Ungleichheit und Intervalle

Ungleichheit zwischen Zahlen

Wir brauchen die Ungleichheitszeichen $<, \leq, >$ und $\geq$ um Grössenvergleiche zwischen Zahlen auszudrücken. Hier sind ein paar Beispiele, welche alle richtig sind:

$1<2$ : " $1$ ist kleiner als $2$ ".
$1\leq 2$ : sage " $1$ kleiner oder gleich $2$ " Beachte, dass $2\leq 2$ ebenfalls richtig ist, $2<2$ hingegen falsch.
$2>1$ : " $2$ ist grösser als $1$ ".
$2\geq 1$ : " $2$ ist grösser oder gleich $1$ ". Wiederum, die Aussage $2\geq 2$ ist richtig, $2>2$ aber falsch.

Wir können auch Ungleichheitszeichen verwenden, um Teilmengen von Zahlenmengen zu definieren. Hier sind einige Beispiele:

Example 1

$A$ ist die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit $x\leq 7$ . Unter Verwendung einer formaleren Notation könnten wir schreiben
$A=\{ x\in \mathbb{N}\,|\, x\leq 7\}$
Es ist $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$
$B$ ist die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit $x<7$ . Mit einer formaleren Schreibweise könnte man schreiben
$B=\{ x\in \mathbb{N}\,|\,x< 7\}$
Es ist $B=\{1,2,3,4,5,6\}$
$C$ ist die Menge aller ganzen Zahlen $x$ mit $x>-3.5$ . Mit einer formaleren Schreibweise würden wir schreiben
$C=\{ x\in \mathbb{Z}\,|\,x>-3.5\}$
Es ist $C=\{-3,-2,-1,0,1,...\}$
$D$ ist die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit $1\leq x <6$ . Beachte, dass mit dieser Schreibweise gemeint ist, dass $1\leq x$ und $x<6$ (d.h. $x$ liegt zwischen $1$ und $6$ , wobei $1$ noch in der Menge ist, $6$ aber nicht mehr). Mit einer formaleren Notation schreiben wir
$D=\{ x\in \mathbb{N}\,|\,1\leq x <6\}$
Es ist $D=\{1,2,3,4,5\}$

Natürlich können wir die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ durch andere Zahlenmengen ersetzen, wie zum Beispiel $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ .

Exercise 1

Bestimme alle Elemente der Menge $A$ :

$A$ ist die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit $x>6$ .
$A=\{x \in \mathbb{Z}\,|\, -4.75\leq x\leq 2\}$
$A$ ist die Menge aller rationalen Zahlen $\frac{p}{q}$ mit $1<p<4$ und $12\leq q\leq 14$ .
$A=\{x \in \mathbb{N}\,|\, 4x<28\}$

Solution

$A=\{7,8,9,...\}$
$A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$
$A=\{\frac{2}{12},\frac{2}{13},\frac{2}{14},\frac{3}{12},\frac{3}{13},\frac{3}{14}\}$
$A=\{1,2,3,4,5,6\}$

Intervalle

Intervalle sind Segmente auf der Zahlengeraden, daher es sind Teilmengen der reellen Zahlen. Zum Beispiel bilden alle reellen Zahlen zwischen $2$ und $5$ ein Intervall. Die Betonung liegt auf alle reellen Zahlen, also nicht nur die natürlichen Zahlen zwischen $2$ und $5$ , oder nur die Brüche zwischen $2$ und $5$ , sondern auch die irrationalen Zahlen wie $\pi=3.14...$ oder $\sqrt{5}=2.236...$ .

Wir verwenden eckige Klammern, um Intervalle zu kennzeichnen, und unterscheiden zwischen Intervallen, die die obere respektive untere Grenze einschliessen oder ausschliessen. Es gibt also vier Fälle. Wir zeigen die Fälle für die untere Grenze $1$ und obere Grenze $2$ :

$[1,2]$ Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $1$ und $2$ , wobei die Grenzen $1$ und $2$ eingeschlossen sind. Wir haben also
$[1,2] = \{x\in \mathbb{R}\,|\, 1\leq x\leq 2\}$
$[1,2[$ Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $1$ und $2$ , wobei die Grenze $1$ eingeschlossen, die Grenze $2$ ausgeschlossen ist. Wir haben also
$[1,2[ = \{x\in \mathbb{R}\,|\, 1\leq x< 2\}$
$]1,2]$ Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $1$ und $2$ , wobei die Grenze $1$ ausgeschlossen, die Grenze $2$ eingeschlossen ist. Wir haben also
$]1,2] = \{x\in \mathbb{R}\,|\, 1< x\leq 2\}$
$]1,2[$ Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $1$ und $2$ , wobei die Grenzen $1$ und $2$ ausgeschlossen sind. Wir haben also
$]1,2[ = \{x\in \mathbb{R}\,|\, 1< x< 2\}$

Allgemeiner ausgedrückt: Wenn $a$ und $b$ zwei reelle Zahlen bezeichnen, wobei $b$ grösser oder gleich $a$ ist, können wir die Intervalle $[a,b], [a,b[, ]a,b]$ und $]a,b[$ definieren. Sie bezeichnen die Menge aller reellen Zahlen zwischen $a$ und $b$ , aber je nachdem, wie man die eckigen Klammern schreibt, sind die Grenzen $a$ und $b$ eingeschlossen oder ausgeschlossen.

Beachte, dass die Grenzen auch eine unendlich grosse Zahl sein können (die wir mit $-\infty$ und $\infty$ bezeichnen). Wir haben dann

$[1,\infty[$ Die Menge aller reellen Zahlen grösser oder gleich $1$ :
$[1,\infty[=\{x\in \mathbb{R}\,|\, x\geq 1\}$
$]1,\infty[$ Die Menge aller reellen Zahlen grösser $1$ :
$]1,\infty[=\{x\in \mathbb{R}\,|\, x>1\}$
$]-\infty,2]$ Die Menge aller reellen Zahlen kleiner oder gleich $2$ :
$]-\infty,2]=\{x\in \mathbb{R}\,|\, x\leq 2\}$
$]-\infty,2[$ Die Menge aller reellen Zahlen kleiner $2$ :
$[-\infty,2[=\{x\in \mathbb{R}\,|\, x<2\}$
$]-\infty,\infty[$ Die Menge aller reellen Zahlen $\mathbb{R}$

$-\infty$ and $\infty$ sind Grenzen, die nie im Intervall eingeschlossen werden, da sie keine reellen Zahlen sind (es sind eigentlich gar keine Zahlen).

Exercise 2

Drücke die unten auf der Zahlengeraden eingezeichneten Segmente durch Intervalle aus. Möglicherweise müssen mehrere Intervalle durch Mengenoperationen verknüpft werden. Die gestrichelten Segmente in 3 und 4 deuten an, dass es immer weiter geht.

Solution

$[2,4[$
$[-3.102, 4.1\overline{3}]$
$[1,\infty[$
$]-\infty,2[$
$[1,2]\cup [2.5,4]\cup [4.5,7]$

Exercise 3

Drücke folgende Mengen als Intervall oder eine Vereinigung von Intervallen aus. Hinweis: Es hilft, die Mengen zuerst auf der Zahlengeraden einzuzeichnen. Beachte auch, dass für Intervalle die Universalmenge immer $\mathbb{R}$ ist.

$\{1\}$
$[1,2[^c$
$]-0.5,3[ \,\cap\, [1.5,2[$
$\mathbb{R}$
$\{x\in \mathbb{R}\,|\, 2x-1>2\}$
$]1,1[^c$
$[1,1]^c$
$[1,3]\,\setminus \,]0.5,2[$
$[1,2[\,\cup\, \{2\}$

Solution

$\left[1,1\right]$
$\left]-\infty,1\right[ \,\cup\, \left[2,\infty\right[$
$\left[1.5,2\right[$
$\left]-\infty,\infty\right[$
$\left]1.5,\infty\right[$
$\{\}^c=\left]-\infty,\infty\right[\quad$ (daher die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ )
$\{1\}^c=\left]-\infty,1\right[ \,\cup\, \left]1,\infty\right[$
$\left[2,3\right]$
$\left[1,2\right]$