Berechnung: Einfach

Frage: Was steckt hinter

∫02x2 dx=F(2)−F(0)\int_0^2 x^2\, dx = F(2)-F(0)

Es gibt einen erstaunlich einfachen Weg, integrale zu berechnen. Dieser Weg nennt sich Fundamentalsatz der Analysis, und geht wiefolgt.

Theorem 1

Das Integral einer Funktion ff von aa nach bb lässt sich mit einer einfachen Subtraktion berechnen:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a)

wobei für die Funktion FF gelten muss, dass F′(x)=f(x)F'(x)=f(x), daher, dass FF abgeleitet ff ergeben muss. Eine solche Funktion with Stammfunktion von ff genannt.

Example 1

Wir möchten ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\, dx berechnen.

  1. Finde eine Stammfunktion von x2x^2. Daher, wir müssen eine Funktion FF finden mit

    F↓′f\begin{array}{c} F \\ \downarrow^\prime\\ f \end{array}

    Mit ein bisschen ausprobieren sehen wir, dass dies für

    F(x)=13x3F(x)=\frac{1}{3}x^3

    gelten muss, da F′(x)=13⋅3⋅x2=x2F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot x^2=x^2 ist.

  2. Berechne das Integral mit Hilfe des Fundamentalsatzes:

    ∫02x2 dx=F(2)−F(0)=13⋅23−13⋅03=83−1=1.6‾\int_0^2 x^2\, dx = F(2)-F(0)=\frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3 =\frac{8}{3}-1=1.\overline{6}

    Beachte: Oft wird auch die folgende nützlichliche Schreibweise verwendet:

    ∫02x2 dx=[13x3]02=13⋅23−13⋅03=1.6‾\int_0^2 x^2\, dx = [\frac{1}{3} x^3]_0^2 = \frac{1}{3}\cdot 2^3-\frac{1}{3}\cdot 0^3=1.\overline{6}

Der Schlüssel zum Integralrechnen ist also Stammfunktionen finden, und dafür müssen wir die Ableitungsregeln kennen, und für viele Ableitungsregeln müssen wir die Potenzregeln der Algebra kennen!

Note 1

Beachte, dass Integrale auch mit dem Taschenrechner bestimmt werden können (aber nicht die Stammfunktion). Es lohnt sich, zu wissen wie das geht.