Abhängige und unabhängige Ereignisse

Motivation

Betrachten wir zwei Ereignisse EE und FF eines Zufallsexperiments. Wir wissen bereits, dass beide Ereignisse eintreten können, wenn das Experiment durchgeführt wird. Wenn das Eintreten eines dieser Ereignisse die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses verändert, sagen wir, dass EE und FF abhängig sind. Wenn dies nicht der Fall ist, sagen wir, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind.

Oftmals haben wir eine gute Intuition (resp. Erfahrung) ob zwei Ereignisse abhängig oder unabhänig voneinander sind. Siehe Aufgabe unten.

Exercise 1

Entscheide intuitiv, ob die folgenden Ereingisse unabhängig sind:

  1. E=E="eine Bank ausrauben" und F=F="in den Knast gehen".

  2. E=E="stromrechnung nicht bezahlen" und F=F="der Strom wird abgestellt".

  3. E=E="als Erster in ein Flugzeug einsteigen" und F=F="einen guten Sitzplatz finden".

  4. E=E="falsch parken" und F=F="einen Strafzettel bekommen".

  5. E=E="ein Auto fahren" und F=F="in einen Verkehrsunfall verwickelt sein".

  6. Auswahl von zwei Kugeln, eine nach der anderen, ohne Zurücklegen aus einer Box mit roten und grünen Kugeln. E=E="eine grüne Kugel in der ersten Auswahl" und F=F="eine rote Kugel in der zweiten Auswahl".

  7. E=E="der Besitz eines Hundes" und F=F="der Anbau eines eigenen Kräutergartens".

  8. E=E="im Lotto gewinnen" und F=F="keine Milch mehr haben".

  9. E=E="einen Lottoschein kaufen" und F=F="einen Penny auf dem Boden finden".

  10. E=E="im ersten Münzwurf Kopf" und F=F="im zweiten Münzwurf Zahl zu werfen".

  11. Auswahl von zwei Kugeln, einer nah der anderen, mit Zurücklegen aus einer Box mit roten und grünen Kugeln. E=E="eine grüne Kugel in der ersten Auswahl" und F=F="eine rote Kugel in der zweiten Auswahl".

Solution

1-6 sind alles abhängige Ereignisse. Zum Beispiel: warum sind "eine Bank ausrauben" und "ins Gefängnis gehen" abhängige Ereignisse? Das Zufallsexperiment ist hier die "zufällige Auswahl einer Person". Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ausgewählte Person ins Gefängnis kommt, könnte recht gering sein. Wenn die Person jedoch eine Bank ausraubt, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person ebenfalls ins Gefängnis muss, drastisch an. Der Eintritt des Ereignisses "Banküberfall" verändert also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "ins Gefängnis gehen".

1-7 sind unabhängige Ereignisse. Zum Beispiel, warum sind "einen Hund besitzen" und "einen Kräutergarten anlegen" unabhängige Ereignisse? Auch hier ist das Zufallsexperiment die "zufällige Auswahl einer Person". Diese beiden Ereignisse haben nichts miteinander zu tun - die Auswahl einer Person, die einen Hund besitzt, erhöht oder verringert nicht die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person auch einen Kräutergarten anbaut. Oder doch??

Um abhängigkeit und unabhängigkeit auf eine solide Grundlage zu stellen, definieren wir sie mathematisch, aber möglichst so, dass sie mit der Intuition übereinstimmt.

Definition 1

Zwei Ereignisse E⊂SE\subset S und F⊂SF\subset S in einem Zufallsexperiment mit Ergebnisraum SS sind unabhängig, falls gilt:

Equation 1
p(E∣F)=p(E)undp(F∣E)=p(F)p(E\vert F) = p(E)\quad\text{und}\quad p(F\vert E)=p(F)

Unabhängie Ereignisse.

Ereignisse die nicht unabhängig sind, nennen wir abhängig.

Diese Definition macht intuitiv Sinn, denn p(E∣F)=p(E)p(E\vert F)=p(E) bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von EE nicht ändert, unabhängig davon, ob FF gegeben ist oder nicht. Das Ereignis FF hat also keinen Einfluss auf das Ereignis EE. Und ebenso bedeutet p(F∣E)=p(F)p(F\vert E)=p(F), dass das Ereignis EE keinen Einfluss auf das Ereignis FF hat. Also sind EE und FF unabhängig.

Man beachte, dass es für die Unabhängigkeit eigentlich genügt, zu zeigen, dass eine dieser Gleichungen gültig ist. In der Tat kann noch mehr gezeigt werden:

Theorem 1

Man betrachte zwei Ereignisse E⊂SE\subset S und F⊂SF\subset S eines Zufallsexperiments mit Ergebnisraum SS, und es sei p(E)=p(E∣F)p(E)=p(E|F). Es gilt:

Equation 2
p(E)=p(E∣F)⇔E,F sind unabha¨ngig⇔E′,F sind unabha¨ngig⇔E,F′ sind unabha¨ngig⇔E′,F′ sind unabha¨ngig\begin{array}{lll} p(E)=p(E|F) &\Leftrightarrow& \text{$E, F$ sind unabhängig}\\ &\Leftrightarrow&\text{$E^\prime, F$ sind unabhängig}\\ &\Leftrightarrow&\text{$E, F^\prime$ sind unabhängig}\\ &\Leftrightarrow&\text{$E^\prime, F^\prime$ sind unabhängig} \end{array}

Kriterien für unabhängige Ereignisse

Proof

Der Beweis ist nicht schwierig, aber recht technisch und wir werden ihn nicht vollständig zeigen. Wir werden nur die Aussage (1) beweisen, die anderen Aussagen werden auf ähnliche Weise gezeigt.

Nimm an, es gelte p(E)=p(E∣F)p(E)=p(E|F). Wir müssen zeigen, dass daraus p(F)=p(F∣E)p(F)=p(F|E) folgt. Wir haben per Definition, dass

p(E∣F)=p(E∩F)p(F)p(E|F)=\frac{p(E\cap F)}{p(F)}

Wegen der Annahme p(E)=p(E∣F)p(E)=p(E|F) folgt

p(E)=p(E∩F)p(F)p(E)=\frac{p(E\cap F)}{p(F)}

und durch Multiplikation beider Seiten mit p(F)p(F) erhalten wir somit

p(E)⋅p(F)=p(E∩F)p(E)\cdot p(F)=p(E\cap F)

Dividieren wir beide Seiten durch p(E)p(E), erhalten wir

p(F)=p(E∩F)p(E)=p(F∣E)p(F)=\frac{p(E \cap F)}{p(E)} = p(F|E)

Hier ist noch eine weitere nützliche Charakterisierung der Unabhängigkeit zweier Ereignisse:

Theorem 2

Gegeben sind zwei Ereignisse E⊂SE\subset S and F⊂SF\subset S eines Zufallsexperiments mit Ergebnisraum SS.

Equation 3
E,F unabha¨ngig⇔p(E∩F)=p(E)⋅p(F)\text{$E, F$ unabhängig} \Leftrightarrow p(E\cap F)=p(E)\cdot p(F)

Unabhängigkeit und Multilikation von Ereigniswarhrscheinlichkeiten

Proof

  • EE und FF seien unabhängig. Wir wollen zeigen, dass

    p(E∩F)=p(E)⋅p(F)p(E\cap F)=p(E)\cdot p(F)

    Aus der Unabhängigkeit von EE und FF folgt per Definition, dass

    p(E)=p(E∣F)=p(E∩F)p(F)p(E)=p(E|F)=\frac{p(E\cap F)}{p(F)}

    Multipliziert man beide Seiten mit p(F)p(F), so erhält man

    p(E)⋅p(F)=p(E∩F)p(E)\cdot p(F)=p(E\cap F)

  • Nehmen wir nun an, dass die Gleichung p(E∩F)=p(E)⋅p(F)p(E\cap F)=p(E)\cdot p(F) erfüllt ist. Wir wollen zeigen, dass EE und FF unabhängig sind. Dazu müssen wir zeigen, dass p(E)=p(E∣F)p(E)=p(E|F).

    Das aber ist wahr, denn aus p(E∩F)=p(E)⋅p(F)p(E\cap F)=p(E)\cdot p(F) folgt

    p(E)=p(E∩F)p(F)=p(E∣F)p(E)=\frac{p(E\cap F)}{p(F)}=p(E|F)
Exercise 2
F1

Sind zwei sich gegenseitig ausschliessende Ereignisse unabhängig?

F2

Das Experiment besteht darin, eine Münze zweimal zu werfen. Wie kann man experimentell zeigen, dass die Ereignisse H1H_1="Kopf beim ersten Wurf" und H2H_2="Kopf beim zweiten Wurf" unabhängig sind?

F3

Eine Box enthält 3 blaue und 5 rote Kugeln. Wir wählen zwei Kugeln nach dem Zufallsprinzip aus. Betrachte die beiden Ereignisse R1R_1="rote Kugel in erster Auswahl" und R2R_2="rote Kugel in zweiter Auswahl". Sind die beiden Ereignisse unabhängig, falls

  1. die Auswahl mit Zurücklegen erfolgt (d.h. die erste Kugel wird zurückgegeben, bevor die zweite Kugel ausgewählt wird).
  2. die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt (d. h. die erste Kugel wird nicht zurückgegeben, bevor die zweite Kugel ausgewählt wird).

Argumentiere mit den Wahrscheinlichkeiten.

Solution
A1

Nein. Da EE und FF sich gegenseitig ausschliessen, ist p(E∩F)=p({})=0p(E\cap F)=p(\{\})=0, aber p(E)⋅p(F)≠0p(E)\cdot p(F)\neq 0 (immer unter der Annahme, dass p(E)≠0p(E)\neq 0 und p(F)≠0p(F)\neq 0). Intuitiv macht dies Sinn. Bei EE wissen wir, dass FF nicht eintreten kann, da sich die Ereignisse gegenseitig ausschliessen. Also beeinflusst EE das Eintreten von FF, und somit sind sie voneinander abhängig.

A2

Wiederhole das Experiment viele Male und bestimme die Wahrscheinlichkeiten p(H1),p(H2)p(H_1), p(H_2) und p(H1∩H2)p(H_1\cap H_2). Zeige dann, dass p(H1)⋅p(H2)=p(H1∩H2)p(H_1)\cdot p(H_2)=p(H_1\cap H_2).

A3

Die Bäume sind unten dargestellt (links: mit Zurücklegen, rechts: ohne Zurücklegen). Wir müssen prüfen, ob p(R1)⋅p(R2)=p(R1∩R2)p(R_1)\cdot p(R_2)=p(R_1\cap R_2).

  1. p(R2)=58⋅58+38⋅58=58p(R_2)=\frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{8}. Also

    p(R1)⋅p(R2)=58⋅58=2564p(R_1)\cdot p(R_2) = \frac{5}{8}\cdot \frac{5}{8}=\frac{25}{64} p(R1∩R2)=58⋅58=2564p(R_1\cap R_2) = \frac{5}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{64}

    Sie sind also unabhängig.

  2. p(R2)=58⋅47+38⋅57=3556p(R_2)=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{35}{56}. Also

    p(R1)⋅p(R2)=58⋅3556=175448=0.390...p(R_1)\cdot p(R_2) = \frac{5}{8}\cdot \frac{35}{56}=\frac{175}{448}=0.390... p(R1∩R2)=58⋅47=2056=0.357...p(R_1\cap R_2) = \frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=0.357...

    Sie sind also nicht unabhängig.