Funktionen

Exercise 1: Zeichne die Graphen

Schreibe die Funktionsgleichung $f$ auf und skizziere den Graphen mit Hilfe einer Wertetabelle. Berechne dann $x$ so, dass $f(x)=0.5$ (durch das Auflösen einer Gleichung).

Die konstante Funktion mit der Höhe $y=2$ .
Die lineare Funktion mit der Steigung $2$ und dem $y$ -Achsenabschnitt $-1$ .
Die Exponentialfunktion mit der Basis $e$ .
Die logarithmische Funktion zur Basis $e$ .
Das Polynom mit den $x$ -Achsenabschnitten $-1, 0$ und $2$ , das durch den Punkt $P(4|3)$ geht. Hier muss man nicht das $x$ mit $f(x)=0.5$ finden.
Die verschiedenen Arten von Potenzfunktionen, die durch den Punkt $P(1|1)$ gehen.
Die drei trigonometrischen Funktionen. Erkläre auch, wie sie mit Hilfe des Einheitskreises definiert werden.

Solution

Exercise 2: Exponentielles und lineares Wachstum und Zerfall

Bestimme die Baumhöhe am Tag $30$ und den Zeitpunkt, an dem der Baum eine Höhe von $100m$ hat.

Beginnend am Tag $2$ und der Baumhöhe $0.4m$ wächst ein Baum jeden dritten Tag um den Faktor $1.1$ .
Beginnend am Tag $1$ und der Baumhöhe von $0.5m$ wächst ein Baum jeden zweiten Tag um $2\%$ .
Beginnend am Tag $2$ und der Baumhöhe von $0.4m$ wächst ein Baum jeden dritten Tag um $0.2m$ .

Solution

Exercise 3: Exponentielles oder lineares Wachstum?

Ein radioaktiver Stoff zerfällt alle 2 Jahre um $1\%$ .

Um wie viel Prozent zerfällt der Stoff alle 4 Jahre? Und jedes Jahr?
Was ist die Halbwertszeit des Materials (d.h. wann ist nur noch die Hälfte des Materials vorhanden)?

Solution

Exercise 4: Bestimme die Funktionsgleichung

Finde die lineare Funktion, die durch die Punkte $A(2|5)$ und $B(4|1)$ verläuft.
Finde die Exponentialfunktion, die durch die Punkte $A(2|5)$ und $B(4|1)$ geht.
Finde die Sinusfunktion mit der Amplitude $2$ und der Periode $3$ .
Finde das Polynom kleinsten Grades, das die $x$ -Achse bei $x=2$ berührt und durch den Ursprung und den Punkt $P(3|5)$ geht.

Solution

Exercise 5: Vom Graphen zur Funktionsgleichung 1

Nachfolgend sind die Graphen mehrerer Funktionen abgebildet. Wenn es sich um eine Potenzfunktion oder ein Polynom handelt, wurde der kleinstmögliche Exponent verwendet. Bestimme die Funktionsgleichungen der einzelnen Graphen.

Solution

(f) Polynom: $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$ . From $f(0)=3$ follows $a(1)(-1)(-3)=3\rightarrow a=1$ .
(g) Polynom oder quadratische Funktion (der Graph ist eine Parabel): $g(x)=a(x+4)^2$ (das Quadrat, weil der Graph die $x$ -Achse bei $-4$ berührt). Wegen $g(-2)=-2$ folgt $a(2)^2=-2\rightarrow a=-0.5$
(h) Polynom: $h(x)=a(x-4)^2(x-6)^2$ (das Quadrat da Berührungspunkte). Da $h(5)=2$ folgt $a(-1)^2(1)^2)=2\rightarrow a=2$

Exercise 6: Vom Graphen zur Funktionsgleichung 2

Nachfolgend sind die Graphen mehrerer Funktionen abgebildet. Wenn es sich um eine Potenzfunktion oder ein Polynom handelt, wurde der kleinstmögliche Exponent verwendet. Bestimme die Funktionsgleichungen der einzelnen Graphen.

Solution

(i) Sinusfunktion, aber in $x$ -Richtung um einen Faktor $u$ skaliert, $f(x)=2\sin(ux)$ :
$\begin{array}{lll} f(0)&=&\sin(u\cdot 0)=0\\ f(2)&=&\sin(u\cdot 2)=0\\ f(4)&=&\sin(u\cdot 4)=0\\ ... \end{array}$
Da
$\begin{array}{lll} \sin(0)&=&0\\ \sin(\pi)&=&0\\ \sin(2\pi)&=&0\\ ... \end{array}$
wähle $u$ so, dass
$\begin{array}{lll} f(0)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 0}_{0})=0\\ f(2)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 2}_{\pi})=0\\ f(4)&=&\sin(\underbrace{u\cdot 4}_{2\pi})=0\\ ... \end{array}$
also ist $u=\frac{\pi}{2}$ . Es ist $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}x)$ . Man beachte, dass der Graph auch in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ gestreckt wird, so dass man das folgende Endergebnis erhält
$f(x)=2\sin(\frac{\pi}{2}x)$
(k) Exponentialfunktion, die durch die Punkte $A(0|2)$ und $B(2|3)$ verläuft. Interpretiere diese Punkte als exponentiellen Wachstumsprozess:
$\begin{array}{r|l|l} \text{quantity }y & 2 & 3 \\\hline \text{time }x & 0 & 2 \end{array}$
Wir bekommen den Wachstumsfaktor $u=3/2=1.5$ , und haben somit
$k(x)=2\cdot 1.5^{x/2}$
(l) Quadratische Funktion.

Methode 1: Wegen des Fehlens von $x$ -Achsenabschnitten wählen wir den Ansatz
$l(x)=ax^2+bx+c$
Wir haben (siehe Graph)
$f(-3)=2 \rightarrow 9a-3b+c=2$ $f(-2)=4 \rightarrow 4a-2b+c=4$ $f(-4)=4 \rightarrow 16a-4b+c=4$
Aus Gleichung (1) folgt $c=2-9a+3b$ und setzt man dies in die Gleichungen (2) und (3) ein, erhält man
$4a-2b+2-9a+3b=4 \rightarrow -5a+b=2$ $16a-4b+2-9a+3b=4\rightarrow 7a-b=2$
Und aus diesen beiden Gleichungen folgt $b=2+5a$ und damit
$7a-2-5a=2 \rightarrow a=2$
and thus $b=2+5\cdot 2=12$ and $c=2-9\cdot 2+3\cdot 12=20$ . Somit haben wir
$l(x)=\underline{2x^2+12x+20}$
Methode 2: Wir verschieben den Graphen um $2$ nach unten, so dass er die $x$ -Achse bei $-3$ berührt. Auch dieser Graph geht durch den Punkt $(-2|2)$ . Für diesen verschobenen Graphen gilt also
$L(x)=a(x+3)^2$
und
$L(-2)=2 \rightarrow a(1)^2=2\rightarrow a=2$
Also haben wir $L(x)=2(x+3)^2$ . Verschiebt man den Graphen um $2$ nach oben, so erhält man
$l(x)=\underline{2(x+3)^2+2}$
Wenn wir expandieren, erhalten wir in der Tat das Ergebnis des ersten Ansatzes:
$2(x+3)^2+2=2(x^2+6x+9)+2=2x^2+12x+20$
(m) Lineare Funktion: $m(x)=ax+b$ with slope $a=\frac{-1}{2}=-0.5$ . Also
$m(x)=-0.5x+b$
Um $b$ zu finden, brauchen wir, dass $m(1)=5$ , und somit $-0.5\cdot 1+b=5$ , also $b=5.5$ . Somit gilt
$m(x)=-0.5x+5.5$

Exercise 7: Transformation von Graphen

Betrachte die Funktion $f(x)=x^2$ und die Funktionen

$g(x)=2x^2$
$g(x)=x^2+1$
$g(x)=-x^2$
$g(x)=(x-1)^2$

Durch welche geometrischen Operationen (Verschieben, Spiegeln, Strecken) lassen sich die Graphen von $g$ , $h$ , $i$ , $j$ und $k$ aus dem Graphen von $f$ gewinnen? Falls unklar, zeichne die Graphen (mit Hilfe eines Taschenrechners oder einer Wertetabelle), um es herauszufinden.

Können allgemeine Regeln angeben? Das heisst, durch welche geometrische Operation, die auf den Graphen von $f$ angewendet wird, erhalte ich den Graphen von $g$ ?

f \xrightarrow[]{\text{operation?}}g

$g(x)=2 f(x)$
$g(x)=f(x)+1$
$g(x)=-f(x)$
$g(x)=f(x-1)$

Solution

Streckung des Graphen $f$ in $y$ -Richtung um den Faktor $2$
Verschiebung des Graphen $f$ um $1$ nach oben
Spiegeln des Graphen $f$ um die $x$ -Achse
Rechtsverschiebung des Graphen $f$ um $1$

Exercise 8: Gleichungen

Löse ohne Taschenrechner:

$3x+2=5x-1$
$2x^2-3x=0$
$2x^2-6x=-4$
$2x^3-4x=0$
$0.5\sqrt{x}=0.5x-1$
$2x^{2/3}+1=19$
$3\cdot 2^{(x-2)/3}=24$
$4\log_{10}(2x+1)=8$
$(x^2-1)e^{10x}=0$

Solution

Alle $x$ auf eine Seite, Zahlen auf die andere Seite: $2x=3 \rightarrow x=1.5$
Quadratische Gleichung, also Mitternachtsformel, oder einfacher, faktorisiere aus $x$ : $x(2x-3)=0 \rightarrow x_1=0, x_2=1.5$
Quadratische Gleichung, Mitternachtsformel: $2x^2-6x+4=0 \rightarrow x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{4}\rightarrow x_1=2, x_2=1$
Faktorisiere $2x$ aus: $2x(x^2-2)=0 \rightarrow x_1=0, x_2=\pm \sqrt{2}$
Teile beide Seiten durch $0,5$ : $\sqrt{x}=x-2$ und quadriere dann beide Seiten: $x=(x-2)^2=x^2-4x+4$ . Dies ist eine quadratische Gleichung: $x^2-5x+4=0$ . Mit der Mitternachtsformel erhalten wir $x_1=1$ und $x_2=4$ . Beim Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung sehen wir, dass nur $x=4$ funktioniert.
Subtrahiere beide Seiten durch $1$ , und dividiere dann beide Seiten durch $2$ : $x^{2/3}=9$ . Erhöhe dann beide Seiten um $\frac{3}{2}$ :
$\underbrace{(x^{2/3})^{3/2}}_{x}=\underbrace{9^{3/2}}_{27}$
Daraus folgt $x=27$ . 7. Teile beide Seiten durch $3$ : $2^{(x-2)/3}=8$ . Wende $\log_2(.)$ auf beide Seiten an:
$\underbrace{\log_2(2^{(x-2)/3})}_{(x-2)/3\cdot\log_2(2)} =\underbrace{\log_2(8)}_{3}$
Aufgrund von $\log_2(2)=1$ und $\log_2(8)=3$ erhalten wir die Gleichung
$\frac{x-2}{3}=3$
und es folgt $x=11$ .
Dividiere beide Seiten durch 4: $\log_{10}(2x+1)=2 \rightarrow 10^2=2x+1$ , also folgt $x=49.5$
Da $e^{(...)}>0$ , muss gelten $x^2-1=0\rightarrow x=\pm 1$ .