Einige geometrische Fakten

Fassen wir nun einige der geometrischen Eigenschaften zusammen, die wir im letzten Abschnitt beobachtet haben. Beginnen wir mit parallelen und orthogonalen Geraden:

Theorem 1

Betrachte zwei Geraden gg und hh mit den Steigungen aa und bb.

  1. gg und hh sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben:

    g∥h  ⟺  a=bg \parallel h \iff a=b

  2. gg und hh sind orthogonal (das heisst, sie bilden einen rechten Winkel), wenn das Produkt der beiden Steigungen −1-1 ist:

    g⊥h  ⟺  ab=−1g \perp h \iff ab=-1

    (statt der Bedingung ab=−1ab=-1 kann man auch a=−1ba=-\frac{1}{b} oder b=−1ab=-\frac{1}{a} verwenden).

Exercise 1

Gegeben sind die linearen Funktionen ff and gg. Sind sie parallel, orthogonal, oder weder noch?

  1. f(x)=−3x+2f(x)=-3x+2 und g(x)=6−3xg(x)=6-3x

  2. f(x)=10x+1f(x)=10x+1 und g(x)=−0.1x−1g(x)=-0.1x-1

  3. f(x)=4x+3f(x)=4x+3 und g(x)=0.25x+1g(x)=0.25x+1

Solution
  1. parallel, weil gleiche Steigung −3-3
  2. orthogonal, weil 10⋅(−0.1)=−110\cdot (-0.1)= -1
  3. weder noch, weil sie nicht die gleiche Steigung haben und ihr Produkt nicht −1-1 ist.

Wir haben uns auch mit dem Strahlensatz befasst, der recht nützlich sein kann. Wir wollen ihn hier nochmals zusammenfassen:

Theorem 2: Strahlensatz

Man betrachte zwei Geraden, die sich im Punkt PP schneiden, und zwei Geraden gg und hh, die durch diese beiden Geraden verlaufen und die Schnittpunkte AA, BB, A′A^\prime und B′B^\prime ergeben (siehe Abbildung unten). Es gilt dann Folgendes:

g∥h  ⟺  PA′PA=PB′PB=A′B′ABg \parallel h \iff \frac{PA^\prime}{PA}=\frac{PB^\prime}{PB}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}

Mit ABAB ist hier der Abstand zwischen AA und BB gemeint, und so weiter.

Exercise 2

Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge xx in der folgenden Abbildung.

Solution

104=3+x3→7.5=3+x→x=4.5‾\frac{10}{4}=\frac{3+x}{3}\rightarrow 7.5=3+x\rightarrow x=\underline{4.5}.