Das bestimmte Integral

Flächenberechnung als Grenzwertprozess

Die Flächenberechnung, auch Integralrechnung genannt, befasst sich mit der Bestimmung krummlinig begrenzter Ebenenstücke. Dabei müssen diese krummlinigen Begrenzungen als Graphen von Funktionen bekannt sein.

Definition 1: Integral

Wenn alle Zwischensummenfolgen des Graphen von $f$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so heisst die Funktion $f$ über $[a,b]$ integrierbar. Der gemeinsame Grenzwert heisst bestimmtes Integral von $f$ über dem Intervall $[a,b]$ , und man schreibt:

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

$a$ und $b$ heissen Integralgrenzen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Theorem 1: Hauptsatz der Integral- & Differenzialrechnung

Die Integralfunktion

I(x)=\int_a^xf(t)\,\text{d}t

jeder stetigen Funktion $f$ ist differenzierbar. Ihre Ableitung ist gleich der Integrandfunktion, d.h.

I'(x)=f(x).

Proof

Eine Möglichkeit, diesen Satz zu beweisen, geht vom Differenzenquotienten der Integralfunktion aus:

I'(x) = \lim_{h\rightarrow0} \frac{I(x+h)-I(x)}{h}.

Jetzt schreibt man $I$ explizit

I'(x) = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\int_a^{x+h}f(t)\;\mathrm{d}t-\int_a^xf(t)\;\mathrm{d}t}{h}

und wendet die Integraladditivität an, wobei $l$ die Höhe des Zwischensummenrechtecks mit Breite $h$ auf dem Intervall $[x,x+h]$ bezeichnet:

\begin{align*} I'(x) &= \lim_{h\rightarrow0} \frac{\int_x^{x+h}f(t)\;\mathrm{d}t}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{hl}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}l=f(x), \end{align*}

da für $h\rightarrow0$ wegen der Stetigkeit von $f$ die Höhe $l$ gegen $f(x)$ strebt.

Dieser Satz wird in der Literatur oft auch als Fundamentalsatz der Analysis bezeichnet.

Fast unmittelbar folgt der für die Flächenberechnung praktische

Theorem 2

Ist $F(x)$ eine Stammfunktion der stetigen Funktion $f$ , so gilt:

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).

Proof

Man zeigt ganz leicht, dass die additive Konstante wegfällt.

Note 1

Der Satz offenbart uns folgendes Rezept zur Flächenberechnung zwischen einem Graphen mit Funktionsgleichung $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[a,b]$ , ohne Grenzwerte beiziehen zu müssen:

Man bestimmt eine Stammfunktion $S$ der Integrandfunktion $f$ .
Man bestimmt die Werte dieser Stammfunktion $F$ für $x=a$ und $x=b$ .
Die Differenz dieser Werte, $F(b)-F(a)$ , ist gleich dem bestimmten Integral, also gleich dem Flächenwert.

Man schreibt:

\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=S(x)\,|^b_a=S(b)-S(a).

Wir betrachten ein

Example 1

\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\,\mathrm{d}x&=-\cos(x)\,|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=-\cos(\frac{\pi}{2})-(-\cos(0))\\ &=0-(-1)=1 \end{align*}

Exercise 1: Fläche unter Cosinus

Skizziere und berechne den Flächeninhalt unter $f(x)=\cos(x)$ zwischen $0$ und $\frac{\pi}{2}$ .

Solution

Die Skizze erledigt man von Hand oder mit Geogebra . $\int_0^\frac{\pi}{2}\cos(x)\,\mathrm{d}x=\sin(x)|_0^{frac{\pi}{2}}=\sin(frac{\pi}{2})-\sin(0)=0$ .

Exercise 2: Fläche unter x^4

Berechne den Flächeninhalt unter $f(x)=x^4$ zwischen $1$ und $2$ .

Solution

Es ist $\int_1^2x^4\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}x^5|_1^2=\frac{31}{5}$ .

Exercise 3: Flächen berechnen

Achte jeweils darauf, ob der Integrand im Integrationsintervall überhaupt definiert ist, und berechne:

a) $\int_1^42\;\mathrm{d}x$

b) $\int_{-3}^8\;\mathrm{d}x$

c) $\int_{-5}^0(3-u)^2\;\mathrm{d}u$

d) $\int_{0.001}^{0.1}\frac{1}{x^2}\;\mathrm{d}x$

e) $\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}u}{u^2}$

f) $\int_1^9(2\sqrt{x}-\frac{3}{\sqrt{x}})\;\mathrm{d}x$

g) $\int_{-3}^{-1}\frac{1+t}{t^3}\;\mathrm{d}t$

h) $\int_0^\pi\sin x\;\mathrm{d}x$

i) $\int_\frac{1}{2}^2\frac{1}{x}\;\mathrm{d}x$

j) $\int_0^1t\mathrm{e}^{-t^2}\;\mathrm{d}t$

k) $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{1+2\cos x}\;\mathrm{d}x$

l) $\int_0^1\frac{1}{2}(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})\;\mathrm{d}x$

Solution

a) $6$

b) $11$

c) $-\frac{1}{3}(3-u)^3|_{-5}^0 = -\frac{1}{3}(3-0)^3+\frac{1}{3}(3-(-5))^3=-9+\frac{256}{3}$

d) $-x^{-1}|_0.001^0.1=-10+1000=990$

e) nicht definiert, da die Funktion in $0$ nicht definiert ist.

f) $\frac{4}{3}x^\frac{3}{2}-6x^\frac{1}{2}|_1^9=22\frac{2}{3}$

g) $-\frac{1}{2}t^{-2}-t^{-1}|_{-3}^{-1}=\frac{2}{9}$

h) $-\cos(x)|_0^\pi=2$

i) $\ln(x)|_0.5^2=2\ln(2)$

j) $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-t^2}|_0^1=0.5(1-\frac{1}{\mathrm{e}})$

k) $-\frac{1}{2}\ln(1+2\cos(x))|_0^\frac{\pi}{2}=-\frac{1}{2}\ln(1)+\frac{1}{2}\ln(3)$

l) $\frac{1}{2}(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x})$

Exercise 4: Grenze berechnen

Berechne $b$ aus:

a) $\int_0^bt^2\;\mathrm{d}t=72$

b) $\int_1^b\frac{1}{x^2}\;\mathrm{d}x=\frac{3}{7}$

c) $\int_\mathrm{e}^b\frac{\mathrm{d}u}{u}=1$

Solution

a) $F(t)=\frac{1}{3}t^3+C$ , woraus $F(b)-F(0)=72=\frac{1}{3}b^3$ folgt. Somit $b=6$ .

b) $F(x)=-\frac{1}{x}+C$ , $F(b)-F(1)=\frac{3}{7}\Leftrightarrow -\frac{1}{b}=-\frac{4}{7}$ , also $b=\frac{7}{4}$

c) $F(u)=\ln(u)+C$ , $\ln(b)-1=1$ und damit $b=\mathrm{e}^2$ .

Wir haben bereits gesehen, dass sich auch krummlinig begrenzte Flächen zwischen zwei Graphen, deren Funktionsgleichungen bekannt sind, leicht berechnen lassen.

Exercise 5: Einfache Flächen

Deute das bestimmte Integral als Masszahl eines Flächeninhaltes eines Gebietes, das zu skizzieren ist, und berechne seinen Wert. Überprüfe Dein Ergebnis, falls möglich, mit den aus der Elementarmathematik bekannten Formeln für Rechteck, Dreieck und Tapez.

a) $\int_1^53\;\mathrm{d}x$

b) $\int_2^43x\;\mathrm{d}x$

c) $\int_a^bax\;\mathrm{d}x$

Solution

a) Es handelt sich um ein Rechteck mit Breite $3$ und Länge $4$ . $\int_1^53\;\mathrm{d}x=3x|_1^5=15-3=12$ .

b) Hier hat man ein Dreieck mit Höhe $12$ und Seite $2$ . $\int_2^43x\;\mathrm{d}x=\frac{3}{2}x^2|_2^4=24-6=18$

c) Trapez mit Breite $b-a$ . $\int_a^bax\;\mathrm{d}x=\frac{a}{2}x^2|_a^b=\frac{a^3}{2}-\frac{ab^2}{2}=\frac{a(a^2-b^2)}{2}$

Exercise 6: Geometrische Interpretation

Veranschauliche dir mit geometrischer Interpretation, dass $\forall x\in\mathbb{N}$ gilt:

\int_0^1x^n\;\mathrm{d}x+\int_0^1\sqrt[n]{x}\;\mathrm{d}x=1.

Solution

Die beiden Funktionen sind invers zueinander, ihre Graphen also symmetrisch bezüglich der Geraden $w(x)=x$ . Ferner schneiden sie sich bei $(0|0)$ und $(1|1)$ .

Alternativ kann man auch beide Randfunktionen integrieren und auswerten.

Exercise 7: 🧩

Berechne den Wert des Integrals

\int_0^4\sqrt{16-x^2}\;\mathrm{d}x,

indem Du das Integral als Masszahl eines bestimmten Flächeninhalts interpretierst.

Solution

Eine Stammfunktion ist schwierig zu finden, aber $y=\sqrt{4^2-x^2}$ beschreibt Punkte $(x|y)$ auf dem Halbkreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius $4$ , wie man leicht mit dem Satz von Pythogoras einsieht. Also ist $\int_0^4\sqrt{16-x^2}\;\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\pi 4^2=4\pi$ .

Exercise 8: Zwischenflächen

Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche:

a) $f(x)=9-x^2$ und $g(x)=x+3$

b) $f(x)=2$ und $g(x)=e^x$

c) $f(x)=x^2$ und $g(x)=\sin(ax)$

d) $f(x)=\mathrm{e}x^2$ und $g(x)=\mathrm{e}^x\quad(x\geq0)$

Solution

a) Zuerst muss man die Schnittpunkte ausrechnen:

\begin{align*} 9-x^2 &= x+3\\ 0 &= x^2+x-6\\ 0 &= (x-2)(x+3) \end{align*}

also $x_1=2$ und $x_2=-3$ . Wir berechnen $\int_{-3}^2(-x^2+9-(x+3))\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+6x|_{-3}^2=-\frac{1}{3}2^3-\frac{1}{2}2^2+12-(-\frac{1}{3}(-3)^3-\frac{1}{2}(-3)^2-18)=-\frac{8}{3}-2+12-9+\frac{9}{2}+18=20\frac{5}{6}$ .

b) Schnittpunkt $2=\mathrm{e}^x$ , also $x=\ln(2)$ . Damit $\int_0^{\ln(2)}(2-\mathrm{e}^x)\,\mathrm{d}x=1$ .

c) Damit $g(1)=1$ muss $a=\frac{\pi}{2}$ . Somit $\int_0^1(\sin(\frac{\pi}{2}x-x^2)\,\mathrm{d}x = -\frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{2}x)-\frac{1}{3}x^3|_0^1=-\frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}$

d) Den Schnittpunkt vermuten wir bei $x=1$ und liegen richtig; die Gleichung ist nicht analytisch lösbar. Wir berechnen also $2\int_0^1(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}x^2)\,\mathrm{d}x = (\mathrm{e}^x-\frac{\mathrm{e}}{3}x^3)|_0^1$ . Einsetzen und ausrechnen liefert $\frac{2}{3}\mathrm{e}-1$ .

Exercise 9: Gebiet halbieren

Für welchen Wert $u$ halbiert die Gerade $x=u$ das Gebiet, das von

a) der Parabel $f(x)=x^2$ , der x-Achse und der Geraden $x=4$ ,

b) der Sinuskurve, der x-Achse und der Geraden $x=\frac{\pi}{2}$

begrenzt wird?

Solution

a) Die Schnittpunkte sind bei $0$ und $4$ . Die Fläche beträgt $\frac{64}{3}$ .

b) $\int_0^{\pi/2}\sin(x)\,\mathrm{d}x=1=2\int_0^{u}\sin(x)\,\mathrm{d}x$ , $\frac{1}{2}=-\cos(u)+\cos(0)$ . Also $\cos(u)=\frac{1}{2}$ , $u=60^\circ$ .

Exercise 10: Stollen

Ein wasserführender Stollen hat einen parabolischen Querschnitt mit $4.0\,\mathrm{m}$ Sohlenbreite und $3.8\,\mathrm{m}$ Scheitelhöhe. Wie viel $m^3$ Wasser kann der Stollen in einer Sekunde führen, wenn das Wasser höchstens mit einer Geschwindigkeit von $3.5\,\mathrm{m/s}$ bis zu $\frac{3}{4}$ der Scheitelhöhe fliessen darf?

Solution

Wir berechnen den Querschnitt $\int_{-2}^2 (-\frac{19}{20}x^2+3.8)\,\mathrm{d}x\approx15.2$ . Wegen den $75\%$ haben wir eine Höhe von $2.95$ Meter. $\int_{-1}^1 -0.95x^2+0.95\approx1.27$ . Damit ist die Querschnittsfläche knapp $14$ Quadratmeter und der Durchfluss knapp $50\,000\,\mathrm{l/s}$ .

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Manchmal liegt das Gebiet, dessen Flächeninhalt zu berechnen ist, nicht oberhalb der $x$ -Achse. Durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $x$ -Achse - statt $f$ betrachtet man die Funktion $-f$ - kann aber dieser Umstand behoben werden. Ergibt sich beim Durchlaufen des Randes der zu bestimmenden Fläche in der Richtung von $a$ nach $b$ auf der $x$ -Achse beginnend ein positiver oder negativer Umlaufsinn, so ist das entsprechende bestimmte Integral positiv bzw. negativ. Man spricht in diesem Zusammenhang auch manchmal vom Umlaufsinn.

Example 2

\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}

beziehungsweise

\int_2^0 x^2\,\mathrm{d}x = \frac{0^3}{3}-\frac{2^3}{3} = -\frac{8}{3}

Exercise 11: Positive und negative Beiträge

Berechne

\int_0^{2\pi}\sin(x)\;\mathrm{d}x.

Solution

$-\cos(x)|_0^{2\pi}=-1+1=0$ . Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf.

Existenz bestimmter Integrale

Es gilt der folgende

Theorem 3

Jede über $[a,b]$ stetige Funktion $f$ ist über diesem Intervall auch integrierbar.

Note 2

Zwischen Differenzierbarkeit, Stetigkeit und Integrierbarkeit besteht folgender Zusammenhang:

Jede differenzierbare Funktion ist stetig, und jede stetige Funktion ist integrierbar.
Es gibt stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind.
Es gibt integrierbare Funktionen, die nicht stetig sind.
Es gibt Funktionen, die nicht integrierbar sind.

Exercise 12: 🧩

Finde charakteristische Beispiele zu den Aussagen aus obiger Bemerkung.

Solution

Die Funktion $|x|$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ stetig, aber in $x=0$ nicht differenzierbar, weil rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen ( $-1\neq1$ ).

Die Funktion $\lfloor x\rfloor$ ist integrierbar aber nicht stetig an den Sprungstellen.

Die sogenannte Dirichlet-Funktion

f(x)= \begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}

ist nirgends stetig und nicht (Riemann-)integrierbar.