Reihen

Historisches zu "unendlich lange Summen"

Die folgenden Formeln sind Näherungen unendlich langer Summen; wir analysieren deren Qualität.

Exercise 1: Näherungen

Es gelten die folgenden Näherungsformeln:

\begin{align*} \frac{\pi}{4}&\approx1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\\ \cos(x)&\approx1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\\ \frac{1}{1+x}&\approx1-x+x^2-x^3\quad|x|<1 \end{align*}

Berechne damit $\pi$ , $\cos(\frac{\pi}{3})$ und $\frac{1}{1+0.13}$ . Um wie viel Prozent weicht die Näherung vom "tatsächlichen" Wert ab?

Solution

a) $4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9})\approx3.33968$ . Das sind ca. $6.3\,\%$ Abweichung.

b) $1-\frac{(\tfrac{\pi}{3})^2}{2!}+\frac{(\tfrac{\pi}{3})^4}{4!}-\frac{(\tfrac{\pi}{3})^6}{6!}\approx0.49996$ , das sind etwa $0.007\,\%$ Abweichung.

c) $1-0.13+0.13^2-0.13^3\approx0.8847$ . Ich kriege eine Abweichung von ca. $0.03\,\%$

Je mehr Summanden berücksichtigt werden, desto genauer werden die Näherungswerte. Die Näherungsformel im dritten Beispiel wird in einer späteren Aufgabe begründet.

Der Mönch Guido Grandi, ein Mathematiker der Universität Pisa, kam 1703 in einer seiner Schriften zu dem Ergebnis, dass

1-1+1-1+1-1+1-\dots=\frac{1}{2}.

Obwohl er immer zwei aufeinanderfolgende Summanden zusammenfasste, zog er den Schluss:

0+0+0+0+0+0+\dots=\frac{1}{2}.

Dies wurde als Beweis dafür interpretiert, dass Gott die Welt aus dem Nichts erschaffen könne. Leibniz stimmte 1713 zwar nicht in dieser Interpretation, wohl aber in der Argumentation zu. Denn betrachtet man die alternierende Reihe

1-1+1-1+1-1+\dots,

und bricht sie nach einer geraden Anzahl von Gliedern ab, ergibt sich der Wert $0$ . Bricht man sie nach einer ungeraden Anzahl ab, ergibt sich der Wert $1$ . Da die Reihe unendlich viele Glieder enthält und man dem Unendlichen weder den Charakter einer geraden noch einer ungeraden Zahl zuschreiben kann, folgt, dass die Reihe weder den Wert $0$ noch den Wert $1$ besitzt. Daher müsse man ihr den Wert $\tfrac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$ zuschreiben.

Später wurde erkannt, dass es sich hierbei um ein Scheinproblem handelt. Zunächst muss präzise definiert werden, was unter der Summe unendlich vieler Glieder zu verstehen ist, da der Summenbegriff ursprünglich nur für Partialsummen eingeführt war.

Die Reihe

Aus den Gliedern einer Folge bildet man Partialsummen und damit die Folge ihrer Partialsummen:

s_{k+1} = s_{k}+a_{k+1} \quad s_1=a_1

Erst durch diese Definition wird die Addition von unendlich vielen Summanden sinnvoll. Denn die Glieder der Partialsummenfolge können nun einem bestimmten Wert zustreben oder nicht. Entsprechend nennt man die Reihe konvergent oder divergent. Beispielsweise:

$a_1=0.9, a_2=0.09, a_3=0.009, \dots$ , also $s_1 = 0.9, s_2 = 0.99, s_3 = 0.999, \dots$ . Die Folgeglieder $s_k$ streben dem Wert $s=1$ zu; die entsprechende Reihe ist konvergent.
$a_1=5, a_2=6, a_3=7, a_4=8, \dots$ , also $s_1 = 5, s_2 = 11, s_3 = 18, s_4 = 26, \dots$ . Die Folgeglieder $s_k$ streben keinem bestimmten Wert zu; die entsprechende Reihe ist bestimmt divergent.

Definition 1: Reihe

Bei einer konvergenten Partialsummenfolge schreibt man

a_1+a_2+a_3+\dots+a_k+\dots = \lim_{k\to\infty} s_k =: s

und bezeichnet den Grenzwert $s$ als die Reihe der Folge $\langle a_k\rangle$ .

Exercise 2: Leibniz

Bilde bei der Zahlenfolge die Folge der Partialsummen und entscheide dann, ob die zur gegebenen Folge zugehörige Reihe konvergiert. Berechne gegebenenfalls die Summe $s$ dieser unendlichen Reihe und die Nummer $N(\varepsilon)$ , von der an für $\varepsilon=\frac{1}{1000}$ der Abstand $|s_k-s|<\varepsilon$ wird.

\frac{1}{1\cdot2}, \frac{1}{2\cdot3}, \frac{1}{3\cdot4}, \dots, \frac{1}{k(k+1)}, \dots.

Als Leibniz bei seinem ersten Besuch in Paris mit Huygens zusammentraf, wurde ihm diese Aufgabe vorgelegt. Er konnte dieses Problem lösen, obwohl er sich bis zu diesem Zeitpunkt kaum mit Mathematik beschäftigt hatte.

Solution

Dieses Problem haben wir bereits gelöst. Die einzelnen Folgeglieder streben gegen $0$ und die Summe strebt gegen $1$ .

Exkurs Harmonische Reihe

Theorem 1

Wenn die Reihe einer Folge $\langle a_k\rangle$ konvergiert, dann ist $\lim_{k\to\infty}a_k = 0$ .

Proof

Es gilt $a_k=s_k-s_{k-1}$ . Betrachte $\lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}(s_k-s_{k-1})$ .

Note 1: Die harmonische Reihe

Die Umkehrung des obigen Satzes gilt nicht: Aus $\lim_{k\to\infty}a_k=0$ folgt nicht die Konvergenz der entsprechenden Reihe.

Die harmonische Reihe divergiert aufreizend langsam. $s_{100}$ ist nur wenig grösser als $5$ und erst $s_{12367}$ ist grösser als $10$ . Streicht man aus der harmonischen Reihe sämtliche Summanden, deren Nenner im Dezimalsystem geschrieben die Ziffer 9 enthalten, so konvergiert merkwürdigerweise die übrigbleibende Teilreihe. Erstaunlich ist ebenfalls, dass die Reihe

1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\dots+\frac{1}{n^p}+\dots

für $p>1$ konvergiert und für $p\leq1$ bestimmt divergiert.

Die Kontraposition des ersten Satzes ergibt

Theorem 2

Ist $\lim_{k\to\infty}a_k\neq0$ , so ist die Reihe zur Folge $\langle a_k\rangle$ divergent.

Konvergenz geometrischer Reihen

Wir lassen in den folgenden Überlegungen die konstanten Folgen, insbesondere die Nullfolge, weg.
Klar ist, dass die Partialsummenfolgen arithmetischer Folgen divergieren. Bei den geometrischen Folgen hängt die Konvergenz der Partialsummenfolge vom Term $q^n$ ab. Denn wir erinnern uns, dass für eine geometrische Folge gilt:

s_k=a_1\frac{1-q^k}{1-q}.

Das heisst das Verhalten von $\lim_{k\to\infty}s_k$ ist durch $\lim_{k\to\infty}q^k$ bestimmt.

Uncollapse

Überlege dir, dass $\lim_{k\to\infty}q^k=0$ falls $-1<q<1$ .
Es ist $|q|\in[0,1)$ und ich nehme $0<q<1$ . Sei $\varepsilon>0$ beliebig. Wähle

N>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(q)},

denn so ist

|q^k|=q^k\le q^N<\varepsilon.

Also $\lim_{k\to\infty} q^k=0$ .

Theorem 3

Eine geometrische Reihe konvergiert, wenn $-1<q<1$ ist. Dann gilt für den Wert der Reihe

\lim_{k\to\infty}s_k=s=\frac{a_1}{1-q}.

Proof

Man setzt die Formel der geometrischen Partialsummen für $k\to\infty$ fort. Die Fälle $q=0$ und $q=1$ betrachtet man separat.

Exercise 3: Geometrische Reihen

Ermittle die geometrische Reihe:

a) $1+\frac{2}{3}+\dots$

b) $2-\frac{2}{3}+\dots$

c) $1-\frac{99}{100}+\dots$

Solution

a) $\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3$

b) $\frac{2}{1-(-\tfrac{1}{3})}=\frac{2}{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{3}{2}$

c) $\frac{1}{1-(-\tfrac{99}{100})}=\frac{1}{\tfrac{199}{100}}=\tfrac{100}{199}$

Exercise 4: Geometrische Reihen II

Falls die Reihe geometrisch ist, entscheide, ob sie konvergiert und berechne gegebenenfalls ihren Wert.

a) $3 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \dots$

b) $5 - \frac{5}{2} + \frac{5}{4} - \dots$

c) $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \dots$

d) $10 + 5 + 2.5 + \dots$

e) $\frac{3}{2} - \frac{9}{4} + \frac{27}{8} - \dots$

Solution

a) $\frac{3}{1 - \tfrac{1}{4}} = \frac{3}{\tfrac{3}{4}} = 4$

b) $\frac{5}{1 - (-\tfrac{1}{2})} = \frac{5}{\tfrac{3}{2}} = \tfrac{10}{3}$

c) nicht geometrisch; diese Reihe konvergiert nicht, da es sich um eine um zwei Summanden "verschobene" und mit $2$ multiplizierte harmonische Reihe handelt: $2(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}+\dots)$ .

d) $\frac{10}{1 - \tfrac{1}{2}} = \frac{10}{\tfrac{1}{2}} = 20$

e) Es ist $q=-\frac{3}{2}<-1$ , d.h. diese geometrische Reihe divergiert.

Exercise 5: 🧩

Periodische Dezimalbrüche kann man als konvergente geometrische Reihe auffassen. Zeige dies für $0.\overline{4}$ und berechne den Wert der Reihe.

Solution

Es ist $0.\overline{4}=0.4+0.04+0.004+\dots$ , also $q=\tfrac{1}{10}$ und $a_1=0.4$ .
Damit $0.\overline{4}=\tfrac{0.4}{1-0.1}=\tfrac{4}{9}$ .

Exercise 6: Finde p

Für welchen Wert von $p\in\mathbb{R}$ ist die geometrische Reihe

p^3+\frac{p^6}{27}+\frac{p^9}{729}+\dots

konvergent?

Solution

Es muss $\frac{\tfrac{p^6}{27}}{p^3}=\frac{p^3}{27}=\left(\tfrac{p}{3}\right)^3$ betragsmässig kleiner als $1$ sein, also $-3<p<3$ .

Exercise 7: Partialsumme nahe an Reihe

Gegeben sei die unendlich geometrische Folge

1\quad\frac{1}{3}\quad\frac{1}{9}\quad\dots

a) Berechne den Quotienten $q$ und gib eine rekursive Definition für das $k$ -te Glied $a_k$ .

b) Berechne $s_1,\dots,s_4$ und die $100$ -ste Partialsumme.

c) Berechne den Wert der Reihe $s$ .

Solution

a) $q=\tfrac{1}{3}$ und $a_k=a_{k-1}\cdot\tfrac{1}{3}$ mit $a_1=1$ . Explizit wäre $a_k=(\tfrac{1}{3})^{k-1}$ .

b) $s_1=1$ , $s_2=\tfrac{4}{3}$ , $s_3=\tfrac{13}{9}$ , $s_4=\tfrac{40}{27}$ und

s_{100}=1\cdot\tfrac{1-(\tfrac{1}{3})^{100}}{1-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{3}{2}\cdot(1-(\tfrac{1}{3})^{100})\approx\tfrac{3}{2}.

c) $s=\tfrac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\tfrac{3}{2}$ .

Exercise 8: s_k nahe an s

Gegeben sei der Beginn einer Folge:

9\quad 3\quad \dots

a) Sei die Folge arithmetisch. Berechne $d$ und $a_3$ .

Sei die Folge nun geometrisch.

b) Berechne $q$ und $a_3$ .

c) Berechne die $6$ te Partialsumme.

d) Falls die Reihe der Folge konvergiert: Gegen welchen Wert $s$ konvergiert die Reihe?

e) Wie viele Glieder muss man mindestens addieren, damit die $k$ te Partialsumme weniger als ein Millionstel vom Reihenwert $s$ abweicht?

Solution

a) Die Differenz $d$ ergibt sich aus $a_2 - a_1 = 3 - 9 = -6$ . Damit ist $a_3 = a_2 + d = 3 + (-6) = -3$ .

d = -6 \quad \text{und damit} \quad a_3 = -3.

b) Der Quotient $q$ ergibt sich aus $\frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . Damit ist $a_3 = a_2 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ .

q = \frac{1}{3} \quad \text{und damit} \quad a_3 = 1.

c) Die $6$ te Partialsumme $s_6$ ist:

s_6 = a_1 \cdot \frac{1-q^6}{1-q} = 9 \cdot \frac{1-(\frac{1}{3})^6}{1-\frac{1}{3}} = 9 \cdot \frac{1-\frac{1}{729}}{\frac{2}{3}}

s_6 = 9 \cdot \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{729-1}{729}\right) = \frac{27}{2} \cdot \frac{728}{729}

Da $729 = 27 \cdot 27$ ist:

s_6 = \frac{1}{2} \cdot \frac{728}{27} = \frac{364}{27} \approx 13.48.

d) Wegen $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$ konvergiert die Reihe. Der Grenzwert $s$ ist:

s = \frac{a_1}{1-q} = \frac{9}{1-\frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5.

e) Die Abweichung vom Reihenwert ist $|s_k - s|$ . Da alle Terme positiv sind, gilt $s - s_k = R_k = s \cdot q^k$ . Wir suchen das kleinste $k$ , für das gilt:

|s_k - s| = \left| \frac{27}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k \right| < \frac{1}{10^6}

\frac{27}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k < \frac{1}{10^6}

Wir stellen nach $3^k$ um:

\left(\frac{1}{3}\right)^k < \frac{2}{27 \cdot 10^6} \quad \Leftrightarrow \quad 3^k > \frac{27 \cdot 10^6}{2} = 13'500'000

Anwendung des Logarithmus zur Basis 3:

k > \log_3(13'500'000) \approx 14.86

Da $k$ ganzzahlig sein muss, gilt ab $k \geq 15$ .

\text{Es müssen mindestens } k = 15 \text{ Glieder addiert werden.} \quad \checkmark

Exercise 9: Nahe an die Reihe

Gegeben sei der Beginn einer Folge:

-6\quad 4\quad \dots

a) Sei die Folge arithmetisch. Berechne $d$ und $a_3$ .

Sei die Folge nun geometrisch.

b) Berechne $q$ und $a_3$ .

c) Berechne die $6$ te Partialsumme.

d) Falls die Reihe der Folge konvergiert: Gegen welchen Wert $s$ konvergiert die Reihe?

e) Wie viele Glieder muss man mindestens addieren, damit die $k$ te Partialsumme weniger als ein Millionstel vom Reihenwert $s$ abweicht?

Solution

a) $d=10$ und damit $a_3 = 14$ .
b) Aus $-6\cdot q = 4$ folgt $q=-\frac{2}{3}$ und damit $a_3=-\frac{8}{3}$ .
c)

s_6 = (-6)\cdot\frac{1-(-\tfrac{2}{3})^6}{1-(-\tfrac{2}{3})} = -\frac{18}{5}(1-(\tfrac{2}{3})^6) \approx -3.28.

d) Wegen $-1 < -\frac{2}{3} < 1$ konvergiert die Reihe und es ist

s = \frac{-6}{1-(-\tfrac{2}{3})} = -\frac{18}{5} = -3.6.

\begin{align*} |s_k-s| &< \frac{1}{10^6}\\ s_k-s &< \frac{1}{10^6}\\ (-6)\cdot\frac{1-(-\tfrac{2}{3})^k}{1-(-\tfrac{2}{3})} -(-\tfrac{18}{5}) &< \frac{1}{10^6}\\ \frac{18}{5}(-\frac{2}{3})^k &< \frac{1}{10^6}\\ (-\frac{2}{3})^k &< \frac{5}{18\cdot 10^6}\\ \rightarrow (\frac{2}{3})^k &< \frac{5}{18\cdot 10^6}\\ k &= \log_{\tfrac{2}{3}}(\frac{5}{18\cdot 10^6}) \approx 37.2. \end{align*}

Das heisst ab $k \geq 38$ ist $s_k$ näher als ein Millionstel an $s$ .

Check: $s_{37} = -3.600001099$ und $s_{38} = -3.599999267$ . ✓

Exercise 10: Verschachtelte Quadrate

Einem Quadrat mit der Seitenlänge $a$ ist ein zweites einbeschrieben, dessen Eckpunkte auf den Mitten der Seiten des ersten Quadrates liegen. In der gleichen Weise ist dem zweiten Quadrat ein drittes, dem dritten ein viertes usw. einbeschrieben. Zeichne eine Figur mit vier ineinander geschachtelten Quadraten. Berechne die Summe der unendlich vielen Flächeninhalte und Umfänge.

Solution

Für den aufsummierten Flächeninhalt gilt

\begin{align*} A &= a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} + \dots \\ &= \frac{a^2}{1-\tfrac{1}{2}} = 2a^2. \end{align*}

Für den Umfang:

\begin{align*} U &= 4a + \frac{4a}{\sqrt{2}} + \frac{4a}{2} + \frac{4a}{2\sqrt{2}} + \dots \\ &= \frac{4a}{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}} \\ &= \frac{4a}{\tfrac{2-\sqrt{2}}{2}} \\ &= \frac{8a}{2-\sqrt{2}} \\ &= 4a(2+\sqrt{2}). \end{align*}

Exercise 11: Quadrate stapeln

Ein Quadrat mit Seite $a$ wird so erweitert, dass an jede Quadratseite ein weiteres Quadrat mit Seitenlänge $\tfrac{a}{3}$ an das mittlere Drittel der ursprünglichen Seite angehängt wird. Dieses Verfahren setzt man beliebig fort.

a) Berechne die Gesamtfläche der Figur.

b) Berechne den Umfang der Figur.

Solution

a) Die Fläche beträgt

\begin{align*} A &= a^2 + 4\cdot \left(\tfrac{a}{3}\right)^2 + 4\cdot 3\cdot \left(\tfrac{a}{9}\right)^2 + 4\cdot 3^2\cdot \left(\tfrac{a}{27}\right)^2 + \dots \\ &= a^2 + \frac{\tfrac{4a^2}{9}}{1-\tfrac{1}{3}} \\ &= a^2 + \tfrac{2}{3}a^2 \\ &= \tfrac{5}{3}a^2. \end{align*}

b) Für den Umfang:

U = 4a + 4\cdot2\cdot\tfrac{a}{3} + 4\cdot3\cdot2\cdot\tfrac{a}{9} + 4\cdot3^2\cdot2\cdot\tfrac{a}{27} + \dots

Ab dem zweiten Summanden haben wir eine Reihe mit $q=1$ und damit divergiert der Umfang, $U=\infty$ .

Exercise 12: Stammhalterstrategie

Bei der Frage, wie viele Kinder man zu erwarten hat, wenn man nach der Stammhalterstrategie vorgeht, muss man die Summe $s$ der unendlichen Reihe

s=1 + 2p + 3p^2 + 4p^3 + \dots , \quad 0 < p < 1

berechnen. Berechne $s - ps$ und daraus $s$ .

Solution

Es folgt $ps=p+2p^2+3p^3+\dots$ und sofort $s-ps=1+p+p^2+p^3+\dots$ , was nun eine geometrische Reihe ist. Also

\begin{align*} s-ps &= 1+p+p^2+p^3+\dots\\ s(1-p) &= \frac{1}{1-p}\\ s &= \frac{1}{(1-p)^2}. \end{align*}

Exercise 13: Koch-Kurve

Ausgangsfigur ist ein Streckenabschnitt der Länge $1$ (Schritt $0$ ).
In jedem Schritt wird jedes vorhandene Segment in drei gleich lange Teile zerlegt. Das mittlere Drittel wird durch die beiden Schenkel eines gleichseitigen Dreiecks ersetzt.

a) Bestimme die gesamte Länge $L_n$ der Kurve nach Schritt $n$ in Abhängigkeit von $n$ ; untersuche das Verhalten von $L_n$ für $n\to\infty$ .

b) Sei die Grundlinie die $x$ -Achse vom Start- zum Endpunkt. Berechne die gesamte Fläche $A_n$ zwischen der Koch-Kurve (mit Zacken nach oben) und der Grundlinie bis einschliesslich Schritt $n$ , sowie den Grenzwert $A_\infty$ .

Solution

a) Jedes Segment erzeugt in einem Schritt $4$ Segmente. Mit $N_0=1$ gilt $N_n=4^{\,n}\quad(n\in\mathbb{N}_0)$ . Pro Schritt skaliert die Segmentlänge mit dem Faktor $\tfrac{1}{3}$ . Mit $l_0=1$ gilt $l_n=\left(\tfrac13\right)^{n}$ . Gesamtlänge $L_n=N_n\cdot l_n$ :

L_n=4^{\,n}\cdot\left(\tfrac13\right)^{n}=\left(\tfrac43\right)^{n}.

Da $\tfrac{4}{3}>1$ gilt $\lim_{n\to\infty}L_n=+\infty$ .

b) Flächenzuwachs im Schritt $k\ge1$ : Es werden $4^{\,k-1}$ gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge $(\tfrac13)^k$ hinzugefügt. Die Fläche eines solchen Dreiecks ist $\tfrac{\sqrt3}{4}\,(\tfrac13)^{2k}$ . Also

\Delta A_k=4^{\,k-1}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(\tfrac13\right)^{2k} =\frac{\sqrt3}{16}\left(\tfrac49\right)^{k}.

Damit

A_n=\sum_{k=1}^{n}\Delta A_k=\frac{\sqrt3}{16}\sum_{k=1}^{n}\left(\tfrac49\right)^{k} =\frac{\sqrt3}{16}\cdot\frac{\tfrac49\left(1-(\tfrac49)^n\right)}{1-\tfrac49} =\frac{\sqrt3}{20}\left(1-\left(\tfrac49\right)^{n}\right).

Grenzwert:

A_\infty=\lim_{n\to\infty}A_n=\frac{\sqrt3}{20}.

Exercise 14: Sierpinski Flickenteppich

Teile ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 zunächst in neun gleiche kleinere Quadrate. Entferne das mittlere Quadrat, behandle die übrigen acht Quadrate in der gleichen Art und wiederhole den Prozess unendlich oft. Man erhält so den Sierpinski'schen Flickenteppich.

Berechne seinen Flächeninhalt.

Solution

\begin{align*} A &= 1-\tfrac{1}{9}-8\cdot\tfrac{1}{81}-8^2\cdot\tfrac{1}{9^3}-\dots \\ &= 1-\left(8^0\cdot\tfrac{1}{9}+8^1\cdot\tfrac{1}{9^2}+8^2\cdot\tfrac{1}{9^3}+\dots\right) \\ &= 1-\frac{\tfrac{1}{9}}{1-\tfrac{8}{9}} \\ &= 1-1 \\ &= 0. \end{align*}

Exercise 15: Halbkreis-Spirale

Gegeben sei ein spiralförmiges Schneckenhaus, welches aus Halbkreisen zusammengesetzt sei. Der längste Radius messe $4.5$ und das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Radien $r_k/r_{k+1}$ sei $3/2$ .

a) Aus wie vielen Halbkreisen besteht die Spirale, wenn die letzte noch mindestens $0.03$ lang sein soll?

b) Wie lang wäre eine Spirale, bestünde sie aus unendlich vielen Halbkreisen?

c) Wo auf der $x$ -Achse endet diese unendlich lange Spirale?

d) Aus wie vielen Halbkreisen besteht die Spirale mindestens, wenn ihre Länge mehr als $99\%$ der unendlich langen Spirale ist?

Solution

Hier seht ihr die originale Aufgabe und eine mögliche Lösung kommentiert.

Exercise 16: 🧩

a) Eine positive, geometrische Folge $\langle a_k\rangle$ erfüllt $a_3=18$ und $a_6=2.25$ . Bestimme den Quotienten $q$ , den Anfangswert $a_1$ sowie die rekursive und die explizite Formel von $a_k$ .

b) Bestimme die Partialsumme $s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k$ in geschlossener Form sowie (falls existent) $s_\infty=\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ .

c) Bestimme das kleinste $n\in\mathbb{N}$ mit $s_n\ge 130$ .

d) Untersuche die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}$ auf Konvergenz und bestimme ihren Wert.

Solution

a) Aus

\frac{a_6}{a_3}=q^{6-3}=q^3=\frac{2.25}{18}=0.125=\frac{1}{8}

folgt $q=\frac{1}{2}$ (positiv wegen positiver Glieder). Dann $a_3=a_1 q^2\Rightarrow a_1=\frac{18}{(\tfrac{1}{2})^2}=\frac{18}{\tfrac{1}{4}}=72$ . Rekursiv $a_{k+1}=\frac{1}{2}a_k,\; a_1=72$ , explizit $a_k=72\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$ .

b) Für $q=\frac{1}{2}$ gilt für die geometrische Reihe

s_n=a_1\frac{1-q^{\,n}}{1-q}=72\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^n}{1-\tfrac{1}{2}}=72\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{2})^n}{\tfrac{1}{2}}=144\bigl(1-(\tfrac{1}{2})^n\bigr).

Da $|q|<1$ , existiert $s_\infty=\frac{a_1}{1-q}=\frac{72}{\tfrac{1}{2}}=144$ .

c) Bedingung $s_n\ge 130$ wird zu

144\bigl(1-(\frac{1}{2})^n\bigr)\ge 130\;\Longleftrightarrow\;(\tfrac{1}{2})^n\le \frac{14}{144}=\frac{7}{72}.

Logarithmieren liefert

n\ge \frac{\ln(\tfrac{72}{7})}{\ln 2}\approx \frac{2.332}{0.693}\approx 3.36,

also minimal $n=4$ .
Kontrolle: $s_3=144\bigl(1-(\tfrac{1}{2})^3\bigr)=144\cdot\frac{7}{8}=126<130$ , $s_4=144\bigl(1-(\tfrac{1}{2})^4\bigr)=144\cdot\frac{15}{16}=135\ge 130$ .

d) Setze $r=\frac{1}{3}$ . Die Potenzreihe $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{\,n}$ konvergiert für $|r|<1$ und es gilt die bekannte Formel

\sum_{n=1}^{\infty} n r^{\,n}=\frac{r}{(1-r)^2}

(Stammhalterstrategie). Mit $r=\frac{1}{3}$ ergibt sich

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{3^k}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\left(1-\tfrac{1}{3}\right)^2}=\frac{\tfrac{1}{3}}{(\tfrac{2}{3})^2}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{4}{9}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Exercise 17: 🧩

Die folgende Geschichte – Auszug aus dem Lehrgedicht "Achilles und die Schildkröte" von H. Cremer – ist als Zenon'sches Paradoxon bekannt.

Der Zenon, den ein jeder kennt,

war zu Elea einst Dozent.

Schildkröten sind uns hierzuland

als plump und langsam wohl bekannt.

Achill, so schliess ich, weil ich hell,

läuft sicherlich zehnmal so schnell.

Je nun, er rennt, so denk ich mir,

mal um die Wette mit dem Tier.

Zehn Meter Vorsprung geb' er bloss;

dies Zugeständnis scheint nicht gross.

Die Glocke tönt, der Kampf fängt an,

nun, gute Kröte, halt' Dich ran!

Zehn Meter läuft Achilles heiter;

die Kröte ist 'nen Meter weiter.

Auch diesen läuft Achill in Eil;

die Kröte läuft den zehnten Teil.

Auch dieses Stück durchmisst Achill,

doch ach, das Vieh steht auch nicht still;

sie ist trotz allem etwas weiter;

Achilles ist schon nicht mehr heiter.

So wiederholt sich stets dies Spiel,

und nimmer kommt der Held zum Ziel.

Nimmt er der Kröte alten Ort, schwupp!

ist sie auch schon wieder fort.

Er kommt in Wut bis zur Ekstase;

die Kröte dreht ihm eine Nase.

Sie bleibt ihm stets ein Stück voraus;

Achilles schleicht geknickt nach Haus;

die Kröte aber triumphiert

und wird mit Orden dekoriert.

Auf welchem Trugschluss beruht das Sophisma des Zenon vom Wettlauf des Achilles mit der Schildkröte? Wann holt Achilles die Schildkröte wirklich ein?

Solution

Obwohl man die Zeitabschnitte bzw. Teilstrecken in immer kleinere Stücke teilt ist doch die Summe dieser unendlich vielen Abschnitte endlich. Daher holt Achilles die Schildkröte nach

10+1+0.1+\dots=\frac{10}{1-\tfrac{1}{10}}=\tfrac{100}{9}\approx11.2

Metern ein.