Bevölkerungswachstum

Ein einfaches Modell zur Beschreibung einer Population $p$ ohne natürliche Feinde ist, dass sowohl die Geburtenzahl wie auch die Sterbezahl proportional zur Grösse der Bevölkerung sind. Dann gibt es eine Geburtenrate $B$ , eine Sterberate $D$ und $p$ genügt der Gleichung

\dot{p} = Bp-Dp = (B-D)p =: \beta p.

und Verdoppelungszeit $T=\ln(2)/\beta$ hat.

Ein schwerer Nachteil dieses Modells ist die Vorhersage grenzenlosen Wachstums. Dies kann wegen der Endlichkeit aller Dinge nicht vorliegen. Um dem entgegen zu wirken wird nun das Modell durch einen sogenannten Stressfaktor $S$ erweitert, der proportional zur Anzahl Begegnungen von Individuen der Bevölkerung ist. Damit hat man

\dot{p} = \beta p-Sp^2 = \beta p(1-\frac{S}{\beta}p),

die sogenannte logistische Funktion. Mit $p(t)=\frac{\beta}{S}$ verfügt man über eine konstante Lösung. Man bekommt die Lösung für einen beliebigen Anfangswert mit der Methode der Trennung der Veränderlichen.

Nehmen wir an, es gibt eine Lösung $p(t)$ mit $p_0\neq\beta /S$ . Ist $\beta p-Sp^2\neq0$ liefert

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\frac{1}{\beta p-Sp^2}=1.

Integration von $t_0$ bis $t$ ergibt

\int_{t_0}^t\frac{\mathrm{d}p(s)}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}s}{\beta p(s)-Sp(s)^2}=\int_{t_0}^t\,\mathrm{d}s=t-t_0.

Ist $\beta p-Sp^2\neq0$ , so ist auch $p'\neq0$ und die linke Seite ergibt mit der Substitutionsregel

\int_{p_0}^p\frac{\mathrm{d}z}{\beta z-Sz^2}.

Dieser Ausdruck wird mittels einer Partialbruchzerlegung integriert.

Exercise 1: Partialbruchzerlegung

Zeige, dass mit $K=\beta/S$

\frac{1}{\beta z-Sz^2}=\frac{1}{\beta }\cdot\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{K-z}\right)

gilt.

Solution

Zuerst

\frac{1}{\beta z-Sz^2}=\frac{1}{\beta z-\frac{\beta}{K}z^2}=\frac{1}{\beta(z-\frac{1}{K}z^2)}=\frac{1}{\beta}\cdot\frac{1}{z(1-\frac{1}{K}z)}=\frac{1}{\beta}\cdot\frac{K}{z(K-z)}.

Und nun folgt die Partialbruchzerlegung. Ansatz

\begin{align*} \frac{K}{z(K-z)} &= \frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{K-z}\\ K &= a_1(K-z)+a_2z\\ &= a_1K+z(a_2-a_1) \end{align*}

und ein Vergleich zeigt $a_1=1$ und auch $a_2=1$ . Also gilt $\frac{1}{\beta z-Sz^2}=\frac{1}{\beta }\cdot\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{K-z}\right)$ .

Wir erhalten mit $K=\beta/S$ für das Integral

\begin{align*} \frac{1}{\beta }\int_{p_0}^p\frac{1}{z}+\frac{1}{K-z}\,\mathrm{d}z &=\frac{1}{\beta }\left(\ln\left(\frac{|p|}{|p-K|}\right)-\ln\left(\frac{|p_0|}{|p_0-K|}\right)\right). \end{align*}

Exercise 2: Betrachte anders

Zeige: Wegen $p_0,p>0$ erhält man für den vorangehenden Ausdruck die Form

\frac{p(p_0-K)}{(p-K)p_0}=\mathrm{e}^{\beta (t-t_0)}.

Solution

Mit der Logarithmenregel für Subtraktion folgt

\frac{1}{\beta}\left(\ln\left(\frac{|p||p_0-K|}{|p-K||p_0|}\right)\right)=t-t_0\Leftrightarrow \ln\left(\frac{|p||p_0-K|}{|p-K||p_0|}\right)=\beta(t-t_0).

Da wir $p(s)\neq K$ sowie $p\neq0\neq p_0$ $\forall s\in[t_0,t]$ fordern, folgt dass $p-K$ und $p_0-K$ das gleiche Vorzeichen haben, denn aus $p(s)<K\;\forall s\in[t_0,t]$ folgt $p_0<K$ und vice versa. Also gilt die Behauptung nach Exponentiation beider Seiten zur Basis $\mathrm{e}$ .

Exercise 3: Analytische Lösung der logistischen Wachstumsfunktion

Leite die Lösung her, indem du obige Gleichung nach $p$ auflöst, den Bruch ausschreibst und danach mit $\mathrm{e}^{-\beta (t-t_0)}$ erweiterst.

Solution

Es ist

p(p_0-K)=pp_0\mathrm{e}^{\beta(t-t_0)}-Kp_0\mathrm{e}^{\beta(t-t_0)}

und daraus folgt

\begin{align*} p(p_0-K)\mathrm{e}^{-\beta(t-t_0)}-pp_0 &= Kp_0\\ p(t) &= \frac{Kp_0}{p_0+(K-p_0)\mathrm{e}^{-\beta(t-t_0)}} \end{align*}

Exercise 4: Prognosen

Untersuche die Qualität der Lösung. Erfüllt $p(t_0)$ die Erwartungen. Wie sieht's in ferner Zukunft aus, d.h. $t\to\infty$ ?

Solution

$p(t_0)=\frac{Kp_0}{p_0+(K-p_0)\mathrm{e}^{-\beta(t_0-t_0)}}=\frac{Kp_0}{p_0+(K-p_0)}=p_0$ wie erwartet. Im Langzeitverhalten geht $\mathrm{e}^{-\beta(t-t_0)}\to0$ , also $\lim_{t\to\infty}\frac{Kp_0}{p_0+(K-p_0)\mathrm{e}^{-\beta(t-t_0)}}=\frac{Kp_0}{p_0}=K$ .

(Logistisches Populationsmodell kommentiert)