Wahrscheinlichkeiten im Gerichtssaal

Wahrscheinlichkeiten werden im täglichen Leben oft verwendet, um Entscheidungen zu treffen. Soll ich zum Beispiel schwimmen gehen, wenn die Wahrscheinlichkeit für Sonnenschein $80\%$ ist? Vor Gericht können solche Entscheidungen tragische Folgen haben, wenn sie nicht richtig angewendet werden. Hier ist ein berühmtes Beispiel. Der Text ist aus Wikipedia übernommen und angepasst.

Sally Clark (August 1964 - 15. März 2007) war eine englische Anwältin, die im November 1999 Opfer eines Justizirrtums wurde, als sie des Mordes an zwei ihrer Söhne für schuldig befunden wurde. Obwohl die Verurteilung aufgehoben und sie 2003 aus dem Gefängnis entlassen wurde, entwickelte sie aufgrund dieser Erfahrung schwere psychiatrische Probleme und starb im März 2007 in ihrem Haus an einer Alkoholvergiftung.

Der Gerichtsfall

Clarks erster Sohn starb plötzlich wenige Wochen nach seiner Geburt im Dezember 1996, und im Januar 1998 starb ihr zweiter Sohn auf ähnliche Weise. Einen Monat später wurde sie verhaftet und anschliessend wegen Mordes an beiden Kindern vor Gericht gestellt. Die Anklage stützte sich auf Aussage des Kinderarztes Professor Sir Roy Meadow. Er argumentierte, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kinder aus einer wohlhabenden Familie am plötzlichen Kindstod leiden, 1 zu 73 Millionen beträgt, was absolut unwahrscheinlich sei. Es müsse also Mord gewesen sein. Er war zu dieser Zahl gekommen, indem er aus statistischen Daten die Wahrscheinlichkeit eines plötzlichen Kindstods unter ähnlichen Umständen bestimmte ($1/8500$), und diese Zahl mit sich selbst multiplizierte ($1/8500^2$), um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass zwei Kinder einen plötzlichen Kindstod erleiden.

Die Royal Statistical Society gab später eine Erklärung ab, in der sie argumentierte, dass es "keine statistische Grundlage" für Meadows Behauptung gebe, und äusserte ihre Besorgnis über den "Missbrauch von Statistiken vor Gericht".

Was war also an Medow's Argumentation falsch? Definieren wir das Ereignis $D_1$="plötzlicher Tod von Kind 1" und "plötzlicher Tod von Kind 2". Meadow nahm an, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind, so dass die Wahrscheinlichkeit des plötzlichen Kindstods für beide Kinder in der Tat $p(D_1\cap D_2)=p(D_1)\cdot p(D_2)$ ist, und wir würden basierend auf dieser Annahme in der Tat $p(D_1\cap D_2)=(1/8500)^2$ erhalten.

Es ist jedoch keineswegs klar, dass die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind. Vielmehr könnten eine genetische Veranlagung oder Umwelteinflüsse die Ereignisse stark voneinander abhängig machen: Wenn es einen plötzlichen Kindstod gibt (was auf eine genetische Veranlagung hindeutet), kann es sehr wahrscheinlich sein, dass das zweite Kind eine ähnliche Veranlagung hat, so dass die Wahrscheinlichkeit für einen zweiten plötzlichen Kindstod hoch ist. Nehmen wir zum Beispiel an, dass $p(D_2|D_1)=0,6$, dann ist $p(D_1\cap D_2)=p(D_2|D_1)\cdot p(D_1)=0,6\cdot (1/8500)$, was die Wahrscheinlichkeit für zwei plötzliche Kindstode auf $1$ in $14 000$ Familien reduziert - viel weniger dramatisch, vor allem wenn man diese Zahl mit einem plötzlichen Kindstod in 8500 Familien vergleicht.

Ausserdem ist zu beachten, dass die relevante Wahrscheinlichkeit nicht $p(D_1\cap D_2)$ ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit von zwei plötzlichen Kindstoden, wenn wir zwei Familien zufällig auswählen. Was wir tatsächlich betrachten sollten, sind die Familien, in denen zwei Kindstode aufgetreten sind, und wie viel davon wegen Krankheit oder Unfall aufgetreten sind, und wie viele auf einen Doppelmord zurückzuführen sind. Mit anderen Worten, wir sollten die folgenden Wahrscheinlichkeiten vergleichen

und

Nur wenn die erste Wahrscheinlichkeit viel kleiner ist als die zweite, sollte ein Verdacht aufkommen. Tatsächlich zeigt eine Studie, dass die erste Wahrscheinlichkeit etwa zehnmal höher ist als die zweite, und somit ist ein Unfalltod wie der plötzliche Kindstod eine wahrscheinlichere Erklärung für zwei Todesfälle in einer Familie ist.

Clark wurde im November 1999 verurteilt. Die Verurteilung wurde im Oktober 2000 in der Berufung aufrechterhalten, aber in einer zweiten Berufung im Januar 2003 aufgehoben, nachdem sich herausstellte, dass Dr. Alan Williams, der gerichtliche Pathologe der Staatsanwaltschaft, der ihre beiden Babys untersucht hatte, es inkompetent versäumt hatte, mikrobiologische Berichte offenzulegen, die darauf hindeuteten, dass der zweite ihrer Söhne eines natürlichen Todes gestorben war. Sie wurde aus dem Gefängnis entlassen, nachdem sie mehr als drei Jahre ihrer Strafe verbüsst hatte. Der Journalist Geoffrey Wansell nannte Clarks Erfahrung "einen der grössten Justizirrtümer der modernen britischen Rechtsgeschichte". Aufgrund ihres Falles ordnete der Generalstaatsanwalt eine Überprüfung von Hunderten anderer Fälle an, und bei zwei weiteren Frauen wurden die Verurteilungen ebenfalls aufgehoben.