Schwingungen

Freie Schwingung

Die rücktreibende Federkraft einer "idealen" Feder mit Federkonstante $k$ und angehängter Masse $m$ ist proportional zur Auslenkung $y$ aus der Ruhelage; eine solche ideale Feder nennen wir - nach dem Physiker Robert Hooke (1635 - 1703) - Hook'sche Feder.

Die Bewegungsgleichung lautet also nach dem Newtonschen Aktionsprinzip

m\ddot{y} = -ky,

was wir mit $\omega_0^2 := \frac{k}{m}$ in der Form

\ddot{y}+\omega_0^2 y = 0

schreiben. Als Lösungsansatz wählen wir

y(t)=C\text{e}^{\omega t}.

Eingesetzt ergibt dies $\omega^2+\omega_0^2 = 0$ und damit

\omega_{1,2} = \pm \mathrm{i}\omega_0.

Wir erhalten also die beiden linear unabhängigen Lösungen

\begin{align*} y_1(t) &= C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}\\ y_2(t) &= C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t}. \end{align*}

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist dann die Linearkombination dieser linear unabhängigen Lösungen $y_1$ und $y_2$ :

\boxed{y(t) = C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t}}.

Intermezzo. Die lineare Unabhängigkeit sieht man zum Beispiel so ein: Betrachte

C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t} = 0

zusammen mit seiner Ableitung

C_1\mathrm{i}\omega_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t} - C_2\mathrm{i}\omega_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t} = 0.

Diese beiden Gleichungen müssen für alle Zeiten $t$ gelten, insbesondere auch für $t=0$ . Daraus ergibt sich unmittelbar $C_1 = 0 = C_2$ ; also sind $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}$ und $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t}$ linear unabhängig.

Nun muss $y(t)$ als Auslenkung aus der Ruhelage eine reellwertige Funktion sein. Da $y$ genau dann reellwertig ist, wenn $y^* = y$ , sind die komplexen Amplituden $C_1$ , $C_2$ komplex konjugiert - $C_1 = C_2^*$ . In der Tat:

\begin{align*} y &= y^*\\ C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t} &= (C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t})^*\\ C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t} &= C_1^*\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t}+ C_2^*\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}\\ (C_1-C_2^*)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}+ (C_2-C_1^*)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t} &= 0. \end{align*}

Da wegen der linearen Unabhängigkeit von $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}$ und $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0 t}$ die Koeffizienten $0$ sein müssen, folgt $C_2=C_1^*$ .

Zurück zur Lösung: Wir setzen also $C_1 = a+\mathrm{i}b$ und $C_2 = a-\mathrm{i}b$ und erhalten mit der Euler'schen Identität - $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r\cos(\varphi) + \mathrm{i}r\sin(\varphi)$ - die allgemeine Lösung

y(t) = 2a\cos(\omega_0 t)-2b\sin(\omega_0 t).

Aus der Trigonometrie der Winkelfunktionen nimmt man sich beispielsweise das Additionstheorem

\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y),

setzt $2a$ als $y_0\cos(\varphi_0)$ und $2b$ als $y_0\sin(\varphi_0)$ ; schliesslich

Note 1: Bewegungsgleichung einer Hookeschen Feder

y(t) = y_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)

mit $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ und $\varphi_0 = \arctan(\frac{b}{a})$ .

(Freie Schwingung kommentiert)

Exercise 1: Freie Schwingung

Ein Körper der Masse $m = 0.5\,\mathrm{kg}$ ist an einer Feder mit Federkonstante $k = 2\,\mathrm{N/m}$ befestigt. Die Bewegung beginnt aus der Ruhelage mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 1\,\mathrm{m/s}$ .

a) Formuliere die Bewegungsgleichung und bestimme die Lösung $y(t)$ .

b) Bestimme die Schwingungsdauer $T$ und die Amplitude.

Solution

a) Die Bewegungsgleichung lautet:

m \ddot{y} + ky = 0 \Rightarrow \ddot{y} + 4y = 0

Die allgemeine Lösung ist:

y(t) = y_0\sin(\omega_0 t+\varphi_0)

Aus $y(0) = 0$ folgt $\vaprhi_0$ ; aus $\dot{y}(0) = 1$ folgt $y_0=\frac{1}{2}$ .

\Rightarrow y(t) = 0.5 \sin(2t)

b) Die Amplitude beträgt $0.5\,\mathrm{m}$ , die Schwingungsdauer ist:

T = \frac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14\,\mathrm{s}

Exercise 2: 🧩

Die Energie setzt sich aus der potentiellen Spannenergie der Feder und der Geschwindigkeit des Massepunktes zusammen; die Spannenergie ist:

W = \int F\, \mathrm{d}s = \int ky\, \mathrm{d}y = \frac{1}{2}ky^2.

Zeige, dass die Gesamtenergie - Federenergie plus kinetische Energie - zeitlich konstant; benutze zum Beispiel die Ortsfunktion $y=A\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$ .

Solution

\begin{align*} E_{\text{tot}} &= \frac{1}{2}ky^2 + \frac{1}{2}m\dot{y}^2\\ &= \frac{1}{2}k(A\cos(\omega_0 t+\varphi_0))^2 + \frac{1}{2}m(A\omega_0 (-\sin(\omega_0 t+\varphi_0)))^2\\ &= \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0 t+\varphi_0)^2 + \frac{1}{2}mA^2\omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t+\varphi_0)\\ &= \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega_0 t+\varphi_0) + \frac{1}{2}\frac{k}{\omega_0^2}A^2\omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t+\varphi_0)\\ &= \frac{1}{2}kA^2(\cos^2(\omega_0 t+\varphi_0) + \sin^2(\omega_0 t+\varphi_0))\\ &= \frac{1}{2}kA^2 \end{align*}

Das ist die totale Energie, wenn die Feder bei Auslenkung $A$ mit Geschwindigkeit $0$ startet.

Gedämpfte Schwingung

Wie im vorangegangenen Kapitel betrachten wir eine Federschwingung; jetzt aber gedämpft durch eine Kraft, die wir proportional zur Geschwindigkeit des Massenpunktes annehmen - Stokessche Reibung (George Gabriel Stokes, 1819 - 1903). Dies beobachtet man zum Beispiel bei einer laminaren Strömung eines Mediums um einen schwingenden Körper.

Die Bewegungsgleichung lautet jetzt

ma = -ky-\alpha \dot{y}.

Umschreiben:

\begin{align*} m\ddot{y}+\alpha \dot{y}+ky &= 0\\ \ddot{y} +\frac{\alpha}{m}\dot{y}+\frac{k}{m}y &= 0\\ \ddot{y} +\frac{\alpha}{m}\dot{y}+\omega_0^2y &= 0 \end{align*}

mit der Eigenfrequenz $\sqrt{\frac{k}{m}} = \omega_0$ aus der freien Schwingung.

Lösungsansatz:

y(t) = C\text{e}^{\omega t}.

Eingesetzt in die DGL ergibt sich die charakteristische Gleichung

\omega^2+\frac{\alpha}{m}\omega+\omega_0^2 = 0

mit den Lösungen:

\omega_{1,2} = \frac{-\frac{\alpha}{m} \pm \sqrt{(-\tfrac{\alpha}{m})^2-4\omega_0^2}}{2}.

Wir setzen $2\beta := \frac{\alpha}{m}$ ; damit wird diese Lösung handlicher:

\omega_{1,2} = -\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}.

Wegen der Diskriminante in den zwei Variablen $\beta$ und $\omega_0$ unterscheiden wir:

Fall 1: Ist $\beta > \omega_0$ , so haben wir starke Dämpfung; der sogenannte Kriechfall. $\omega_1$ und $\omega_2$ sind somit reell und voneinander verschieden. Die Lösung in diesem Fall ist die Linearkombination

y(t) = k_1\mathrm{e}^{\omega_1 t}+k_2\mathrm{e}^{\omega_2 t}.

Die Masse kriecht in die Ruhelage zurück.

Fall 2: Mit $\beta = \omega_0$ erreicht man starke Dämpfung, der sogenannte aperiodische Grenzfall. Als Lösung erhalten wir damit

y(t)=k_1\mathrm{e}^{-\beta t}+k_2t\mathrm{e}^{-\beta t}.

Der Bewegungsablauf ist für $k_1=0, k_2=10$ und $\beta=2.5$ illustriert:

Nach möglichem Ausschlag strebt die Masse rasch gegen die Ruhelage.

Obige Lösung ist so motiviert: Wir haben in diesem aperiodischen Grenzfall eine doppelte Nullstelle der charakteristischen Gleichung; daher sind die $\mathrm{e}$ -Funktionen des Ansatzes linear abhängig. Man kann jedoch zeigen, dass eine DGL $2$ ter Ordnung zwei linear unabhängige Basis-Lösungen hat - Stichwort Satz von Piccard-Lindelöf. Finden tut man diese mit Variation der Konstanten, also unter dem Ansatz

y_2(t) = u(t) \cdot A\mathrm{e}^{-\beta t},

der eingesetzt in die Differentialgleichung auf $\ddot{u} = 0$ führt. Die Lösung enthält also die Funktion $u(t) = Ct+ D$ und damit folgt obige Form.

Fall 3: Schwache Dämpfung - einen sogenannten Schwingfall - erhält man für $\beta<\omega_0$ . Dabei sind $\omega_1$ und $\omega_2$ konjugiert komplexe Wurzeln, $\omega_{1,2} = -\beta\pm\omega\mathrm{i}$ mit $\omega = \sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ . Die Lösung ist

y(t) = \mathrm{e}^{-\beta t}(k_1\cos(\omega t)+k_2\sin(\omega t))

oder, ähnlich der Behandlung freier Schwingungen mittels Additionstheorem:

Note 2: Bewegungsgleichung einer Hookeschen Feder unter Stokesscher Reibung

y(t) = A\mathrm{e}^{-\beta t}\sin(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\, t+\varphi),

wobei $A$ und $\varphi$ aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

$\omega = \sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ zeigt, dass im Falle der gedämpften Schwingung die Kreisfrequenz $\omega$ kleiner als die Kreisfrequenz $\omega_0$ der freien Schwingung ist - wie erwartet.

(Gedämpfte Schwingung kommentiert)

Exercise 3: Gedämpfte Schwingung

Ein Körper der Masse $m = 1\,\mathrm{kg}$ ist an einer Feder mit Federkonstante $k = 9\,\mathrm{N/m}$ aufgehängt. Die Reibung ist proportional zur Geschwindigkeit mit Dämpfungskonstante $\alpha = 4\,\mathrm{kg/s}$ . Der Körper wird aus der Ruhelage mit Geschwindigkeit $v_0 = 1\,\mathrm{m/s}$ angestossen.

a) Stelle die Bewegungsgleichung auf.

b) Teste die allgemeine Lösung:

y(t) = A\text{e}^{-2t}\sin(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\, t+\varphi),

indem du mit den Anfangsbedingungen $A$ und $\varphi$ bestimmst und dann $y$ in die DGL einsetzt.

c) Beschreibe den zeitlichen Verlauf qualitativ.

Solution

a) Mit dem Newtonschen Grundgesetz ( $F=ma$ ) und den Kräften $F_F = -ky$ (Feder) sowie $F_R = -\alpha \dot{y}$ (Dämpfung) gilt:

m\ddot{y} + \alpha\dot{y} + ky = 0.

Einsetzen der Werte ( $m=1, \alpha=4, k=9$ ):

\ddot{y} + 4 \dot{y} + 9y = 0.

b) Wir bestimmen zunächst die Parameter der gegebenen Lösungsformel. Mit $\omega_0^2 = \frac{k}{m} = 9$ und $2\beta = \frac{\alpha}{m} = 4 \Rightarrow \beta = 2$ ergibt sich die Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung zu $\omega_d = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ .

Ansatzfunktion:

y(t) = A e^{-2t} \sin(\sqrt{5}t + \varphi).

Konstanten $A$ und $\varphi$ bestimmen:

$y(0) = 0 \implies A \sin(\varphi) = 0$ . Da $A \neq 0$ sein muss (sonst keine Bewegung), folgt $\varphi = 0$ .
$\dot{y}(t) = A e^{-2t} \left( -2\sin(\sqrt{5}t) + \sqrt{5}\cos(\sqrt{5}t) \right)$ .
$\dot{y}(0) = 1 \implies A(0 + \sqrt{5}) = 1 \implies A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Die spezifische Lösung lautet:

y(t) = \frac{1}{\sqrt{5}} e^{-2t} \sin(\sqrt{5}t).

Test durch Einsetzen in die DGL ( $\ddot{y} + 4 \dot{y} + 9y$ ): Wir berechnen die Ableitungen (Faktor $1/\sqrt{5}$ zur Übersicht ausgeklammert):

$y = \frac{1}{\sqrt{5}} (e^{-2t} \sin(\sqrt{5}t))$
$\dot{y} = \frac{1}{\sqrt{5}} e^{-2t} (-2\sin(\dots) + \sqrt{5}\cos(\dots))$
$\ddot{y} = \frac{1}{\sqrt{5}} e^{-2t} (4\sin(\dots) - 2\sqrt{5}\cos(\dots) - 2\sqrt{5}\cos(\dots) - 5\sin(\dots))$ $= \frac{1}{\sqrt{5}} e^{-2t} (-\sin(\dots) - 4\sqrt{5}\cos(\dots))$

Einsetzen:

\frac{e^{-2t}}{\sqrt{5}} \underbrace{\left[ (-\sin - 4\sqrt{5}\cos) + 4(-2\sin + \sqrt{5}\cos) + 9(\sin) \right]}_{= (-1 -8 + 9)\sin + (-4\sqrt{5} + 4\sqrt{5})\cos = 0} = 0. \quad \checkmark

c) Es handelt sich um den Schwingfall: Die Amplitude $A e^{-2t}$ nimmt exponentiell ab, während der Körper mit der Kreisfrequenz $\omega_d = \sqrt{5} \approx 2.24\,\mathrm{s}^{-1}$ um die Ruhelage oszilliert.

Erzwungen gedämpfte Schwingung

Wir betrachten eine gedämpfte Schwingung ( $\beta\neq0$ ), die periodisch mit der Kraft $F_a = mA_a\cos(\omega_a t)$ angetrieben wird.

Die Schwingungsgleichung lautet mit den üblichen Bezeichnungen und der Anregerfrequenz $\omega_a$ :

\ddot{y}+2\beta\dot{y}+\omega_0^2y = A_a\cos(\omega_a t).

Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: Deshalb lösen wir zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung, suchen dann eine pratikuläre Lösung und erhalten so die allgemeine.

Die homogene Differentialgleichung wurde im Kapitel zur gedämpften Schwingung hergeleitet. Für geringe Dämpfung ergab sich - wenn wir nur den homogenen Teil benutzen -

y_{\text{hom}} = A\mathrm{e}^{-\beta t}\sin(\omega_1 t+\varphi)

mit $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$ .

Um die allgemeine Lösung zu gewinnen, bleibt eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu bestimmen. Als Ausgangspunkt dafür nutzen wir eine experimentelle Beobachtung: Das System schwingt demnach immer mit der Erregerfrequenz $\omega_a$ , die Eigenfrequenz $\omega_1$ spielt mit zunehmender Zeit eine geringere Rolle,

y_{\text{part}} = B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}.

Damit ergibt sich der komplexe Ansatz

-\omega_a^2B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}+2\beta\mathrm{i}\omega_a B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}+\omega_0^2B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t} = A_a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}.

Das heisst $B(\omega_0^2-\omega_a^2+2\mathrm{i}\beta\omega_a) = A_a$ . Daraus folgt - im Falle $\omega_0=\omega_a$ und $\beta=0$ nicht beide gleichzeitig:

B = \frac{A_a}{-\omega_a^2+2\beta\mathrm{i}\omega_0+\omega_0^2} = \frac{A_a}{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}((\omega_0^2-\omega_a^2) - \mathrm{i}\cdot 2\beta\omega_a).

Daraus erhält man

\begin{align*} \mathcal{Re}(B\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}) = \frac{A_a}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}} \cdot &\Big(\frac{\omega_0^2-\omega_a^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}}\cos(\omega_a t)\\ & +\frac{2\beta\omega_a}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}}\sin(\omega_a t)\Big). \end{align*}

Wir haben den Faktor

\frac{A_a}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}}

ausklammert - so lässt sich die für die Winkelfunktion notwendige Bedingung $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1$ erfüllen -, um eine weitere Vereinfachung mittels des Additionstheorems

\sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) +\cos(\alpha)\sin(\beta)

vorzunehmen. Es folgt

\mathrm{Re}(B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_a t}) = \frac{A_a}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}} \cdot \sin(\omega_a t+\varphi_a)

mit $\tan(\varphi_a)=\frac{2\beta\omega_a}{\omega_0^2-\omega_a^2}$ als partikuläre Lösung.

Wir haben damit für die Lösungsgesamtheit in den üblichen Bezeichnungen:

Note 3: Bewegungsgleichung einer periodisch angeregten Hookeschen Feder unter Stokesscher Reibung

y(t) = A\mathrm{e}^{-\beta t}\sin(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\, t+\varphi)+\frac{A_a}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2}}\sin(\omega_a t+\varphi_a)

Note 4: Resonanzfrequenz

Die Anregerfrequenz für die maximale Amplitude erhalten wir als Minimum des Radikanden $(\omega_0^2-\omega_a^2)^2+4\beta^2\omega_a^2$ ; sie ist

\omega_r = \sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}.

Die Amplitude ist dann

\frac{A_a}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}

(Erzwungen gedämpfte Schwingung kommentiert)

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Exercise 4: Erzwungen gedämpfte Schwingung

Ein Oszillator mit Masse $m = 1\,\mathrm{kg}$ , Dämpfung $\beta = \frac{1}{2}\,\mathrm{kg/s}$ und Federkonstante $k = 4\,\mathrm{N/m}$ wird durch eine äussere Kraft $F(t) = \cos(2t)$ angeregt.

a) Stelle die Bewegungsgleichung auf.

b) Finde eine Lösung im eingeschwungenen Zustand.

c) Bestimme die Amplitude der erzwungenen Schwingung.

d) Bestimme die Resonanzfrequenz.

Solution

a) Bewegungsgleichung:

\ddot{x} + \dot{x} + 4x = \cos(2t)

b) Partikuläre Lösung:

x_p(t) = A \cos(2t) + B \sin(2t)

Einsetzen ergibt: $A = 0$ , $B = \frac{1}{2} \Rightarrow x_p(t) = \frac{1}{2} \sin(2t)$

c) Die Amplitude ist $\frac{1}{2}$ .

d) $\omega_0=2\,\mathrm{rad/s}$ . Resonanz hat man bei $\omega_0=\omega_a=2$ . Die Amplitude $R$ ist dann

R = \frac{1}{\sqrt{4\cdot(\tfrac{1}{2})^2\cdot 2^2}} = \frac{1}{2}.

Wir ergänzen unsere Analyse noch mit dem Fall $\omega_0 = \omega_a$ ohne Dämpfung ( $\beta = 0$ ), den wir oben ausgeschlossen haben: Für $\omega_0^2 = \omega_a^2$ mit $\beta = 0$ wird die Amplitude immer grösser - wir haben also eine "Resonanzkatastrophe". Wegen dieses Anwachsens der Amplitude versuchen wir einen partikulären Ansatz mit Wachstum:

y_{\text{part}} = Ct\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}

und finden damit

C = -\frac{A_a}{2\omega_0}\mathrm{i}.

Schliesslich

y_{\text{part}} = \mathrm{Re}(Ct\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_0 t}) = \frac{A_a}{2\omega_0}t\sin(\omega_0 t)

und für die Lösungsgesamtheit

\boxed{y(t) = A\sin(\omega_0\, t) + \frac{A_a}{2\omega_0}t\sin(\omega_0 t)}.