Stammfunktionen

Bei der Diskussion von Funktionen war die Ableitung ein wichtiger Begriff. Mit ihrer Hilfe kann man bekanntlich die momentane Änderungsrate einer Grösse,

\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},

bestimmen. Im Folgenden wird nun umgekehrt diskutiert, wie man von der momentanen Änderungsrate einer Grösse auf die Gesamtänderung schliessen kann. Wir werden sehen, dass die Gesamtänderung einer Grösse als Flächeninhalt unter einer Kurve interpretiert werden kann.

Newton und Leibniz, die beiden Entdecker der Differentialrechnung trieben auch die hier vorgestellte Integralrechnung voran. Die symbolische Schreibweise $\int$ geht auf Leibniz zurück, wobei dieses Zeichen an das Wort Summe (lat. ſumma, " ſ " steht für ein langes s) erinnern soll. Wie wir sehen werden, geht es nämlich in der Integralrechnung darum, infinitesimal kleine Flächenstücke aufzusummieren. Die Notation $f(x)\,\mathrm{d}x$ bedeutet die Fläche einer "Säule"\ mit Höhe $f(x)$ und infinitesimal kleiner Breite $\mathrm{d}x$ ; vergleiche mit dem sogenannten Riemann-Integral.

Flächenberechnung als Grenzwertprozess

Example 1

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=x^2$ und der x-Achse im Intervall $[0,1]$ . Wir approximieren den gesuchten Flächeninhalt mit $n$ Rechtecken der Breite $\frac{1}{n}$ für ein festes $n\in\mathbb{N}$ , welche dem gesuchten Ebenenstück einbeschrieben sind. Wir erhalten nach kurzer Rechnung

U_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}.

Die kurze Rechnung

Da die Rechtecke "einbeschrieben" sind (Untersumme), muss die Höhe jedes Rechtecks dem niedrigsten Funktionswert im jeweiligen Teilintervall entsprechen.

Die Funktion $f(x)=x^2$ ist im Intervall $[0,1]$ streng monoton wachsend. Das bedeutet, der niedrigste Wert in einem Teilintervall $[x_{i-1}, x_i]$ befindet sich immer am linken Rand, also bei $x_{i-1}$ .

Höhe des 1. Rechtecks: $f(x_0) = f(0) = 0^2$
Höhe des 2. Rechtecks: $f(x_1) = f(\frac{1}{n}) = (\frac{1}{n})^2$
Höhe des i-ten Rechtecks: $f(x_{i-1}) = f(\frac{i-1}{n}) = (\frac{i-1}{n})^2$
...
Höhe des n-ten Rechtecks: $f(x_{n-1}) = f(\frac{n-1}{n}) = (\frac{n-1}{n})^2$

Die Gesamtfläche der Untersumme $U_n$ ist die Summe der Flächen aller $n$ Rechtecke. Die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe.

U_n = \sum_{i=1}^{n} \underbrace{\left( \frac{1}{n} \right)}_{\text{Breite}} \cdot \underbrace{f(x_{i-1})}_{\text{Höhe}}

Jetzt setzen wir den Ausdruck für die Höhe ein:

U_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{i-1}{n} \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{(i-1)^2}{n^2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(i-1)^2}{n^3}

Der Term $\frac{1}{n^3}$ hängt nicht von der Zählvariable $i$ ab und kann daher vor die Summe gezogen werden:

U_n = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} (i-1)^2

\sum_{i=1}^{n} (i-1)^2 = (1-1)^2 + (2-1)^2 + \dots + (n-1)^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2

Dies ist die Summe der ersten $(n-1)$ Quadratzahlen:

\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}

In unserem Fall ist $m = n-1$ . Wir setzen dies in die Formel ein:

\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)(n)(2n-1)}{6}

U_n = \frac{1}{n^3} \cdot \left( \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \right)

Zum Schluss kürzen wir ein $n$ aus dem Zähler und Nenner:

U_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}

Um eine bessere Näherung zu erhalten, lassen wir $n$ gegen Unendlich streben:

\lim_{n\rightarrow\infty} U_n = \frac{1}{3}.

Das bedeutet, dass der gesuchte Flächeninhalt nicht kleiner als ein Drittel ist. Nun nähern wir die gesuchte Fläche mit Rechtecken an, in welchen der Graph vollständig enthalten ist:

O_n=U_n+\frac{1}{n}\cdot 1.

Wiederum lassen wir $n$ gegen Unendlich streben:

\lim_{n\rightarrow\infty} O_n = \frac{1}{3}.

Das heisst, dass die Fläche nicht grösser als $\frac{1}{3}$ ist. Zusammen mit dem ersten Resultat also, dass die gesuchte Fläche exakt $\frac{1}{3}$ beträgt.

$U_n$ nennt man sinnigerweise Untersumme und $O_n$ Obersumme. Hier die Darstellungen von $U_5$ und $O_5$ angewendet auf $f(x)=x^2$ im Intervall $[0,1]$ .

Wenn, wie in unserem Beispiel, Ober- und Untersumme für $n$ gegen Unendlich gegen den gleichen Wert konvergieren, dann sagt man:

"Das Integral von $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[0,1]$ existiert und hat den Wert $\frac{1}{3}$ ".

Exercise 1: Säulen für x^2

Berechne die Fläche zwischen $f(x)=x^2$ und der $x$ -Achse auf dem Intervall $[0,b]$ mit $b\geq0$ . Du darfst annehmen, dass Ober- und Untersumme gegen den gleichen Wert konvergieren.

Solution

Von der Fläche von $0$ bis $b$ ziehen wir die Fläche von $0$ bis $a$ ab: $F(b)-F(a)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}$ .

Exercise 2: Bereich unter x^2

Berechne die Fläche zwischen $f(x)=x^2$ und der $x$ -Achse auf dem Intervall $[a,b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}^+_0, a\leq b$ .

Solution

Von der Fläche von $0$ bis $b$ ziehen wir die Fläche von $0$ bis $a$ ab: $F(b)-F(a)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}$ .

Exercise 3: mit Dreiecken

Zeichne den Graphen von $g(x)=x$ . Berechne die Flächenfunktion $G(x)$ zwischen dem Graphen von $g$ und der x-Achse auf dem Intervall $[0,x]$ , welche den Wert der Fläche in Abhängigkeit von $x$ angibt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen $g$ und $G$ ?

Solution

An der Stelle $x$ haben wir eine Dreiecksfläche $G(x)=x\cdot g(x)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x^2$ . Es ist $G'(x)=g(x)$ .

Exercise 4: Säulen für x^3

Finde die Flächenformel $H$ für den Wert der Fläche zwischen dem Graphen $h(x)=x^3$ und der x-Achse auf dem Intervall $[a,b]$ . $H$ hängt natürlich von $a$ und $b$ ab: $H(a,b)$ .

Solution

Man findet Säulen vom Typ $\Delta x\cdot f((i-1)\Delta x)=\left(\frac{x}{n}\right)^4(1^4+2^4+3^4+\dots+(n-1)^4)=\left(\frac{x}{n}\right)^4\cdot\frac{1}{4}(n-1)^2\cdot n^2$ . Das führt im Limit zu $H(x)=\frac{x^4}{4}$ .

Stammfunktionen

Exercise 5: gleichmässig beschleunigt

Notiere erneut für die gleichmässig beschleunigte Bewegung ( $a=\text{konst}$ ) die Funktionsgleichungen für

a) die zurückgelegte Strecke $s(t)$ in Abhängigkeit der Zeit.

b) die Geschwindigkeit $v(t)$ in Abhängigkeit der Zeit.

c) die Beschleunigung $a(t)$ in Abhängigkeit der Zeit.

und skizziere die Funktionen. Erkläre anschliessend den Zusammenhang zwischen $s(t)$ , $v(t)$ , und $a(t)$ und bestimme beim $v$ - $t$ - und $a$ - $t$ -Diagramm den Flächeninhalt zwischen dem entsprechenden Graphen und der $x$ -Achse. Betrachte dazu das Zeitintervall $t\in [0,2]$ und setze $a=2\,\mathrm{m/s^2}$ .

Solution

a) $s(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0$

b) $v(t)=at+v_0$

c) $a(t)=a$

Der Graph von $a(t)$ ist konstant und die beiden andern sehen so aus:

Für $a=2$ über dem Intervall $[0,2]$ beträgt die Rechtecksfläche $4$ . Bei der Geschwindigkeit hat man $\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$

Betrachten wir die Fläche $A(x)$ unter dem Graphen einer stetigen Funktion $f$ über einem Intervall $[0,x]$ , die wir uns wie folgt vorstellen:

Wir nähern $A(x+h)$ für kleine $h$ an, indem wir zu $A(x)$ eine schmale Säule der Fläche $h \cdot f(x+h)$ addieren, was einen kleinen Fehler mit sich bringt.

\begin{align*} A(x+h) &\approx A(x)+h\cdot f(x+h)\\ A(x+h) - A(x_0) &\approx h\cdot f(x+h)\\ \frac{A(x+h) - A(x)}{h} &\approx f(x+h)\tag{$\lim_{h\to0}$}\\ \lim_{h\to0}\frac{A(x+h) - A(x)}{h} &= \lim_{h\to0}f(x+h) \end{align*}

Links steht die Ableitung der Flächenfunktion, $A'$ , an der Stelle $x$ . Die rechte Seite konvergiert, wegen der Stetigkeit von $f$ , gegen $f(x)$ . Es ist also für eine variable Obergrenze $x$ :

A'(x)=f(x).

Das heisst, die Flächenfunktion abgeleitet ergibt die Randfunktion $f$ .

Definition 1: Stammfunktion

Gegeben sei eine auf dem Intervall $I$ definierte Funktion $f$ . $F(x)$ heisst Stammfunktion von $f(x)$ im Intervall $I$ , wenn $\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}=f$ für alle $x\in I$ .

Note 1

Salopp: $F$ ist Stammfunktion von $f$ auf $I$ , wenn $F$ abgeleitet gleich $f$ ist:

F'(x)=f(x)

Example 2

Beispiele von Stammfunktionen sind:

a) $S(x)=\frac{x^3}{3}$ zu $f(x)=x^2$ .

b) $S(x)=\frac{x^3}{3}+5$ zu $f(x)=x^2$ .

c) $S(x)=-\cos(x)$ zu $f(x)=\sin(x)$

Exercise 6: Stammfunktion von \mathrm{e}^x

Was ist eine Stammfunktion für $\mathrm{e}^x$ ?

Solution

$\mathrm{e}^x$ ist Stammfunktion von sich selbst, da $(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$ ; insbesondere sind $\mathrm{e}^x+C$ mit $C\in\mathbb{R}$ alles Stammfunktionen von $\mathrm{e}^x$ .

Obige Übung zeigt auch, wieso ich von einer Stammfunktion von $f$ gesprochen habe. Weil nämlich beim Ableiten eine additive Konstante wegfällt, gibt es zu einer Funktion $f$ unendlich viele Stammfunktionen $S$ . Wir formulieren

Theorem 1

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ , so gilt für alle weiteren Stammfunktionen $\tilde{F}$ von $f$ :

\tilde{F}(x) = F(x) + c\quad\text{mit }c\in\mathbb{R}.

Proof

Man betrachte die Funktion $H$ mit dem Funktionsterm $H(x) = F(x) - G(x)$ , wobei $F$ und $G$ Stammfunktionen von $f$ seien. Also gilt für die Steigungsfunktion $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$ und somit $H(x) = c$ , da eine Funktion, deren Graph immer parallel zur $x$ -Achse verläuft, notwendigerweise konstant sein muss.

Für den Zusammenhang Funktion - Stammfunktion benutzt man ein besonderes Symbol und schreibt:

\int f(x)\;\mathrm{d}x := F(x) + C

(lies: unbestimmtes Integral von $f(x)\;\mathrm{d}x =\dots$ )

Das Symbol $\int\dots \mathrm{d}x$ steht für die Aufforderung, den Integranden $f$ zu integrieren (integrare, lat. wiederherstellen), also die Stammfunktion von $f$ zu bestimmen. Das $\mathrm{d}x$ gibt an, dass nach der Integrationsvariablen $x$ integriert werden soll, im Sinne von

\int f(x)\;\mathrm{d}x=\int f(t)\;\mathrm{d}t=\int f(u)\;du=\dots.

Also

\int x^2t\;\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}t+c,

hingegen

\int x^2t\;\mathrm{d}t=x^2\frac{t^2}{2}+c.

$c$ nennt man Integrationskonstante.

Exercise 7: Stammfunktionen ermitteln

Ermittle zu $f$ eine Stammfunktion $F$ und benutze die Integralschreibweise. Bestätige dein Ergebnis durch entsprechende Differenziation.

a) $f(x)=-\frac{1}{2}x$

b) $f(x)=3$

c) $f(t)=t^3+3t^2-4t+1$

d) $f(u)=\frac{1}{\sqrt{u}}+\sqrt{u}$

e) $v(s)=(1-s)^3$

f) $f(x)=x^n,\quad n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}$

g) $f(x)=(3x-2)^4+\sqrt{5x}$

h) $f(x)=\sin(x)+\cos(\frac{x}{2})$

i) $f(x)=\frac{3}{x}$

j) $f(t)=\mathrm{e}^t$

Solution

Exemplarisch: An der Stelle $x$ haben wir eine Dreiecksfläche $G(x)=x\cdot g(x)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x^2$ . Es ist $G'(x)=g(x)$ .

Exercise 8: Integrationskonstante anpassen

a) $f(x)=\frac{4}{x^2}-5x$ mit $F(4)=25$ .

b) $g(x)=4x^3-3x^2+4x+5$ mit $G(1)=3$ .

c) $h(t)=\cos(t)-\sin(t)$ mit $H(\frac{\pi}{4})=0$ .

d) $k(t)=\mathrm{e}^{3t}$ mit $K(\ln 3)=0$ .

Solution

a) $F(x)=-4x^{-1}-2.5x^2+C$ und daraus $C=-14$

b) $G(x)=x^4-x^3+2x^2+5x+C$ und daraus $C=-14$

c) $H(t)=\sin(t)+\cos(t)$ und $C=-\sqrt{2}$

d) $K(t)=\frac{1}{3}\mathrm{e}^{3t}$ und $C=-9$

Exercise 9: Stammfunktionen ermitteln II

Berechne

a) $\int (ax^2+bx+c)\;\mathrm{d}x$

b) $\int x^2\cos(\varphi)\;\mathrm{d}\varphi$

c) $\int \mathrm{e}^{-2t}\;\mathrm{d}t$

d) $\int\frac{\mathrm{d}x}{x-3}$

e) $\int x\mathrm{e}^{x^2+1}\;\mathrm{d}x$

f) $\int\frac{u^2}{4u^3-3}\;\mathrm{d}u$

Solution

a) $\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+C$

b) $x^2\sin(\varphi)+C$

c) $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2t}+C$

d) $\ln(x-3)+C$

e) $\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2+1}+C$

f) $\frac{1}{12}\ln(4u^3-3)+C$

Exercise 10: Kontrolle mit ableiten

Bestätige durch Differentiation

a) $\int (ax+b)^n\;\mathrm{d}x=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$

b) $\int \cos^2(x)\;\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x+\sin(x)\cos(x))+C$

c) $\int\ln(x)\;\mathrm{d}x=x(\ln( x)-1)+C$

d) $\int x\ln (x)\;\mathrm{d}x=\frac{x^2}{4}(2\ln(x)-1)+C$

Solution

Man sieht durch Differentiation, dass die vorgeschlagenen Stammfunktionen korrekt sind.

Exercise 11: Ölteppich

Ein Ölteppich breitet sich ungefähr mit der Geschwindigkeit

\frac{dR}{\mathrm{d}t}=\frac{8}{\sqrt{t}},\quad t\geq1

radial aus, wobei $R(t)$ den Radius des kreisförmigen Ölteppichs in Meter nach $t$ Minuten angibt. Nach einer Minute beträgt der Radius bereits 15 Meter. Berechne den Radius nach 49 Minuten.

Solution

Wir haben

\begin{align*} \frac{dR}{\mathrm{d}t} &= \frac{8}{\sqrt{t}}\\ \mathrm{dR} &= \frac{8}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\tag{$\int$}\\ R &= 16\sqrt{t}+C \end{align*}

Wegen $R(1)=15$ ist $C=-1$ . Nach $49$ Minuten ist $R(49)=111$ .

Nachdem für einige Funktionen bereits die Stammfunktionen konkret gebildet wurden, soll an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass es in diesem Zusammenhang zwei grundsätzliche Fragen gibt:

Gibt es zu jeder Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$ , d.h. ist jede Funktion integrierbar?
Ist gegebenenfalls diese Stammfunktion auch berechenbar, d.h. kann man ihren Funktionsterm explizit angeben?

Ohne Beweis wollen wir lediglich zur ersten Frage bemerken: Jede auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist auf entsprechendem Intervall auch integrierbar.

Das unbestimmte Integral

Zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion gibt es zahlreiche Rechenregeln. Beim Integrieren sind für uns nur wenige Eigenschaften des Integrals von Bedeutung. Nun wird der Begriff des unbestimmten Integrals einer Funktion eingeführt, um die wichtigsten Eigenschaften des Integrals schlank notieren können.

Definition 2: Unbestimmtes Integral

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f$ heisst unbestimmtes Integral. Man schreibt dafür

\int f(x)\,\mathrm{d}x

Zu einer Funktion $f$ das unbestimmte Integral bilden, heisst die Funktion zu integrieren.

Da das Integrieren im Allgemeinen ein schwieriges Unterfangen ist, ist man darauf bedacht, Formeln für häufig verwendete Funktionen bereitzustellen und Eigenschaften des Integrals zu formulieren.

Wir kennen bereits die Stammfunktionen zur Potenzfunktion $f(x)=x^n$ mit $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\}$ und der Sinus- bzw Cosinus-Funktion. Weitere Formeln können in der Formelsammlung nachgeschlagen werden.

Exercise 12

Wieso lässt man bei der Formel für die Stammfunktion von $f(x)=x^n$ den Fall $n=-1$ nicht zu?

Solution

Würde man $\frac{1}{x}$ integrieren, so erwartete man $x^0$ , was aber eine Konstante ist und daher abgeleitet $0$ ergibt. Aus der Differentialrechnung kennen wir $(\ln(x))'=\frac{1}{x}$ .

Folgende Eigenschaft des Integrals kann manchmal nützlich sein.

Theorem 2: Linearität des Integrals

Sind die Funktionen $f$ und $g$ auf dem Intervall $I$ stetig und sind $a,b,c\in I$ sowie $k\in\mathbb{R}$ , dann gilt:

\int k\cdot(f(x)+g(x))\,\mathrm{d}x = k\cdot\int f(x)\,\mathrm{d}x + k\cdot\int g(x)\,\mathrm{d}x

Proof

Offensichtlich stammt der Satz von den bereits bewiesenen Regeln - konstanter Faktor und Summenregel - für Ableitungen ab.

Exercise 13: Stammfunktionen III

Bestimme die Integrale von $f(x)=5x^2$ und $g(x)=x^2-2x$ .

Solution

$F(x)=\frac{5}{3}x^3+C$ und $G(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+C$ .

Exercise 14: Flächenstück

Die Graphen der Sinus- und Cosinus-Funktion begrenzen miteinander unendlich viele kongruente Ebenenstücke. Berechne den Flächeninhalt eines solchen Ebenenstücks.

Solution

Wir berechnen als Schnittpunkt

\begin{align*} \sin(x) &= \cos(x)\\ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} &= 1\\ \tan(x) &= 1\\ x &= \frac{\pi}{4} \end{align*}

und erkennen, dass der nächste Schnittpunkt bei $x=\frac{\pi}{4}+\pi$ liegt:

\begin{align*} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(\sin(x)-\cos(x))\,\mathrm{d}x &= (-\cos(x)-\sin(x))|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\\ &= 2\sqrt{2} \end{align*}