Wurzeln und Potenzen

Es sei daran erinnert, dass die vierte Potenz von 55 definiert ist als

54=5⋅5⋅5⋅5⏟4 times=6255^4 = \underbrace{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}_{4 \text{ times}} = 625

und wenn die Potenz negativ ist, erhalten wir Brüche:

5−4=154=16255^{-4} = \frac{1}{5^4}=\frac{1}{625}

Das macht Sinn, wenn wir eine gewisse Regelmässigkeit beibehalten wollen: Wird der Exponent um 1 erniedrigt, so teilt sich der Wert durch 55:

54=625↓:553=125↓:552=25↓:551=5↓:550=1↓:55−1=15=151↓:55−2=125=152↓:55−3=1125=153...\begin{array}{rll} 5^4 & = & 625\\ & \downarrow :5 & \\ 5^3 & = & 125\\ & \downarrow :5 & \\ 5^2 & = & 25\\ & \downarrow :5 & \\ 5^1 & = & 5\\ & \downarrow :5 & \\ 5^0 & = & 1\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-1} & = & \frac{1}{5}=\frac{1}{5^1}\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-2} & = & \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}\\ & \downarrow :5 & \\ 5^{-3} & = & \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}\\ & ... & \end{array}

Man beachte auch, dass daraus 50=15^0=1 folgt. Allgemeiner ausgedrückt, haben wir die folgenden Potenzregeln:

Theorem 1: Potenzgesetze

Für jede Zahl a,b,na, b, n und mm gilt:

DEF:an=a⋅...⋅a⏟n timesa0=1a−n=1ana1/n=anGB:an⋅am=an+m and anam=an−mGE:an⋅bn=(ab)n and anbn=(ab)nPP:(an)m=anm\begin{array}{r|rll} \text{DEF:} & a^n &=&\underbrace{a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ times}}\\[0.2em] & a^0&=&1\\[0.2em] & a^{-n} &=& \frac{1}{a^n}\\[0.2em] & a^{1/n} &=& \sqrt[n]{a}\\[0.2em] & & \\ \text{GB:} & a^n\cdot a^m &=& a^{n+m} \quad\text{ and }\quad \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\[0.2em] \text{GE:} & a^n\cdot b^n &=& (ab)^n \quad\text{ and }\quad \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\\[0.2em] \text{PP:} & (a^n)^m &=& a^{nm} \end{array}

wobei DEF='Definition', GB='gleiche Basis', GE='gleicher Exponent', und PP='Potenz einer Potenz' steht.

Note 1

Wichtig: Wir haben bis jetzt nur gezeigt, dass diese Regeln für alle Exponenten nn und mm gelten, die ganzzahlig sind (also in Z={...,−2,−1,0,1,2,3,...}\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}). Es kann aber gezeigt werden, dass diese Potenzregeln immer gelten, also für alle Exponenten, insbesondere also auch für Brüche (daher rationale Zahlen).

Beachte auch, dass wir eine neue Definition in den Potenzregeln erwähnt haben:

a1/n=ana^{1/n}=\sqrt[n]{a}
Example 1
251/2=252=525^{1/2}=\sqrt[2]{25}=5

In der Tat folgt ja aus den Potenzregeln, dass

(a1/n)n=a1nn=ann=a1=a(a^{1/n})^n = a^{\frac{1}{n}n }= a^\frac{n}{n} = a^1 = a

Also muss a1/na^{1/n} die nn-te Wurzel von aa sein (laut Definition der n-ten Wurzel aus dem vorgehenden Kapitel).

Example 2

Bestimme ohne Taschenrechner, indem zuerst in die Wurzel konvertiert wird:

  1. 81/3=28^{1/3}=2, da 81/3=838^{1/3}=\sqrt[3]{8}
  2. 8−1/3=128^{-1/3}=\frac{1}{2}, da 8−1/3=181/3=183=128^{-1/3}=\frac{1}{8^{1/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}
  3. 82/3=48^{2/3}=4, da 82/3=813⋅2=(813)2=(83)2=22=48^{2/3}=8^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(8^\frac{1}{3}\right)^2=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4

Verifiziere mit dem Taschenrechner!

Exercise 1
  1. Zeige mit Hilfe der Potenzregeln:
    1. 7⋅83=73⋅83\sqrt[3]{7\cdot 8} = \sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{8}
    2. 783=7383\sqrt[3]{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{8}}
    3. 7103=710/3\sqrt[3]{7^{10}}=7^{10/3}
    4. 733=7\sqrt[3]{7^3}=7
  2. Zeige mit Hilfe der Potenzregeln:
    1. a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}
    2. abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
    3. amn=am/n\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}
    4. ann=a\sqrt[n]{a^n}=a
    5. an⋅am=an+mn⋅m\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}=\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}
  3. Zeige mit dem Taschenrechner, dass die folgende Gleichung nicht korrekt sind: 7+83=73+83\sqrt[3]{7+ 8} = \sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{8}
  4. Berechne mit dem Taschenrechner. Brauche zwei verschieden Methoden:

    1. 410\sqrt[10]{4}

    2. 0.755\sqrt[5]{0.75}

Solution
  1. Es ist
    1. 7⋅83=D(7⋅8)1/3=SE71/3⋅81/3=D73⋅83\sqrt[3]{7\cdot 8} \overset{D}{=} (7\cdot 8)^{1/3} \overset{SE}{=} 7^{1/3}\cdot 8^{1/3}\overset{D}{=}\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{8}
    2. 783=D(78)1/3=SE(71/381/3)=D7383\sqrt[3]{\frac{7}{8}} \overset{D}{=} \left(\frac{7}{8}\right)^{1/3} \overset{SE}{=} \left(\frac{7^{1/3}}{8^{1/3}}\right) \overset{D}{=} \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{8}}
    3. 7103=D(710)1/3=PP710/3\sqrt[3]{7^{10}}\overset{D}{=} \left(7^{10}\right)^{1/3}\overset{PP}{=} 7^{10/3}
    4. Es folgt von (c): 733=73/3=7\sqrt[3]{7^3}=7^{3/3}=7
  2. Es ist
    1. a⋅bn=D(a⋅b)1/n=SEa1/n⋅b1/n=Dan⋅bn\sqrt[n]{a\cdot b} \overset{D}{=} (a\cdot b)^{1/n} \overset{SE}{=} a^{1/n}\cdot b^{1/n}\overset{D}{=}\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}
    2. abn=D(ab)1/n=SE(a1/nb1/n)=Danbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \overset{D}{=} \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} \overset{SE}{=} \left(\frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}\right) \overset{D}{=} \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
    3. amn=D(am)1/n=PPam/n\sqrt[n]{a^{m}}\overset{D}{=} \left(a^{m}\right)^{1/n}\overset{PP}{=} a^{m/n}
    4. Follows from c: ann=an/n=a\sqrt[n]{a^n}=a^{n/n}=a
    5. an⋅am=Da1/na1/m=PPa1/n+1/m=an+mn⋅m=Dan+mn⋅m\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[m]{a}\overset{D}{=}a^{1/n} a^{1/m} \overset{PP}{=} a^{1/n+1/m}=a^\frac{n+m}{n\cdot m}\overset{D}{=}\sqrt[n\cdot m]{a^{n+m}}
  3. nicht gezeigt ...
  4. Methode 1 ist mit der Wurzel: 2nd und x□\boxed{2nd} \text{ und } \boxed{x^\square}, Methode 2 ist mit Potenzen: x□\boxed{x^\square}.
Exercise 2
  1. Berechne ohne Taschenrechner, und schreibe das Resultat als natürliche Zahl oder einen Bruch:
    1. 811/281^{1/2}
    2. 10 0001/410\,000^{1/4}
    3. 11/31^{1/3}
    4. 01/50^{1/5}
    5. 271/327^{1/3}
    6. 6250.5625^{0.5}
    7. 2560.25256^{0.25}
    8. (27125)1/3\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3}
    9. (110 000)1/4\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4}
    10. 25−1/225^{-1/2}
    11. 343−1/3343^{-1/3}
    12. 16−1/416^{-1/4}
    13. 243−1/5243^{-1/5}
    14. 49−0.549^{-0.5}
    15. 256−0.125256^{-0.125}
    16. 82/38^{2/3}
    17. 0.25−0.50.25^{-0.5}
    18. 160.7516^{0.75}
    19. (165)0.1(16^5)^{0.1}
    20. 5⋅320.45 \cdot 32^{0.4}
  2. Konvertiere in eine Potenz der Form ana^n, wobei die Basis aa eine natürliche Zahl sein muss, und zwar so klein wie möglich:
    1. 534\sqrt[4]{5^3}
    2. 10 0006\sqrt[6]{10\,000}
    3. 0.00017\sqrt[7]{0.0001}
    4. 0.53\sqrt[3]{0.5}
    5. 0.125\sqrt{0.125}
    6. 1814\frac{1}{\sqrt[4]{81}}
  3. Schreibe als einzelne Wurzel an\sqrt[n]{a}, wobei der Radikand aa eine natürliche Zahl ist:
    1. 11123⋅11135⋅11130\sqrt[3]{111^2} \cdot \sqrt[5]{111^3} \cdot \sqrt[30]{111}
    2. 514623512346\frac{\sqrt[23]{51^{46}}}{\sqrt[46]{51^{23}}}
  4. Bestimme ohne Taschenrechner:
    1. 161/2+82/3+363/2−1251/3+272/316^{1/2}+8^{2/3}+36^{3/2}-125^{1/3}+27^{2/3}
    2. 10002/3−1252/3+161/2+82/3−813/4+272/31000^{2/3}-125^{2/3}+16^{1/2}+8^{2/3}-81^{3/4}+27^{2/3}
  5. Sortiere nach absteigender Reihenfolge (ohne Taschenrechner):
    1. 49,490,49−1,491,491.5,49−1.549, 49^0, 49^{-1}, 49^1, 49^{1.5}, 49^{-1.5}
    2. 625−0.75,144−1.5,2−10,100−1.5625^{-0.75}, 144^{-1.5}, 2^{-10}, 100^{-1.5}
  6. Bestimme ohne Taschenrechner:

    1. 7296−31255+12964−3433\sqrt[6]{729}-\sqrt[5]{3125}+\sqrt[4]{1296}-\sqrt[3]{343}

    2. 1325−11253+1646−16254\sqrt[5]{\frac{1}{32}}-\sqrt[3]{\frac{1}{125}}+\sqrt[6]{\frac{1}{64}}-\sqrt[4]{\frac{1}{625}}

    3. 64−16−243−15+625−14\sqrt[6]{64^{-1}}-\sqrt[5]{243^{-1}}+\sqrt[4]{625^{-1}}

Solution
  1. Es ist
    1. 811/2=(92)1/2=91=981^{1/2}=(9^2)^{1/2}=9^1=9
    2. 10 0001/4=(104)1/4=101=1010\,000^{1/4}=(10^4)^{1/4}=10^1=10
    3. 11/3=13=11^{1/3}=\sqrt[3]{1}=1
    4. 01/5=05=00^{1/5}=\sqrt[5]{0}=0
    5. 271/3=(33)1/3=31=327^{1/3}=(3^3)^{1/3}=3^1=3
    6. 6250.5=(252)0.5=251=25625^{0.5}=(25^2)^{0.5}=25^1=25
    7. 2560.25=(28)0.25=22=4256^{0.25}=(2^8)^{0.25}=2^2=4
    8. (27125)1/3=271/31251/3=35\left(\frac{27}{125}\right)^{1/3}=\frac{27^{1/3}}{125^{1/3}}=\frac{3}{5}
    9. (110 000)1/4=11/4(104)1/4=110\left(\frac{1}{10\,000}\right)^{1/4}=\frac{1^{1/4}}{(10^4)^{1/4}}=\frac{1}{10}
    10. 25−1/2=(52)−1/2=5−1=1525^{-1/2}=(5^2)^{-1/2}=5^{-1}=\frac{1}{5}
    11. 343−1/3=(73)−1/3=7−1=17343^{-1/3}=(7^3)^{-1/3}=7^{-1}=\frac{1}{7}
    12. 16−1/4=(24)−1/4=2−1=1216^{-1/4}=(2^4)^{-1/4}=2^{-1}=\frac{1}{2}
    13. 243−1/5=(35)−1/5=3−1=13243^{-1/5}=(3^5)^{-1/5}=3^{-1}=\frac{1}{3}
    14. 49−0.5=(72)−0.5=7−1=1749^{-0.5}=(7^2)^{-0.5}=7^{-1}=\frac{1}{7}
    15. 256−0.125=(28)−0.125=2−1=12256^{-0.125}=(2^8)^{-0.125}=2^{-1}=\frac{1}{2}
    16. 82/3=(23)2/3=22=48^{2/3}=\left(2^3\right)^{2/3}=2^2=4
    17. 0.25−0.5=10.25=10.5=20.25^{-0.5}=\frac{1}{\sqrt{0.25}}=\frac{1}{0.5}=2
    18. 160.75=163/4=(24)3/4=23=816^{0.75}=16^{3/4}=\left(2^4\right)^{3/4}=2^3=8
    19. (165)0.1=161/2=16=4(16^5)^{0.1}=16^{1/2}=\sqrt{16}=4
    20. 5⋅320.4=5⋅322/5=5⋅(25)2/5=5⋅22=205 \cdot 32^{0.4}=5\cdot 32^{2/5}=5\cdot \left(2^5\right)^{2/5}=5\cdot 2^2=20
  2. Es ist
    1. 534=53/4\sqrt[4]{5^3}=5^{3/4}
    2. 10 0006=1046=102/3\sqrt[6]{10\,000}=\sqrt[6]{10^4}=10^{2/3}
    3. 0.00017=10−47=10−4/7\sqrt[7]{0.0001}=\sqrt[7]{10^{-4}}=10^{-4/7}
    4. 0.53=2−13=2−1/3\sqrt[3]{0.5}=\sqrt[3]{2^{-1}}=2^{-1/3}
    5. 0.125=18=2−32=2−3/2\sqrt{0.125}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt[2]{2^{-3}}=2^{-3/2}
    6. 1814=1344=13=3−1\frac{1}{\sqrt[4]{81}}=\frac{1}{\sqrt[4]{3^4}}=\frac{1}{3}=3^{-1}
  3. Es ist
    1. Mit Umformen: 11123⋅11135⋅11130=1112/3⋅1113/5⋅1111/30=1112/3+3/5+1/30=11113/10 \begin{array}{l}\sqrt[3]{111^2} \cdot \sqrt[5]{111^3} \cdot \sqrt[30]{111}\\ = 111^{2/3}\cdot 111^{3/5}\cdot 111^{1/30}\\ = 111^{2/3+3/5+1/30}\\ = 111^{13/10} \end{array}
    2. 514623512346=5146/235123/46=512511/2=513/2\frac{\sqrt[23]{51^{46}}}{\sqrt[46]{51^{23}}}=\frac{51^{46/23}}{51^{23/46}}=\frac{51^2}{51^{1/2}}=51^{3/2}
  4. Es ist
    1. Mit Umformen: 161/2+82/3+363/2−1251/3+272/3=(42)1/2+(23)2/3+(62)3/2−(53)1/3+(33)2/3=4+22+63−5+32=4+4+216−5+9=228 \begin{array}{l} 16^{1/2}+8^{2/3}+36^{3/2}-125^{1/3}+27^{2/3}\\= (4^2)^{1/2}+(2^3)^{2/3}+(6^2)^{3/2}-(5^3)^{1/3}+(3^3)^{2/3}\\=4+2^2+6^3-5+3^2\\= 4+4+216-5+9=228\end{array}
    2. Mit Umformen: 10002/3−1252/3+161/2+82/3−813/4+272/3=(103)2/3−(53)2/3+(42)1/2+(23)2/3−(34)3/4+(33)2/3=102−52+4+22−33+32=100−25+4+4−27+9=65 \begin{array}{l} 1000^{2/3}-125^{2/3}+16^{1/2}+8^{2/3}-81^{3/4}+27^{2/3}\\ = (10^3)^{2/3}-(5^3)^{2/3}+(4^2)^{1/2}+(2^3)^{2/3}-(3^4)^{3/4}+(3^3)^{2/3}\\= 10^2-5^2+4+2^2-3^3+3^2\\= 100-25+4+4-27+9\\=65\end{array}
  5. Es ist
    1. 491.5>49=491>490>49−1>49−1.549^{1.5}> 49=49^1> 49^0> 49^{-1}> 49^{-1.5}
    2. Mit Umformen: 625−0.75=1/53=1/125144−1.5=1/123=1/17282−10=1/210=1/1024100−1.5=1/103=1/1000 \begin{array}{lllll} 625^{-0.75}&=&1/5^3&=&1/125\\ 144^{-1.5}&=&1/12^3&=&1/1728\\ 2^{-10}&=&1/2^{10}&=&1/1024\\ 100^{-1.5}&=&1/10^3&=&1/1000 \end{array} Also 625−0.75>100−1.5>2−10>144−1.5625^{-0.75}> 100^{-1.5}> 2^{-10}> 144^{-1.5}
  6. Wir haben
    1. 7296−31255+12964−3433=3−5+6−7\sqrt[6]{729}-\sqrt[5]{3125}+\sqrt[4]{1296}-\sqrt[3]{343}=3-5+6-7
    2. 1325−11253+1646−16254=12−15+12−15=35\sqrt[5]{\frac{1}{32}}-\sqrt[3]{\frac{1}{125}}+\sqrt[6]{\frac{1}{64}}-\sqrt[4]{\frac{1}{625}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}
    3. 64−16−243−15+625−14=12−13+15=1130\sqrt[6]{64^{-1}}-\sqrt[5]{243^{-1}}+\sqrt[4]{625^{-1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{11}{30}