x^{2/3} ist

    F(x)=35x5/3F(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}

    und somit

    A=∫02f(x) dx=F(2)−F(0)=35⋅25/3−35⋅05/3=1.9048...\begin{array}{lll} A = \int_0^2 f(x)\,dx &=& F(2)-F(0)\\ &=& \frac{3}{5}\cdot 2^{5/3} - \frac{3}{5}\cdot 0^{5/3}\\ &=& 1.9048... \end{array}

    Man beachte, dass die numerische Schätzung des Integrals mit Hilfe des Taschenrechners (siehe 5) normalerweise sehr nahe am exakten Wert liegt.

Exercise 2: Grundprobleme des Ableiten und integrierens einer Funktion

Betrachten die Funktion f(x)=x3+1f(x)=x^3+1.

  1. Skizziere den Graphen mit Hilfe einer Wertetabelle.

  2. Bestimme den xx-Achsenabschnitt und den yy-Achsenabschnitt von ff.

  3. Wo schneidet der Graph von ff die Horizontale in Höhe y=9y=9?

  4. Wo schneidet sich der Graph von ff mit dem Graphen der Funktion x2+x+1x^2+x+1?

  5. Schätze anhand der Skizze von ff die Ableitung f′(1)f^\prime(1).

  6. Bestimme f′(1)f'(1) mit Hilfe des Differentialquotienten.

  7. Skizziere anhand der Skizze von ff die Ableitung f′f^\prime. Wie könnte die Funktionsgleichung von f′f^\prime lauten?

  8. Berechne die Funktionsgleichung von f′f^\prime mit Hilfe der Differenzierungsregeln. Bestimme anhand der Funktionsgleichung erneut f′(1)f'(1) und vergleiche mit (6).

  9. Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente an ff bei x=1x=1. Wo schneidet die Tangente die xx-Achse, wo die yy-Achse?

  10. Finde die stationären Punkte von ff und klassifiziere sie (als lokales Maximum, lokales Minimum oder Sattelpunkt) mit Hilfe der Ableitungen höherer Ordnung.

  11. Schätze die Fläche unter der Kurve von ff zwischen x=0x=0 und x=2x=2 mit Hilfe zweier Balken.

  12. Bestimme die Stammfunktion von ff.

  13. Bestimme ∫01(x3+1) dx\int_0^1 (x^3+1)\, dx mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung.

  14. Bestimme die exakte Fläche, die von dem Graphen von ff, der xx-Achse und den senkrechten Linien bei x=0x=0 und x=1x=1 eingeschlossen wird.

  15. Bestimme die Fläche, die vom Graphen von ff, der xx-Achse und den senkrechten Linien bei x=−2x=-2 und x=1x=1 eingeschlossen wird.

  16. Bestimme die Fläche, die vom Graphen von ff und dem Graphen von h(x)=4x+1h(x)=4x+1 eingeschlossen wird.

Solution
Exercise 3: Funktionstypen und deren Ableitungen und Integrale

Ordne jedem unten stehenden Graphen einer der in der Liste aufgeführten Grundfunktionen zu (die Liste enthält mehr Funktionen als Graphen).

2,−2,2x+1,−2x+1,2x−1,−2x−1,x2,x3,x−2,x−32, -2, 2x+1, -2x+1, 2x-1, -2x-1, x^2, x^3, x^{-2}, x^{-3}x1/2,x1/3,ex,ln⁡(x),sin⁡(x),cos⁡(x),tan⁡(x),x3−4x,x2−4xx^{1/2}, x^{1/3}, e^x, \ln(x), \sin(x), \cos(x), \tan(x), x^3-4x, x^2-4x

Bestimme ebenfalls für jede Funktion (a)-(l) den xx-Achsenabschnitt, den yy-Achsenabschnitt, die Ableitung und die Stammfunktion.

Solution

Wir bezeichnen die Stammfunktion mit FF, den yy-Achsenabschnitt mit y0y_0 und den/die xx-Achsenabschnitt(e) mit x0,x1,...x_0, x_1, ...

  • (a) f(x)=2x+1f(x)=2x+1, y0=1,x0=−0.5y_0=1, x_0=-0.5, f′(x)=2f^\prime(x)=2, F(x)=x2+xF(x)=x^2+x

  • (b) f(x)=x2f(x)=x^2, x0=y0=0x_0=y_0=0, f′(x)=2xf'(x)=2x, F(x)=13x3F(x)=\frac{1}{3}x^3

  • (c) f(x)=exf(x)=e^x, y0=1y_0=1, f′(x)=exf'(x)=e^x, F(x)=exF(x)=e^x

  • (e) f(x)=x−3=1x3f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}, f′(x)=−3x−4=−3x4f'(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}, F(x)=−12x−2=−12x2F(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^2}

  • (f) f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x), x0=1x_0=1, f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}, F(x) skip, not requiredF(x)\text{ skip, not required}

  • (g) f(x)=2=2x0f(x)=2=2x^0, y0=2y_0=2, f′(x)=0f'(x)=0, F(x)=2xF(x)=2x

  • (h) f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x), y0=0y_0=0, x0=0,x1=±π,x2=±2π,...x_0=0, x_1=\pm\pi, x_2=\pm 2\pi, ..., f′(x)=cos⁡(x)f'(x)=\cos(x), F(x)=−cos⁡(x)F(x)=-\cos(x)

  • (i) f(x)=x1/2=xf(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}, x0=y0=0x_0=y_0=0, f′(x)=12x−1/2=12xf'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, F(x)=23x3/2=23x3F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}

  • (j) f(x)=x1/3=x3f(x)=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}, x0=y0=0x_0=y_0=0, f′(x)=13x−2/3=13x23f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, F(x)=34x4/3=34x43F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}=\frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}

  • (k) f(x)=tan⁡(x)f(x)=\tan(x), y0=0,x0=0,x1=±π,x2=±2π,...y_0=0, x_0=0, x_1=\pm\pi, x_2=\pm 2\pi, ... (da tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}).

    Um die Ableitung zu finden, wenden wir die Produktregel und die Kettenregel auf die Funktion an

    f(x)=tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)⋅(cos⁡(x))−1f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot (\cos(x))^{-1}

    also

    f′(x)=cos⁡(x)⋅(cos⁡(x))−1+sin⁡(x)⋅(−1)(cos⁡(x))−2⋅(−sin⁡(x))=1+sin⁡(x)2cos⁡(x)2=1+tan⁡(x)2\begin{array}{lll} f'(x)&=&\cos(x)\cdot(\cos(x))^{-1}\\ &+&\sin(x)\cdot (-1)(\cos(x))^{-2}\cdot (-\sin(x))\\ &=&1+\frac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}\\ &=&1+\tan(x)^2 \end{array}

    Die Berechnung der Stammfunktion ist schwieriger, und Sie müssen nicht wissen, wie das geht.

  • (l) f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4x, y0=f(0)=0y_0=f(0)=0. Um x0x_0 zu finden schreiben wir f(x)=x(x2−4)=0f(x)=x(x^2-4)=0, and it follows x0=0,x1=±2x_0=0, x_1=\pm 2. f′(x)=3x2−4f'(x)=3x^2-4, F(x)=14x4−412x2=14x4−2x2F(x)=\frac{1}{4}x^4-4\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{4}x^4-2x^2

Exercise 4: Tangenten and Flächen

Betrachte die Funktion f(x)=x3f(x)=x^3.

  1. Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x)f(x) bei x=2x=2.

  2. Bestimme den Winkel in Grad zwischen dieser Tangente und der x-Achse.

  3. Bestimme die Gleichung dieser Tangente.

  4. Finde den Punkt PP, wo die Tangente an ff die Steigung 99 hat.

  5. Bestimme das Integral ∫−12x3dx\int_{-1}^{2} x^3 dx.

  6. Bestimme die Fläche, die von der x-Achse, dem Graphen von f(x)f(x) und den senkrechten Linien bei x=−1x=-1 und x=2x=2 eingeschlossen wird.

Solution

Die Ableitung von f(x)=x3f(x)=x^3 ist f′(x)=3x2f'(x)=3x^2, und die Stammfunktion ist F(x)=14x4F(x)=\frac{1}{4}x^4.

  1. Die Steigung der Tangente bei x=2x=2 ist f′(2)=3⋅22=12f'(2)=3\cdot 2^2=12

  2. Der Winkel ist (SOHCAHTOA, siehe Grafik unten links):

    tan⁡(α)=OA=ΔyΔx⏟Steigung der Tangente=12\tan(\alpha)=\frac{O}{A}=\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}_{\text{Steigung der Tangente}}=12

    Daraus folgt,

    α=arctan⁡(12)=tan⁡−1(12)=85.23∘\alpha=\arctan(12)=\tan^{-1}(12)=85.23^\circ

  3. Die Gleichung der Tangente ist eine lineare Funktion: t(x)=ax+bt(x)=ax+b, wobei die Steigung a=12a=12 ist. Es ist also

    t(x)=12x+bt(x)=12x+b

    Um bb (der yy-Achsenabschnitt) zu finden, nutzen wir die Tatsache, dass die Tangente den Graphen von ff bei x=2x=2 berührt, d.h. wir haben

    t(2)=f(2)t(2)=f(2)

    und somit

    12⋅2+b=23=8→b=−1612\cdot 2+b=2^3=8 \rightarrow b=-16

    Die Gleichung der Tangente lautet also t(x)=12x−16t(x)=12x-16.

  4. Finde xx mit

    f′(x)=9→3x2=9f'(x)=9 \rightarrow 3x^2=9

    Daraus folgt x=±3x=\pm \sqrt{3}. Es gibt also zwei Tangenten an den Graphen von ff mit der Steigung 99. Eine liegt hat den Berührungspunkt P1(−1.732∣−5.196)P_1(-1.732|-5.196) und die den Berührungspunkt P2(−1.732∣5.196)P_2(-1.732|5.196).

  5. Wir haben

    ∫−12x3 dx=F(2)−F(−1)=14⋅24−14⋅(−1)4=3.75\int_{-1}^2 x^3\, dx = F(2)-F(-1)=\frac{1}{4}\cdot 2^4 - \frac{1}{4}\cdot(-1)^4=3.75

  6. Das Integral ergibt den orientierte Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt zu ermitteln, müssen wir die Fläche unterhalb der xx-Achse und die Fläche oberhalb der xx-Achse einzeln bestimmen (siehe Abbildung unten, rechts):

    A1=∫−10x3 dx=F(0)−F(−1)=14⋅04−14⋅(−1)4=−0.25A_1=\int_{-1}^0 x^3\, dx = F(0)-F(-1)=\frac{1}{4}\cdot 0^4 - \frac{1}{4}\cdot(-1)^4=-0.25

    und

    A2=∫02x3 dx=F(2)−F(0)=14⋅24−14⋅04=4A_2=\int_{0}^2 x^3\, dx = F(2)-F(0)=\frac{1}{4}\cdot 2^4 - \frac{1}{4}\cdot 0^4=4

    Die Fläche ist also A=0,25+4=4,25A=0,25+4=4,25.

Exercise 5: Kann die Ableitung immer bestimmt werden?

An welchem Punkt auf dem Graphen von f(x)=∣x∣f(x)=|x| existiert keine Ableitung? Zeichne den Graphen und erkläre.

Anmerkung: ∣x∣|x| nennt man den Absolutwert oder Betrag von xx. Er ist der positive Teil einer beliebigen Zahl xx. Zum Beispiel ∣3∣=3|3|=3 und ∣−3∣=3|-3|=3.

Solution

Siehe die Abbildung unten. Bei x=0x=0 gibt es mehr als Tangente an den Graphen von ff. In diesem Fall ist daher nicht klar, welchen f′(0)f'(0) haben soll (es gibt unendlich viele). Wir sagen, dass ff bei x=0x=0 nicht differenzierbar ist. Überall sonst können wir f′(x)f'(x) bestimmen.

Exercise 6: Differentialregeln
  1. Nenne die 4 Ableitungsregeln.
  2. Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen:

    1. f(x)=x2+3x−1f(x)=x^2+3x-1

    2. f(x)=3f(x)=3 for all xx

    3. f(x)=xxf(x)=x\sqrt{x}

    4. f(x)=3x5+4x2−2xf(x)=3x^5+4x^2-2\sqrt{x}

    5. f(x)=x2(1−x)f(x)=x^2(1-x)

    6. f(x)=x(x2−2x+1)f(x)=\sqrt{x}(x^2-2x+1)

    7. f(x)=2(x−1)2f(x)=2(x-1)^2

    8. f(x)=2(x−1)5f(x)=2(x-1)^5

    9. f(x)=2(1−2x)5f(x)=2(1-2x)^5

    10. f(x)=(2x−1)(x+1)f(x)=(2x-1)(x+1)

    11. f(x)=2(x−1)x(x+3)f(x)=2(x-1)x(x+3)

    12. f(x)=2x+3x+4x2f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2}

    13. f(x)=ln⁡(x)⋅sin⁡(x)f(x)=\ln(x)\cdot \sin(x)

    14. f(x)=x2⋅exf(x)= x^2 \cdot e^x

    15. f(x)=cos⁡(x3)f(x)= \cos(x^3)

    16. f(x)=ln⁡(sin⁡(x))f(x)= \ln(\sin(x))

    17. f(x)=1+x2f(x)=\sqrt{1+x^2}

    18. f(x)=(sin⁡(x))2f(x)=(\sin(x))^2

    19. f(x)=(xex)3f(x)=(xe^x)^3

    20. f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

    21. f(x)=(2x3+15x+1)⋅e−2x2f(x)=(2x^3+15x+1)\cdot e^{-2x^2}

    22. f(x)=(x4−2x3)⋅sin⁡(2x2)f(x)=(x^4-2x^3)\cdot\sin(2x^2)

Solution

  1. Die vier Ableitungsregeln sind:

    • Potenzregel:
    f(x)=xn→f′(x)=nxn−1f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n x^{n-1}

    • Summenregel:

      f(x)=u(x)+v(x)→f′(x)=u′(x)+v′(x)f(x)=u(x)+v(x) \rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x)

      oder mit Koeffizienten aa und bb:

      f(x)=a⋅u(x)+b⋅v(x)→f′(x)=a⋅u′(x)+b⋅v′(x)f(x)=a \cdot u(x)+ b \cdot v(x) \rightarrow f'(x)=a \cdot u'(x)+b \cdot v'(x)

    • Produktregel:

      f(x)=u(x)⋅v(x)→f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)f(x)=u(x)\cdot v(x) \rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)

    • Kettenregel:

      f(x)=u(v(x))→f′(x)=u′(v(x))⋅v′(x)f(x)=u({\color{red} v(x)}) \rightarrow f'(x)=u'({\color{red} v(x)})\cdot v'(x)

  2. Es ist

    1. f(x)=x2+3x−1f(x)=x^2+3x-1 →f′(x)=2x+3\rightarrow f'(x)=2x+3
    2. f(x)=3=3x0f(x)=3 =3x^0 →f′(x)=0\rightarrow f'(x)=0
    3. f(x)=xx=x3/2f(x)=x\sqrt{x}=x^{3/2} →f′(x)=32x1/2=1.5x\rightarrow f'(x)=\frac{3}{2} x^{1/2}=1.5\sqrt{x}
    4. f(x)=3x5+4x2−2xf(x)=3x^5+4x^2-2\sqrt{x} →f′(x)=15x4+8x−x−1/2\rightarrow f'(x)=15x^4+8x-x^{-1/2}
    5. f(x)=x2(1−x)=x2−x3f(x)=x^2(1-x)=x^2-x^3 →f′(x)=2x−3x2\rightarrow f'(x)=2x-3x^2
    6. f(x)=x(x2−2x+1)=x2.5−2x1.5+x0.5f(x)=\sqrt{x}(x^2-2x+1)=x^{2.5}-2x^{1.5}+x^{0.5} →f′(x)=2.5x1.5−3x0.5+0.5x−0.5\rightarrow f'(x)=2.5x^{1.5}-3x^{0.5}+0.5x^{-0.5}
    7. f(x)=2(x−1)2=2x2−4x+2f(x)=2(x-1)^2 =2x^2-4x+2 →f′(x)=4x−4\rightarrow f'(x)=4x-4
    8. f(x)=2(x−1)5f(x)=2({\color{red}x-1})^5 →f′(x)=10(x−1)4⋅1=10(x−1)4\rightarrow f'(x)=10({\color{red}x-1})^4\cdot 1=10(x-1)^4 (Kettenregel)
    9. f(x)=2(1−2x)5f(x)=2({\color{red}1-2x})^5 →f′(x)=10(1−2x)4⋅(−2)=−20(1−2x)4\rightarrow f'(x)=10({\color{red}1-2x})^4\cdot (-2)=-20(1-2x)^4 (Kettenregel)
    10. f(x)=(2x−1)(x+1)f(x)=(2x-1)(x+1) →f′(x)=2⋅(x+1)+(2x−1)⋅1=4x+1\rightarrow f'(x)=2\cdot(x+1)+(2x-1)\cdot 1=4x+1 (Produktregel) or f(x)=(2x−1)(x+1)=2x2+x−1f(x)=(2x-1)(x+1)=2x^2+x-1 →f′(x)=4x+1\rightarrow f'(x)=4x+1
    11. f(x)=2(x−1)x(x+3)=2x3+4x2−6xf(x)=2(x-1)x(x+3)=2x^3+4x^2-6x →f′(x)=6x2+8x−6\rightarrow f'(x)=6x^2+8x-6
    12. f(x)=2x+3x+4x2=2x−1+3x−0.5+4x−2f(x)=\frac{2}{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2} = 2x^{-1}+3x^{-0.5}+4x^{-2} →f′(x)=−2x−2−1.5x−1.5−8x−3=−2x2−1.5x1.5−8x3\rightarrow f'(x)=-2x^{-2}-1.5x^{-1.5}-8x^{-3}=-\frac{2}{x^2}-\frac{1.5}{x^{1.5}}-\frac{8}{x^3}
    13. f(x)=ln⁡(x)⋅sin⁡(x)f(x)=\ln(x)\cdot \sin(x) →f′(x)=1x⋅sin⁡(x)+ln⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=\frac{1}{x}\cdot \sin(x)+\ln(x)\cdot \cos(x) (Produktregel)
    14. f(x)=x2⋅exf(x)= x^2 \cdot e^x →f′(x)=2xex+x2ex=exx(2x+1)\rightarrow f'(x)=2x e^x+x^2e^x=e^x x(2x+1) (Produktregel)
    15. f(x)=cos⁡(x3)f(x)= \cos({\color{red}x^3}) →f′(x)=−sin⁡(x3)⋅3x2\rightarrow f'(x)=-\sin({\color{red}x^3})\cdot 3x^2 (Kettenregel)
    16. f(x)=ln⁡(sin⁡(x))f(x)= \ln({\color{red}\sin(x)}) →f′(x)=1sin⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=\frac{1}{{\color{red}\sin(x)}}\cdot \cos(x) (Kettenregel)
    17. f(x)=1+x2=(1+x2)0.5f(x)=\sqrt{{\color{red}1+x^2}}=({\color{red}1+x^2})^{0.5} →f′(x)=0.5(1+x2)−0.5⋅2x=x1+x2\rightarrow f'(x)=0.5({\color{red}1+x^2})^{-0.5}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} (Kettenregel)
    18. f(x)=(sin⁡(x))2f(x)=({\color{red}\sin(x)})^2 →f′(x)=2sin⁡(x)⋅cos⁡(x)\rightarrow f'(x)=2{\color{red}\sin(x)}\cdot \cos(x) (Kettenregel). Oder brauche die Produktregel ... .
    19. f(x)=(xex)3=x3e3xf(x)=(x e^x)^3=x^3 e^{{\color{red}3x}} →f′(x)=3x2⋅e3x+x3⋅e3x⋅3=3e3x(x2+x3)\rightarrow f'(x)=3x^2 \cdot e^{3x}+x^3\cdot e^{{\color{red}3x}}\cdot 3=3e^{3x}(x^2+x^3) (Produktregel und Kettenregel)
    20. f(x)=11+x2=(1+x2)−0.5f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=({\color{red}1+x^2})^{-0.5} →f′(x)=−0.5(1+x2)−1.5⋅2x=−x(1+x2)1.5\rightarrow f'(x)=-0.5({\color{red}1+x^2})^{-1.5}\cdot 2x = -\frac{x}{(1+x^2)^{1.5}} (Kettenregel)
    21. f(x)=(2x3+15x+1)⋅e−2x2f(x)=(2x^3+15x+1)\cdot e^{{\color{red}-2x^2}} →f′(x)=6x2+15)e−2x2+(2x3+15x+1)⋅e−2x2⋅(−4x)\rightarrow f'(x)=6x^2+15)e^{-2x^2}+(2x^3+15x+1)\cdot e^{{\color{red}-2x^2}}\cdot (-4x) (Produktregel und Kettenregel)
    22. f(x)=(x4−2x3)⋅sin⁡(2x2)f(x)=(x^4-2x^3)\cdot\sin({\color{red}2x^2}) →f′(x)=(4x3−6x2)sin⁡(2x2)+(x4−2x3)⋅cos⁡(2x2)⋅4x\rightarrow f'(x)=(4x^3-6x^2)\sin(2x^2)+(x^4-2x^3)\cdot\cos({\color{red}2x^2})\cdot 4x (Produktregel und Kettenregel)
Exercise 7: Integrale
  1. Gebe die allgemeine Regel für die Bestimmung der Stammfunktion einer Potenzfunktion f(x)=xnf(x)=x^n an und beweise sie.
  2. Finden Sie die Stammfunktion der folgenden Potenzfunktionen:
    1. f(x)=5f(x)=5 for all xx
    2. f(x)=5xf(x)=5x
    3. f(x)=5x2f(x)=5x^2
    4. f(x)=5xf(x)=5\sqrt{x}
    5. f(x)=5xf(x)=\frac{5}{x}
    6. f(x)=5x2f(x)=\frac{5}{x^2}
    7. f(x)=5x43f(x)=\frac{5}{\sqrt[3]{x^4}}
    8. f(x)=5x+2f(x)=\frac{5}{x}+2
  3. Bestimme die folgenden Integrale mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung:

    1. ∫12x dx\int_1^2 x\, dx

    2. ∫01(2x2+3x+1) dx\int_0^1 (2x^2+3x+1)\, dx

    3. ∫π/2π2sin⁡(x) dx\int_{\pi/2}^\pi 2\sin(x)\, dx

    4. ∫123xx dx\int_1^2 3x\sqrt{x}\, dx

    5. ∫−1112x2(1−x) dx\int_{-1}^1 \frac{1}{2}x^2(1-x)\, dx

    6. ∫1e(2x+1) dx\int_1^e (\frac{2}{x}+1)\, dx

Solution

Bezeichne mit FF die Stammfunktion von ff.

  1. f(x)=xn→F(x)=1n+1xn+1f(x)=x^n \rightarrow F(x)=\frac{1}{n+1} x^{n+1}

  2. Es ist

    1. f(x)=5=5x0f(x)=5=5x^0 →F(x)=5⋅11x1=5x\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{1}x^1=5x
    2. f(x)=5x=5x1f(x)=5x = 5x^1 →F(x)=5⋅12x2=\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{2}x^2=
    3. f(x)=5x2f(x)=5x^2 →F(x)=5⋅13x3=53x3\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{3}x^3=\frac{5}{3}x^3
    4. f(x)=5x=5x0.5f(x)=5\sqrt{x}=5x^{0.5} →F(x)=5⋅11.5x1.5=103x1.5\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{1.5}x^{1.5}=\frac{10}{3}x^{1.5}
    5. f(x)=5xf(x)=\frac{5}{x} →F(x)=5ln⁡(x)\rightarrow F(x)=5\ln(x)
    6. f(x)=5x2=5x−2f(x)=\frac{5}{x^2}=5x^{-2} →F(x)=5⋅1−1x−1=−5x\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{-1}x^{-1}=-\frac{5}{x}
    7. f(x)=5x43=5x−4/3f(x)=\frac{5}{\sqrt[3]{x^4}}=5x^{-4/3} →F(x)=5⋅1−1/3x−1/3=−15x3\rightarrow F(x)=5\cdot \frac{1}{-1/3}x^{-1/3}=-\frac{15}{\sqrt[3]{x}}
    8. f(x)=5x+2f(x)=\frac{5}{x}+2 →F(x)=5⋅ln⁡(x)+2x\rightarrow F(x)=5\cdot \ln(x)+2x

  3. Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung lautet: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)

    1. F(x)=12x2F(x)=\frac{1}{2}x^2 →∫12x dx=(12⋅22)−(12⋅12)=1.5\rightarrow \int_1^2 x\, dx = (\frac{1}{2}\cdot 2^2)-(\frac{1}{2}\cdot 1^2)= 1.5
    2. F(x)=23x3+1.5x2+xF(x)= \frac{2}{3}x^3+1.5x^2+x →∫01(2x2+3x+1) dx=(23⋅13+1.5⋅12+1)−(23⋅03+1.5⋅02+0)=3.16‾\rightarrow \int_0^1 (2x^2+3x+1)\, dx = (\frac{2}{3}\cdot 1^3+1.5\cdot 1^2+1) - (\frac{2}{3}\cdot 0^3+1.5\cdot 0^2+0)=3.1\overline{6}
    3. F(x)=−2cos⁡(x)F(x)=-2\cos(x) →∫π/2π2sin⁡(x) dx=(−2cos⁡(π))−(−2cos⁡(π/2))=2\rightarrow \int_{\pi/2}^\pi 2\sin(x)\, dx=(-2\cos(\pi))-(-2\cos(\pi/2))=2
    4. F(x)=1.2x2.5F(x)= 1.2x^{2.5} →∫123xx dx=1.2⋅22.5−1.2⋅12.5=5.588\rightarrow \int_1^2 3x\sqrt{x}\, dx=1.2\cdot 2^{2.5}-1.2\cdot 1^{2.5}=5.588
    5. F(x)=16x3−18x4F(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{8}x^4 →∫−1112x2(1−x) dx=(16⋅13−18⋅14)−(16⋅(−1)3−18⋅(−1)4)=13\rightarrow \int_{-1}^1 \frac{1}{2} x^2(1-x)\, dx = \left(\frac{1}{6}\cdot 1^3-\frac{1}{8}\cdot 1^4\right)-\left(\frac{1}{6}\cdot (-1)^3-\frac{1}{8}\cdot (-1)^4\right)=\frac{1}{3}
    6. F(x)=2ln⁡(x)+xF(x)=2\ln(x)+x →∫1e(2x+1) dx=(2ln⁡(e)+e)−(2ln⁡(1)+1)=e+1\rightarrow \int_1^e (\frac{2}{x}+1)\, dx= (2\ln(e)+e)-(2\ln(1)+1)=e+1
Exercise 8: Ableitungen höherer Ordnung, stationäre Punkte und Wendepunkte

Der Graph einer Funktion f(x)f(x) ist unten dargestellt. Kopiere den Graphen (mehr oder weniger).

  1. Was sind stationäre Punkte? Was sind Wendepunkte? Zeichne alle diese Punkte auf dem unten stehenden Graphen ein. Klassifiziere die stationären Punkte auch als lokale Maxima, lokale Minima und Sattelpunkte.
  2. Skizziere den Graphen der ersten Ableitung. Leite aus diesem Graphen die Bedingungen für ein lokales Maximum, lokales Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt ab.
  3. Betrachte die Funktion g(x)=x3(1−2x)g(x)=x^3(1-2x). Finde die stationären Punkte und klassifiziere sie mit Hilfe der Ableitungen höherer Ordnung.

Nebenbei bemerkt: Der Graph hat die Funktionsgleichung f(x)=0.25(x+1)3(x−1)(x−2)f(x)=0.25(x+1)^3(x-1)(x-2).

Solution

  1. Es ist

    • Ein Punkt PP auf dem Graphen von ff, an dem die Tangente horizontal verläuft, heisst stationärer Punkt von ff. Er ist ein lokales Maximum, wenn er die Spitze des Hügels ist, und ein lokales Minimum, wenn er der Boden eines Tals ist (wird zusammenfassend auch als lokales Extremum bezeichnet). Er ist ein Sattelpunkt, wenn er wie ein Sattel aussieht, d.h. er geht nach unten, wenn er sich nach links bewegt, und nach oben, wenn er sich nach rechts bewegt (oder andersherum). In der folgenden Abbildung ist AA ein Sattelpunkt, BB ein lokales Maximum und CC ein lokales Minimum.
    • Ein Punkt PP auf dem Graphen von ff, an dem die Steigung der Tangente ihre lokal grösste (oder lokal kleinste) Steigung erreicht, wird als Wendepunkt von ff bezeichnet. Sattelpunkte sind Wendepunkte und stationäre Punkte. Im Allgemeinen müssen Wendepunkte nicht unbedingt stationäre Punkte sein. In der Skizze unten sind die Punkte AA, DD und EE Wendepunkte.

  2. Aus der Skizze der ersten Ableitung ergibt sich für einen Punkt P(x∣y)P(x|y) im Graphen von ff folgendes:

    • f′(x)=0,f′′(x)>0→P locales minf'(x)=0, f''(x)>0 \rightarrow P\text{ locales min}
    • f′(x)=0,f′′(x)<0→P locales maxf'(x)=0, f''(x)<0 \rightarrow P\text{ locales max}
    • f′(x)=0,f′′(x)=0,f′′′(x)≠0→P Wendepunkt und Sattelpunktf'(x)=0, f''(x)=0, f'''(x)\neq 0 \rightarrow P\text{ Wendepunkt und Sattelpunkt}
    • f′(x)≠0,f′′(x)=0,f′′′(x)≠0→P Wendepunkt, kein Sattelpunktf'(x)\neq 0, f''(x)=0, f'''(x)\neq 0 \rightarrow P\text{ Wendepunkt, kein Sattelpunkt}

    Falls f′(x)=f′′(x)=f′′′(x)=0f'(x)=f''(x)=f'''(x)=0 könnte ein flacher Sattelpunkt, oder ein flaches Maximum oder Minimum vorliegen. In diesem Falle muss der Graph skizziert werden, um zu entscheiden.

  3. g(x)=x3(1−2x)=x3−2x4g(x)=x^3(1-2x)=x^3-2x^4. g′(x)=3x2−8x3g'(x)=3x^2-8x^3, g′′(x)=6x−24x2g''(x)=6x-24x^2, g′′′(x)=6−48xg'''(x)=6-48x.

    • stationäre Punkte: Finde xx mit

      g′(x)=0→3x2−8x3=x2(3−8x)=0g'(x)=0 \rightarrow 3x^2-8x^3=x^2(3-8x)=0

      also x1=0x_1=0 und x2=38x_2=\frac{3}{8}. Die Stationären Punkte sind P1(0∣0)P_1(0|0) und P2(0.375∣0.0131)P_2(0.375|0.0131).

    • lokales max/min/Sattelpunkt? g′′(0)=0g''(0)=0 also ist P1P_1 kein lokales Minimum oder Maximum. Da g′′′(0)=6≠g'''(0)=6\neq muss P1P_1 ein Sattelpunkt sein. g′′(8/3)=−98<0g''(8/3)=-\frac{9}{8}<0, also ist P2P_2 ein lokales Maximum.

    • Wendepunkte? Find xx with

      g′′(x)=0→x(6−24x)=0g''(x)=0 \rightarrow x(6-24x)=0

      also x1=0x_1=0 und x2=0.25x_2=0.25. Der Punkt x1x_1 ist ein Sattelpunkt (siehe oben). Der Punkt bei x2x_2 ist ebenfalls ein Wendepunkt, da g′′′(0.25)=−6≠0g'''(0.25)=-6\neq 0. Er hat die Koordinaten P3(0.25∣0.0078)P_3(0.25|0.0078).