Eine geometrische Interpretation von Systemen linearer Gleichungen

Betrachte die folgenden drei linearen Gleichungssysteme und löse sie:

Exercise 1: System 1

Solution

Ersetzen wir das $y$ in der zweiten Gleichung durch $y=2x+1$ . Wir erhalten

-3x+2=2x+1-2

und somit $x=\underline{0.6}$ . Es folgt $y=2\cdot 0.6+1=\underline{2.2}$ .

\begin{array}{|lll|} 2x+1 & =&y \\ -3x+2 & =&y-2 \end{array}

Exercise 2: System 2

Solution

Ersetzen wir das $y$ in der zweiten Gleichung durch $y=2x+1$ . Wir erhalten

2=2(2x+1)-4x=2

Also

2=2

Jedes $x$ erfüllt also diese Gleichung, was bedeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

\begin{array}{|lll|} 2x+1 & =&y \\ 2 & =& 2y-4x \end{array}

Exercise 3: System 3

Solution

Ersetzen wir das $y$ in der zweiten Gleichung durch $y=2x+1$ . Wir erhalten

1=2(2x+1)-4x=2

Wir erhalten

1=2

Jedes $x$ , das wir ausprobieren, endet also mit einem Widerspruch. Es gibt also kein $x$ , das die Gleichung erfüllen kann. Also keine Lösung.

\begin{array}{|lll|} 2x+1 & =&y \\ 1 & =& 2y-4x \end{array}

Gibt es einen besseren Weg, um zu sehen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem besitzt. Und gibt es manchmal auch 2 oder 3 Lösungen?

Die Dinge werden klarer, wenn wir einen geometrischen Blick auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems werfen. Nehmen wir das System 1, das wir hier noch einmal kopieren:

\begin{array}{|lll|} 2x+1 & =&y \\ -3x+2 & =&y-2 \end{array}

Schreiben wir es wie folgt um:

\begin{array}{|lll|} y & =&2x+1 \\ y & =&-3x+4 \end{array}

Eine Möglichkeit, dieses System zu lösen, besteht darin, Folgendes zu schreiben

2x+1 =y = -3x+4

Um also $x$ zu finden, müssen wir die Gleichung lösen

2x+1 = -3x+4

Wir könnten das tun, und würden wieder $x=0.6$ und $y=2.2$ erhalten. Aber der Punkt, den wir hier machen wollen, ist ein anderer. Vergessen wir für den Moment das Lösen von linearen Gleichungssystemen und kehren wir zurück zu der Suche nach dem Schnittpunkt, nennen wir ihn $S$ , zwischen den beiden Funktionen

\begin{array}{lll} f(x)&=2x+1\\ g(x)&=-3x+4 \end{array}

Um die $x$ -Koordinate von $S$ zu finden, müssen wir ein $x$ finden, für das gilt

f(x)=g(x)

oder

2x+1=-3x+4

Beachte, dass wir genau die gleiche Gleichung wie oben lösen, also $x=0.6$ , und die $y$ -Koordinate ist $f(0.6)=2\cdot 0.6+1 = 2.2$ .

Mit anderen Worten:

Theorem 1

Die Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen (mit zwei Unbekannten) ist der Schnittpunkt zweier gerader Linien.

Ein System linearer Gleichungen hat also genau eine Lösung (wenn sich die Geraden schneiden), unendlich viele Lösungen (wenn sich die Geraden überlappen) und keine Lösung (wenn die Geraden parallel sind und sich nicht überlappen).

Eine andere Anzahl von Lösungen gibt es nicht.

Exercise 4

Bestimme die Anzahl der Lösungen der Systeme 2 und 3, indem du untersuchst, ob sich die entsprechenden Geraden schneiden, parallel sind oder sich überlappen.

Solution

Für System 2

$f(x)=2x+1$ und $g(x)=2x+1$ . Die Geraden (die Graphen von $f$ und $g$ ) sind also überlappend. Es gibt also unendlich viele Lösungen (alle Punkte auf der Geraden $f$ ). Eine Lösung ist z.B. $x=0$ und $y=f(0)=2\cdot 0+1=1$ . Eine andere ist $x=1$ und $y=f(1)=2\cdot 1+1=3$ , und so weiter.

Für System 3

$f(x)=2x+1$ und $g(x)=2x+0.5=g(x)$ . Die Geraden (die Graphen von $f$ und $g$ ) sind also parallel, aber nicht überlappend (sie haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $y$ -Achsenabschnitte). Es gibt also keine Lösung.