Folgen und Reihen

Lösung 1

1. Eine Folge ist eine Abfolge von Zahlen oder Termen: $$(a_n)=a_1, a_2, a_3, ...$$ Oft sind wir auch an der Summe der ersten $n$ Termen interessiert: $$s_n=a_1+a_2+...+a_n$$ wobei $n=1,2,3,...$, daher $$s_1=a_1, s_2=a_1+a_2, s_3=a_1+a_2+a_3$$ und so weiter. Wir nennen die Folge $(s_n)=s_1, s_2, s_3, ...$ die Reihe der Folge $(a_n)$
2. Es gilt:
   1. $(a_n)$ is explizit, $(b_n)$ ist rekursiv.
   2. $a_1=2\cdot 1-1=1, a_2=2\cdot 2-1=3, a_3=2\cdot 3 -1=5, a_4=2\cdot 4-1=7, ...$ (die ungeraden Zahlen)
   3. $b_1=1, b_2=1+2=3, b_3=3+2=5, b_4=5+2=7, ...$ (die ungeraden Zahlen)
3. Es gilt:
   1. $c_1=2, c_2=5\cdot 2=10, c_3=5\cdot 10=50, c_4=5\cdot 50=250, ...$ (geometrische Folge)
   2. $s_3=2+10+50=62$
4. Es gilt:
   1. $d_1=2, d_2=2+5=7, d_3=7+5=12, d_4=12+5=17, ...$ (arithmetische Folge)
   2. $s_4=2+7+12+17=38$

Lösung 2

1. $(a_n)$ ist eine arithmetische Folge, da von einem Term zum nächsten immer die gleiche Zahl $d$ addiert wird ($d=0.5$). $d$ wird die gemeinsame Differenz genannt, da gilt $$d=a_2-a_1=a_3-a_2= ...$$ $(b_n)$ ist eine geometrische Folge, da von einem Term zum nächsten immer die gleiche Zahl $q$ multipliziert wird ($q=1.25$). $d$ wird der gemeinsame Quotient genannt, da gilt $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}= ...$$
2. $a_5=a_4+d=3.5+0.5=4$, $b_5=q\cdot a_4 = 1.25\cdot 3.90625= 4.8828125$.
3. $a_n=2+(n-1)\cdot 0.5$ (da von $a_1$ bis $a_n$ die Zahl $0.5$ genau ($n-1$)-mal zu $2$ dazu addiert wird).$b_n=2\cdot 1.25^{n-1}$ (da von $a_1$ bis $a_n$ die Zahl $1.25$ genau ($n-1$)-mal mit $2$ multipliziert wird).
4. $a_{12}=2+11\cdot 0.5=7.5$,$b_{12}=2\cdot 1.25^{11}=23.283...$
5. Finde $n$ mit $$a_n=2+(n-1)\cdot 0.5=1000$$ Es folgt $n=1997$. Die Antwort ist also $n=1998$.
6. Finde $n$ mit $$b_n=2\cdot 1.25^{n-1}=1000$$ Also $1.25^{n-1}=500$. Wende den Logarithmus auf beiden Seiten an. Es folgt $$n=\frac{\ln(500)}{\ln(1.25)}+1=28.85$$ Die Antwort ist also $n=29$.
7. Die arithmetische Folge $(a_n)$ beschreibt lineares Wachstum. Zur "Zeit" $x=1$ ist die "Populationsgrösse" $y=2$, zur "Zeit" $x=2$ ist die "Populationsgrösse" $y=2.5$. Es folgt $$f(x)=2+0.5\frac{x-1}{1}=0.5x+1.5$$ Die geometrische Folge $(b_n)$ beschreibt geometrisches Wachstum. Zur "Zeit" $x=1$ ist die "Populationsgrösse" $y=2$, zur "Zeit" $x=2$ ist die "Populationsgrösse" $y=2.5$. Es folgt $$f(x)=2\cdot 1.25^\frac{x-1}{1}=2\cdot 1.25^{x-1}$$

Lösung 3

1. Für eine arithmetische Folge $(a_n)$ gilt $$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$ ($n$ halbe mal die Summe des ersten und letzten Terms).
2. Für eine geometrische Folge $(b_n)$ gilt $$s_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ (wobei $q$ die gemeinsame Differenz von $(b_n)$ ist).
3. $a_{10}=2+9\cdot 0.5=6.5$, also $$s_{10}=\frac{10(2+6.5)}{2}=42.5$$ Finde $n$ mit $s_n>10000$: Es ist $a_n=2+(n-1)\cdot 0.5$, finde also $n$ mit $$s_n=\frac{n(2+2+(n-1)0.5)}{2}=\frac{n(3.5+0.5n)}{2}$$ Löse also die Gleichung $$\frac{n(3.5+0.5n)}{2}=10000$$ Dies ist eine quadratische Gleichung. Mit der Mitternachtsformel erhalten wir $n_1=-203.5$ und $n_2=196.5$. Es ist also $n=197$.
4. $q=1.25$, also $$s_{10}=2\cdot \frac{1-1.25^{10}}{1-1.25}=66.505...$$ Finde $n$ mit $s_n>10000$: Finde $n$ mit $$s_n=2\cdot \frac{1-1.25^n}{1-1.25}=10000$$ Es folgt $$1.25^n = 1251$$ Wenden wir den Logarithmus auf beiden Seiten an, erhalten wir $$n=\frac{\ln(1251)}{\ln(1.25)}=31.96$$ Es ist also $n=32$.
5. Finde zuerst $n$: Wir wissen, dass $d=19.2-20=-0.8$, also ist $$a_n=20+(n-1)(-0.8)=1.6$$ Es folgt $n=24$. Es ist also $$\underbrace{20}_{a_1}+19.2+...+\underbrace{1.6}_{a_{24}}=s_{24}=\frac{24(20+1.6)}{2}=259.2$$
6. Finde zuerst $n$: Wir wissen, dass $q=\frac{12}{16}=0.75$, also ist $$a_n=16\cdot 0.75^{n-1}=\frac{59049}{65536}$$ und es folgt $n=11$ (Logarithmus anwenden). Es ist also $$\underbrace{16}_{a_1}+12+9+...+\underbrace{\frac{59049}{65536}}_{a_{11}}=s_{11}=16\frac{1-0.75^{11}}{1-0.75}=61.29$$

Lösung 4

1. Bewegen wir uns entlang der Folge $(a_n)$ nach rechts, und die Terme $a_n$ streben gegen einen gewissen Zahlenwert $a$, so sagen wir, dass die Zahlenfolge konvergiert (genauer: gegen $a$ konvergiert). Der Zahlenwert $a$ heisst Grenzwert der Folge, und wir schreiben $$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a$$ oder $$a_n\rightarrow a\quad (n\rightarrow \infty)$$ oder etwas salopper $$a_\infty=a$$ Falls dies nicht der Fall ist (zum Beispiel, falls die Terme zwischen zwei Werten oszillieren, oder gegen $\infty$ oder $-\infty$ streben), so sagen wir, dass die Folge divergiert.
2. Ein paar Beispiele:
   1. $a_n=\frac{1}{n}$ konvergiert gegen $0$
   2. $b_n=2n+1$ ist divergent (strebt gegen $\infty$
   3. $c_n=1000-n^2$ ist divergent (strebt gegen $\infty$)
   4. $d_n=3-\frac{1}{n}$ ist konvergent (konvergiert gegen $3$)
   5. $e_n=(-1)^n$ ist divergent (oszilliert zwischen $-1$ und $1$)
   6. $f_n=(-2)^n$ oszilliert zwischen grösser werdenden positiven und negativen Zahlen.
3. Arithmetische Folgen konvergieren nie, sind also immer divergent (ausser für den uninteressanten Fall, wo die gemeinsame Differenz $d=0$). Sie streben immer nach $\infty$ oder $-\infty$. Das sieht man leicht an der expliziten Form $a_n=a_1+(n-1)d$.
4. Geometrische Folgen konvergieren nur, falls für den gemeinsamen Quotienten gilt $-1<q<1$. In der Tat, $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ strebt für $$-1<q<1$$ nach $0$, für alle anderen Werte von $q$ strebt $a_n$ nach $\infty$, $-\infty$, oder zeigt oszillierendes Verhalten.

Lösung

1. Wir haben ja $$\begin{array}{lll} s_1 & = &a_1\\ s_2 & =& a_1+a_2\\ s_3 & =& a_1+a_2+a_3\\ ... & & ...\\ s_\infty & = & a_1+a_2+a_3+a_4+... \end{array}$$ Der Grenzwert $s_\infty$ der Reihe ($s_n)$ ist also die Summe der unendlichen vielen Terme der Folge $(a_n)$. Kurz, $s_\infty$ ist die unendliche Summe. Falls $(s_n)$ konvergiert, so ist die Summe $a_1+a_2+...$ endlich, falls $(s_n)$ divergiert, so ist die Summe $a_1+a_2+...$ entweder $\infty$ oder $-\infty$, oder existiert nicht (bei oszillierendem Verhalten).
2. Nie! Die Glieder $a_n$ einer arithmetischen Folge streben ja gegen $\infty$ oder $-\infty$.
3. Nur für $-1<q<1$. Es gilt dann $$s_\infty = a_1\frac{1}{1-q}$$ wobei $q$ der gemeinsame Quotient der Folge $(a_n)$ ist. Diese Formel folgt aus der Summenformel $$s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$ Für $-1<q<1$ geht ja $q^n \rightarrow 0$, also $s_n\rightarrow a_1\frac{1-0}{1-q}$. WICHTIG: Die Formel $s_\infty = a_1\frac{1}{1-q}$ lässt sich für jede geometrische Folge anwenden, ist aber nur dann richtig, wenn $-1<q<1$. Siehe dazu Beispiel unten.
4. $s_\infty=\infty$
5. Es ist $q=\frac{1.9}{2}=0.95$ und wegen $-1<q<1$ folgt also $s_\infty=2\frac{1}{1-0.95}=40$.
6. Es ist $q=\frac{2.1}{2}=1.05$ und es gilt nicht $-1<q<1$. Es ist $s_\infty=\infty$. Beachte, dass wir trotzdem die Formel $s_\infty=2\cdot\frac{1}{1-1.05}=-40$ anwenden können. Das Resultat ist aber falsch.
7. Es ist $q=\frac{-1.9}{2}=-0.95$ und wegen $-1<q<1$ folgt also $s_\infty=2\frac{1}{1+0.95}=1.025...$.
8. Es ist $q=\frac{-2.1}{2}=-1.05$ und es gilt nicht $-1<q<1$. Die Terme $s_n$ werden immer grösser (im positiven wie im negativen Bereich). Die unendliche Summe $s_\infty$ existiert also nicht. Beachte, dass wir trotzdem die Formel $s_\infty=2\cdot\frac{1}{1+1.05}=0.975...$ anwenden können. Das Resultat ist aber falsch.

Lösung 6

A6.1

1. Die erste Figure hat Fläche $3^2=9$. Die von einer Figure zur nächsten hinzugefügten Flächeninhalte $$3\cdot 1^2, 9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2, 27\cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2, ...$$ bilden eine geometrische Folge mit $q=\frac{1}{3}$. Der gesamthaft zur ersten Figur hinzugefügte Flächeninhalt ist also $$s_\infty = 3\cdot 1^2+9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2+... =3\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=4.5$$ Wir haben also $F_\infty=9+s_\infty=13.5$.
2. Die hinzugefügten Höhen von einer Figure zur nächsten sind: $$1,\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, ...$$ Diese Folge ist geometrisch mit $q=\frac{1}{3}$. Die gesamthaft hinzugefügte Höhe ist somit $$s_\infty=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...=1\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1.5$$ Die Höhe von $F_\infty$ ist also $$H_\infty=3+s_\infty=4.5$$ Finde nun $n$ mit $$3+s_n =0.9999\cdot H_\infty$$ $$3+1\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=0.9999\cdot 4.5$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^n=0.0003$$ Also $n=7.38$ (wende den Logarithmus auf beiden Seiten an), also nach $8$ Figuren, also in Figure $n=9$.

A6.2

1. Die Seitenlängen sind $a_1=1, a_2=0.5, a_3=0.25, ...$, formen also eine geometrische Folge mit $q=0.5$. Es ist also $$a_n=1\cdot 0.5^{n-1}$$ Finde $n$ mit $a_n<0.0001$, also $$0.5^{n-a}=0.0001$$ $$n = \frac{\ln(0.0001)}{\ln(0.5)}+1=14.28$$ Es ist also $n=15$.
2. Die Länge $L_\infty$ der fetten Spirale ist $$L_\infty = 1+0.5+0.25+...$$ Die Summanden formen eine geometrische Folge mit $q=0.5$, und da gilt $-1<q<1$, folgt $$L_\infty =1\cdot \frac{1}{1-0.5}=2$$
3. Finde $n$ mit $L_n=1\cdot \frac{1-0.5^n}{1-0.5}>1.9999$. Wir haben $$\begin{array}{lll} \frac{1-0.5^n}{1-0.5}&=1.9999\\ 0.5^n & = 0.00005\\ n & = \frac{\ln(0.00005}{0.5}\\ & = 14.28 \end{array}$$ Also ist $n=15$.
4. Die Dreiecksflächen haben die Höhen (Pythagoras): $$h_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$h_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ $$h_3=\frac{\sqrt{3}}{8}$$ $$...$$ Und somit sind die Flächen $$F_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ $$F_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 0.5=\frac{\sqrt{3}}{16}$$ $$F_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot 0.25=\frac{\sqrt{3}}{64}$$ $$...$$ und wir sehen, dass die eine geometrische Folge mit $q=0.25$ ist. Wegen $-1<q<1$ gilt also $$F_\infty=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{1-0.25}=0.577...$$
5. $F_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1-0.25^n}{1-0.25}$. Finde $n$ mit $$F_n>0.999\cdot F_\infty$$ $$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1-0.25^n}{1-0.25} = 0.999\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{1}{1-0.25}$$ $$0.25^n=0.001$$ $$n = \frac{\ln(0.001)}{\ln(0.25)}=4.983$$ Also ist $n=5$.