Ableitung der Exponentialfunktion

Theorem 1

Die Exponentialfunktion exp⁡(x)=ex\exp(x)=\mathrm{e}^x ist für alle x∈Rx\in\mathbb{R} differenzierbar, und es gilt

(ex)′=ex.\left(\mathrm{e}^x\right)'=\mathrm{e}^x.
Proof

Um die Ableitung der Exponentialfunktion exp⁡(x)=ex\exp(x)=\mathrm{e}^x zu bestimmen, muss man den Grenzwert

(ex)′=lim⁡h→0ex+h−exh\left(\mathrm{e}^x\right)'=\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{x+h}-\mathrm{e}^x}{h}

untersuchen.

Exercise 1

Überzeuge dich davon, dass obiger Grenzwert gleich

ex⋅lim⁡h→0eh−1h\mathrm{e}^x\cdot\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}

ist.

Solution(ex)′=lim⁡h→0ex+h−exh=lim⁡h→0ex⋅eh−exh=lim⁡h→0ex(eh−1)h=ex⋅lim⁡h→0eh−1h\begin{align*} \left(\mathrm{e}^x\right)' &= \lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{x+h}-\mathrm{e}^x}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}\cdot\mathrm{e}^h-\mathrm{e}^{x}}{h} = \lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}(\mathrm{e}^h-1)}{h}\\ &= \mathrm{e}^{x}\cdot\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h} \end{align*}

Berechnet man Näherungswerte für den Grenzwert (h→0h\to0) mit dem Taschenrechner, so drängt sich die Vermutung

lim⁡h→0eh−1h=1\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1

auf. Dies würde bedeuten, dass die Ableitung der e\mathrm{e}-Funktion just wieder die e\mathrm{e}-Funktion ist:

(ex)′=?ex\left(\mathrm{e}^x\right)'\stackrel{?}{=}\mathrm{e}^x

Wir begnügen uns hier mit folgender Herleitung: Für ∣h∣<1|h|<1 gilt

1+h≤eh≤11−h1+h\leq \mathrm{e}^h\leq\frac{1}{1-h}

Diese Ungleichungen können mit der Taylorreihe von e\mathrm{e} um 00 bzw. mit der geometrischen Reihe für 11−h\frac{1}{1-h}, falls −1<h<1-1<h<1, erklären.

also

h≤eh−1≤11−h−1=h1−h.h\leq \mathrm{e}^h-1\leq\frac{1}{1-h}-1=\frac{h}{1-h}.

Es folgt für h>0h>0

1≤eh−1h≤11−h, also lim⁡h↓0eh−1h=11\leq\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}\leq\frac{1}{1-h},\text{ also }\lim_{h\downarrow0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1

und für h<0h<0

1≥eh−1h≥11−h, also lim⁡h↑0eh−1h=1.1\geq\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}\geq\frac{1}{1-h},\text{ also }\lim_{h\uparrow0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1.

Insgesamt

lim⁡h→0eh−1h=1.\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=1.
Note 1

Einen anderen Zugang hat man durch die Punkte:

∀x∈R ist ex=lim⁡n→∞(1+xn)n,\forall x\in\mathbb{R}\text{ ist }\mathrm{e}^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n,

also gilt (1+xn)n≤ex\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\leq \mathrm{e}^x.

Mit Hilfe der Bernoulli'schen Ungleichung erhält man dann die beiden Ungleichungen

1+x=1+n⋅xn≤(1+xn)n≤ex,1+x=1+n\cdot\frac{x}{n}\leq\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\leq \mathrm{e}^x,

also 1+x≤ex1+x\leq \mathrm{e}^x und, wenn man xx durch −x-x ersetzt, 1−x≤e−x=1ex1-x\leq \mathrm{e}^{-x}=\frac{1}{\mathrm{e}^x}. Aus der zweiten Ungleichung ergibt sich für 1−x>01-x>0 also ex≤11−x.\mathrm{e}^x\leq\frac{1}{1-x}. Damit gilt für x<1x<1: 1+x≤ex≤11−x.1+x\leq \mathrm{e}^x\leq\frac{1}{1-x}.

Ungleichungen für e^x

Grundlegende Definitionen der Exponentialfunktion ohne Differentialrechnung

Die Untersuchung der Ungleichungskette 1+h≤eh≤11−h1+h \le e^h \le \frac{1}{1-h} beginnt mit einer fundamentalen Herausforderung: der Definition der Exponentialfunktion ehe^h selbst. Die explizite Anforderung, auf Ableitungen zu verzichten, schliesst die gebräuchlichsten Zugänge der Analysis aus. Typischerweise wird die Exponentialfunktion entweder als die eindeutige Lösung der Differentialgleichung f′(x)=f(x)f'(x) = f(x) mit der Anfangsbedingung f(0)=1f(0) = 1 eingeführt oder über ihre Taylor-Reihe, deren Koeffizienten durch Ableitungen an einem Entwicklungspunkt bestimmt werden. Diese Methoden sind hier per definitionem ausgeschlossen.

Diese Einschränkung ist jedoch keine Sackgasse, sondern erzwingt eine Rückkehr zu den elementareren Bausteinen der Mathematik. Sie erfordert den Aufbau der Theorie der Exponentialfunktion auf einem Fundament, das ausschliesslich auf algebraischen Prinzipien und der Grenzwerttheorie beruht. Anstatt die Eigenschaften von ehe^h aus der Differentialrechnung abzuleiten, definieren wir die Funktion auf eine Weise, die ihre Eigenschaften aus Grenzwertprozessen herleitet. Es gibt zwei primäre, äquivalente Wege, dies zu tun, die als Ausgangspunkt für alle nachfolgenden Beweise dienen werden.

Die erste und historisch bedeutsame Methode definiert die Exponentialfunktion als den Grenzwert einer spezifischen Folge. Dieser Ansatz verbindet die Zahl e\text{e} direkt mit dem Konzept des stetigen Wachstums.

Definition 1: Euler'sche Zahl

Für jede reelle Zahl hh wird die Exponentialfunktion ehe^h definiert als:

eh:=lim⁡n→∞(1+hn)n.\text{e}^h := \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{h}{n}\right)^n.

Eine solche Definition ist nur dann rigoros, wenn die Existenz dieses Grenzwertes für alle reellen hh gesichert ist. Die Konvergenz der Folge an=(1+h/n)na_n = (1 + h/n)^n kann nachgewiesen werden, indem man zeigt, dass sie für h>0h>0 monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Ein zentrales Werkzeug für den Nachweis der Monotonie ist die Bernoulli-Ungleichung, die im folgenden Abschnitt ausführlich bewiesen wird. Dies verdeutlicht eine tiefe Verflechtung zwischen dem zu beweisenden Objekt und den für den Beweis notwendigen Werkzeugen; die Struktur von eh\text{e}^h ist untrennbar mit den Eigenschaften fundamentaler algebraischer Ungleichungen verbunden.

Die Definition als unendliche Reihe

Ein alternativer, aber ebenso fundamentaler Ansatz definiert die Exponentialfunktion als eine unendliche Potenzreihe. Diese Darstellung ist in vielen Bereichen der Mathematik und Physik von zentraler Bedeutung.

Definition 2: Euler'sche Zahl

Für jede reelle Zahl hh wird die Exponentialfunktion ehe^h definiert als die Summe der unendlichen Reihe:

eh:=∑k=0∞hkk!=1+h+h22!+h33!+…\text{e}^h := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^k}{k!} = 1 + h + \frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots

Auch hier muss die Gültigkeit der Definition durch den Nachweis der Konvergenz untermauert werden. Mittels des Quotientenkriteriums, einem Werkzeug, das auf Grenzwerten von Verhältnissen beruht und keine Ableitungen benötigt, lässt sich zeigen, dass diese Reihe für alle reellen Werte von hh absolut konvergiert. Dies stellt sicher, dass die Funktion eh\text{e}^h auf der gesamten reellen Achse wohldefiniert ist.

Äquivalenz der Definitionen

Um einen kohärenten Rahmen für die nachfolgenden Beweise zu schaffen, ist es unerlässlich, die Äquivalenz dieser beiden Definitionen zu demonstrieren. Es lässt sich zeigen, dass die Grenzwertdefinition zur Reihendarstellung führt. Der Beweis nutzt den Binomischen Lehrsatz, ein rein algebraisches Werkzeug.

Die Entwicklung von (1+hn)n(1 + \frac{h}{n})^n nach dem Binomischen Lehrsatz ergibt:

(1+hn)n=∑k=0n(nk)(hn)k=∑k=0nn!k!(n−k)!hknk\left(1 + \frac{h}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{h}{n}\right)^k = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{h^k}{n^k}

Der Koeffizient des Terms hkh^k lässt sich umschreiben zu:

n!k!(n−k)!nk=1k!n(n−1)⋯(n−k+1)nk=1k!⋅(1)⋅(1−1n)(1−2n)⋯(1−k−1n)\frac{n!}{k!(n-k)! n^k} = \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot (1)\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)

Für ein festes kk konvergiert jeder der Faktoren in der Klammer gegen 1, wenn n→∞n \to \infty. Daher konvergiert der gesamte Koeffizient gegen 1/k!1/k!. Ein rigoroser Beweis, dass der Grenzwert der Summe gleich der Summe der Grenzwerte ist, erfordert fortgeschrittene Sätze wie den Satz von der dominierten Konvergenz. Für die Zwecke dieser Analyse genügt die intuitive Feststellung, dass für grosse nn die endliche Summe sich der unendlichen Reihe annähert. Diese Äquivalenz rechtfertigt die austauschbare Verwendung beider Definitionen in den folgenden Abschnitten.

Herleitung aus der Grenzwertdefinition mittels der Bernoulli-Ungleichung

Dieser Abschnitt widmet sich dem klassischen, von der Differentialrechnung unabhängigen Beweis der Ungleichungskette. Er basiert auf dem Zusammenspiel der Grenzwertdefinition von eh\text{e}^h und einer fundamentalen algebraischen Ungleichung, die auf Jacob Bernoulli zurückgeht.

Ein notwendiges Lemma: Beweis der Bernoulli-Ungleichung

Das zentrale Werkzeug für diesen Beweis ist die Bernoulli-Ungleichung. Sie stellt eine einfache, aber wirkungsvolle Abschätzung für Potenzen von Binomen dar.

Theorem 2: Bernoulli-Ungleichung

Für jede ganze Zahl n≥1n \ge 1 und jede reelle Zahl x≥−1x \ge -1 gilt:

(1+x)n≥1+nx.(1+x)^n \ge 1+nx.
Proof

Der Beweis dieser Ungleichung erfolgt elegant und elementar durch das Prinzip der vollständigen Induktion, eine Methode, die rein algebraisch ist.

  • Induktionsanfang: Für n=1n=1 lautet die Ungleichung (1+x)1≥1+1⋅x(1+x)^1 \ge 1+1 \cdot x, was zu 1+x≥1+x1+x \ge 1+x vereinfacht wird. Diese Aussage ist offensichtlich wahr.
  • Induktionsschritt: Gelte die Ungleichung für eine beliebige, aber feste ganze Zahl k≥1k \ge 1:
(1+x)k≥1+kx(1+x)^k \ge 1+kx

Es ist zu zeigen, dass die Ungleichung dann auch für k+1k+1 gilt. Man betrachtet dazu den Ausdruck (1+x)k+1(1+x)^{k+1}:

(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k

Da nach Voraussetzung x≥−1x \ge -1 ist, gilt 1+x≥01+x \ge 0. Daher kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden, ohne das Ungleichheitszeichen zu ändern:

(1+x)(1+x)k≥(1+x)(1+kx)(1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)

Ausmultiplizieren der rechten Seite ergibt:

(1+x)(1+kx)=1+kx+x+kx2=1+(k+1)x+kx2(1+x)(1+kx) = 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x+kx^2

Da k≥1k \ge 1 und x2≥0x^2 \ge 0 ist, gilt kx2≥0kx^2 \ge 0. Somit kann dieser Term abgeschätzt werden:

1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x1+(k+1)x+kx^2 \ge 1+(k+1)x

und wir sind fertig.

Beweis der unteren Schranke (1+h≤eh1+h \le e^h)

Mit der Bernoulli-Ungleichung lässt sich die untere Schranke für eh\text{e}^h direkt aus der Grenzwertdefinition herleiten.

  • Fall 1: h≥−1h \ge -1. Man betrachtet die definierende Folge für ehe^h, also an=(1+hn)na_n = (1 + \frac{h}{n})^n. Um die Bernoulli-Ungleichung anwenden zu können, muss die Bedingung x≥−1x \ge -1 erfüllt sein. Hier ist x=h/nx=h/n. Für jedes n≥1n \ge 1 gilt h/n≥−1/n≥−1h/n \ge -1/n \ge -1, sofern h≥−nh \ge -n. Da der Grenzwert für n→∞n \to \infty betrachtet wird, ist diese Bedingung für hinreichend grosse nn stets erfüllt. Die Anwendung der Bernoulli-Ungleichung ergibt:
(1+hn)n≥1+n⋅(hn)=1+h\left(1 + \frac{h}{n}\right)^n \ge 1 + n \cdot \left(\frac{h}{n}\right) = 1+h

Diese Abschätzung gilt für alle nn, für die h/n≥−1h/n \ge -1 ist. Da die Ungleichung für alle hinreichend grossen nn Bestand hat, bleibt sie auch im Grenzwert erhalten:

eh=lim⁡n→∞(1+hn)n≥1+h.\text{e}^h = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{h}{n}\right)^n \ge 1+h.
  • Fall 2: h<−1h < -1. In diesem Fall ist der Term 1+h1+h negativ. Die Exponentialfunktion eh\text{e}^h ist jedoch als Grenzwert von (1+hn)n(1 + \frac{h}{n})^n definiert. Für n>−hn > -h ist der Term in der Klammer positiv, und somit ist auch ana_n positiv. Folglich ist der Grenzwert eh\text{e}^h ebenfalls nicht-negativ (tatsächlich strikt positiv). Daher gilt in diesem Fall trivialerweise eh>0>1+h\text{e}^h > 0 > 1+h.

Durch die Kombination beider Fälle ist die Ungleichung 1+h≤eh1+h \le \text{e}^h für alle reellen Zahlen hh bewiesen.

Beweis der oberen Schranke (eh≤11−he^h \le \frac{1}{1-h})

Der Beweis der oberen Schranke ist subtiler und offenbart eine interessante Asymmetrie in der Ungleichungskette. Er wird nicht durch eine analoge Anwendung der Bernoulli-Ungleichung geführt, sondern direkt aus der bereits bewiesenen unteren Schranke abgeleitet. Diese Herleitungsmethode deckt auch eine fundamentale Einschränkung des Gültigkeitsbereichs der oberen Schranke auf.

Man beginnt mit der etablierten Ungleichung 1+x≤ex1+x \le \text{e}^x, die für alle reellen xx gilt. Durch die Substitution x=−hx=-h erhält man:

1−h≤e−h1-h \le \text{e}^{-h}

Das Ziel ist es, diese Ungleichung nach eh\text{e}^h aufzulösen. Da e−h=1/eh\text{e}^{-h} = 1/e^h, lautet die Ungleichung:

1−h≤1eh1-h \le \frac{1}{\text{e}^h}

Um eh\text{e}^h zu isolieren, muss man auf beiden Seiten den Kehrwert bilden. Diese Operation ist nur dann zulässig und aussagekräftig, wenn beide Seiten der Ungleichung positiv sind. Da eh\text{e}^h für alle reellen hh positiv ist, ist auch 1/eh1/\text{e}^h stets positiv. Die entscheidende Bedingung ist daher, dass auch die linke Seite positiv sein muss:

1−h>0  ⟹  h<11-h > 0 \implies h < 1

Diese Bedingung ist keine willkürliche Annahme, sondern eine notwendige Konsequenz der algebraischen Struktur des Beweises. Nur unter der Voraussetzung h<1h < 1 können die nächsten Schritte durchgeführt werden.

Für h<1h < 1 sind beide Seiten von 1−h≤1/eh1-h \le 1/\text{e}^h positiv. Bildet man den Kehrwert, so kehrt sich das Ungleichheitszeichen um:

11−h≥eh\frac{1}{1-h} \ge \text{e}^h

Damit ist die obere Schranke eh≤11−h\text{e}^h \le \frac{1}{1-h} für alle h<1h < 1 bewiesen.