Rotationsvolumen

Exercise 1

Die Fläche unter $f(x) = \frac{1}{2}x$ rotiert im Intervall $[0, 4]$ um die $x$ -Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Kegels.

Solution

Formel: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$

V = \pi \int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} \frac{1}{4}x^2 \, dx

V = \pi \left[ \frac{1}{12}x^3 \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{64}{12} = \frac{16\pi}{3}

Das Volumen beträgt $\frac{16\pi}{3}$ Volumeneinheiten.

Exercise 2

Die Fläche unter $f(x) = e^x$ rotiert im Intervall $[0, \ln(2)]$ um die $x$ -Achse. Bestimme das Volumen.

Solution

V = \pi \int_{0}^{\ln(2)} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{\ln(2)} e^{2x} \, dx

\text{Stammfunktion: } F(x)= \frac{1}{2}e^{2x}

V = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{\ln(2)}

V = \frac{\pi}{2} (e^{2\ln(2)} - e^0) = \frac{\pi}{2} (e^{\ln(4)} - 1)

V = \frac{\pi}{2} (4 - 1) = \frac{3\pi}{2}

Das Volumen beträgt $\frac{3\pi}{2}$ .

Exercise 3

Die Fläche zwischen $f(x) = x^2$ und $g(x) = 1$ rotiert um die $x$ -Achse. Berechne das Volumen des so entstehenden Hohlkörpers.

Solution

Schnittpunkte: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ . Da $g(x) = 1$ die obere Grenze ist:

V = \pi \int_{-1}^{1} 1^2\, dx - \pi \int_{-1}^{1} 1^2(x^2)^2) \, dx

V = \pi \int_{-1}^{1} 1\, dx - int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \frac{8\pi}{5}

Das Volumen beträgt $\frac{8\pi}{5}$ .