Gleichungen mit Wurzeln und Potenzen

Im Allgemeinen ist es schwierig, eine Lösung für eine Gleichung zu finden, die Wurzeln und Potenzen enthält, wie z. B.

3\sqrt{x}+2x^{2/3}+1=0

Eine Ausnahme ist, wenn die Gleichung in die folgenden Form gebracht werden kann

x^n=d

wobei $d$ eine beliebige Zahl sein kann. Zum Beispiel,

x^{3/4}=5

Wie kann diese Gleichung gelöst werden? Hier sind ein paar Methoden:

Methode 1

\begin{array}{lll} x^{3/4} &=& 5 &\quad\vert (\text{\phantom{a}})^4\\ x^3 &=& 5^4=625 &\quad\vert \sqrt[3]{\text{\phantom{a}}}\\ x &=& \sqrt[3]{625}=\underline{8.55} & \end{array}

Methode 2

Anstatt die dritte Wurzel zu ziehen, hätten wir beide Seiten hoch $1/3$ rechnen können:

\begin{array}{lll} x^{3/4} &=& 5 &\quad\vert (\text{\phantom{a}})^4\\ x^3 &=& 5^4=625 &\quad\vert (\text{\phantom{a}})^{1/3}\\ x &=& 625^{1/3}=\underline{8.55} & \end{array}

Methode 3

Schliesslich könnten wir die beiden Schritte, beide Seiten um $4$ und dann um $1/3$ zu erhöhen, kombinieren, indem wir beide Seiten direkt um $4/3$ erhöhen:

\begin{array}{lll} x^{3/4} &=& 5 &\quad\vert (\text{\phantom{a}})^{4/3}\\ x &=& 5^{4/3}=\underline{8.55} & \end{array}

Summary 1

Eine Gleichung der Form

$x^{n/m}=d$

kann gelöst werden, indem beide Seiten mit dem Umkehrwert $m/n$ potenziert werden:

\begin{array}{lll} x^{n/m} &=& d &\quad\vert (\text{\phantom{a}})^{m/n}\\ x &=& d^{m/n} & \end{array}

Die Zahlen $n$ und $m$ können natürlich auch negativ sein. Und beachte, dass wir manchmal etwas Arbeit leisten müssen, um eine Gleichung in die Form $x^n=d$ zu bringen. Hier sind einige Beispiele.

Example 1

Löse die Gleichungen:

$5x^{2/3} -4 =0$
$x^{-1.212}=4$
$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}=8$
$3x^{2/3} = 12\sqrt{x}$

Solution

Wir haben
$\begin{array}{rll} 5x^{2/3}-4 &=& 0 & \quad\vert +4, :5\\ x^{2/3} &=& 0.8 & \quad\vert ()^{3/2}\, \text{as } \frac{1}{2/3}=3/2\\ x &=&0.8^{3/2}=\underline{0.7155...} & \end{array}$
Es ist
$\begin{array}{rll} x^{-1.212} &=& 4 & \quad\vert ()^{-1/1.212}\, \text{as } \frac{1}{-1.212}=-1/1.212\\ x &=& 4^{-1/1.212}=\underline{0.318} & \\ \end{array}$
Es ist
$\begin{array}{rll} \frac{2}{\sqrt[3]{x}} &=& 8 & \\ 2 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} &=& 8 & \\ 2 x^{-1/3} &=& 8 & \quad\vert :2\\ x^{-1/3} &=& 4 & \quad\vert ()^{-3}\, \text{as } \frac{1}{-1/3}=-3 \\ x &=& 4^{-3}=\underline{0.015625} & \\ \end{array}$
Es ist
$\begin{array}{rll} 3x^{2/3} &=& 12\sqrt{x} & \\ 3x^{2/3} &=& 12x^{1/2} & \quad\vert :3, :x^{1/2}\\ \frac{x^{2/3}}{x^{1/2}} &=& 4 & \\ x^{1/6} &=& 4 & \quad\vert ()^{6}\, \text{as } \frac{1}{1/6}=6\\ x&=& 4^6=\underline{4096} & \\ \end{array}$
Eine andere Lösung ist $x=\underline{0}$ , wie man sieht, wenn $x=0$ direkt in die Gleichung einsetzt wird.

Wir können weiter verallgemeinern, indem wir $x$ durch einen komplizierteren Ausdruck ersetzen. Hier sind zwei Beispiele:

Example 2

Löse die Gleichungen:

$(3x)^{1.25} = 2$
$4\cdot \sqrt[3]{x^2-1}=8$

Solution

Wir haben
$\begin{array}{rll} (3x)^{1.25} &=& 2 & \quad\vert ()^{1/1.25}\\ 3x &=& 2^{1/1.25}=1.741 & \quad\vert :3\\ x &=& \underline{0.58} & \end{array}$
Es ist
$\begin{array}{rll} 4\sqrt[3]{x^2-1} &=& 8 & \quad\vert :4\\ \sqrt[3]{x^2-1} &=& 2 & \\ \left(x^2-1\right)^{1/3} &=& 2 & \quad\vert ()^{3}\, \text{as } \frac{1}{1/3}=3\\ x^2-1 &=& 2^3 & \quad\vert+1\\ x^2 &= &9 &\quad\vert \sqrt{\text{\phantom{a}}}\\ x &= &\underline{\pm3} \end{array}$

Exercise 1

Löse die Gleichungen:

$4 x^{3/4}-16=0$
$2x^{0.2}=5$
$6x^{2.1}=5x$
$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=3$
$\frac{3}{2x^{1/3}}=5$
$5 (x^2+4x-1)^{0.5}=10$
$0.5 x^{2/5} =\sqrt[3]{x}$

Solution

$x=6.349$
$x=97.656$
$x_1=0, x_2=0.847$
$x=0.231$
$x=0.027$
$x_1=-5, x_2=1$
$x_1=0, x_2=32\,768$