Grenzwerte

Konvergenz und Divergenz

Wir wenden uns in diesem Kapitel den Gliedern mit hohen Nummern zu und werden versuchen, Aussagen über ihr Verhalten zu machen, wenn $k$ gegen Unendlich strebt, $k\to\infty$ .

Exercise 1: Wohin des Weges?

Berechne für $k=10,11,10^3,10^3+1,10^6,10^6+1$ die Glieder der Zahlenfolge mit

a) $a_k=5+\frac{1}{k}$

b) $b_k=(-1)^k\cdot\frac{3000}{k}$

c) $c_k=k^3$

Solution

a) $a_{10}=\tfrac{51}{10}$ , $a_{11}=\tfrac{28}{5}$ , $a_{1000}=\tfrac{5001}{1000}$ , $a_{1001}=\tfrac{5006}{1001}$ , $a_{10^6}=\tfrac{5\,000\,001}{10^6}$ , $a_{10^6+1}=\tfrac{5\,000\,006}{10^6+1}$

b) $b_{10}=300$ , $b_{11}=-\tfrac{3000}{11}$ , $b_{1000}=3$ , $b_{1001}=-\tfrac{3000}{1001}$ , $b_{10^6}=\tfrac{3}{1000}$ , $b_{10^6+1}=-\tfrac{3000}{10^6+1}$

c) $c_{10}=10^3$ , $c_{11}=11^3$ , $c_{1000}=10^9$ , $c_{1001}=1001^3$ , $c_{10^6}=10^{18}$ , $c_{10^6+1}=(10^6+1)^3$

Note 1

Wir können also das Verhalten von Folgen für grosse $k\in\mathbb{N}$ in drei wesentliche Fälle aufteilen.

Die Glieder der Folge streben für $k\to\infty$ genau einer reellen Zahl, einem Grenzwert, zu. (konvergent)
Die Glieder der Folge werden für $k\to\infty$ betragsmässig grösser als jede noch so grosse Zahl. (divergent)
Die Glieder der Folge verhalten sich nicht so wie in den beiden andern Fällen.

Der Konvergenzbegriff

Um den Begriff der Konvergenz exakter zu formulieren, betrachten wir ein Beispiel. Wir definieren zuerst:

Definition 1: Epsilon-Umgebung

Sei $\varepsilon>0$ eine positive reelle Zahl und $g\in\mathbb{R}$ beliebig. Das offene Intervall $(g-\varepsilon,g+\varepsilon)$ heisst $\varepsilon$ -Umgebung von $g$ .

Example 1

Wir betrachten die Zahlenfolge

a_k=2+(-1)^k\cdot\frac{4}{k}

und berechnen die ersten $8$ Glieder der Folge. Wir bemerken $g=2$ und $\varepsilon=1$ , zeichnen also die $1$ -Umgebung um den vermuteten Grenzwert $2$ .

Je grösser die Nummern der Glieder gewählt werden, desto näher sind diese beim Wert $2$ . In diesem Beispiel sieht man, dass alle Glieder ab der Nummer $N=4$ in unserer gewählten Umgebung liegen.

|a_k-2|<1\quad\text{für }k>4.

Wählt man statt $\varepsilon=1$ nun ein kleineres $\varepsilon$ , so kann man bei dieser Folge wieder eine bestimmte Nummer $N$ finden, ab welcher die $a_k$ mit $k>N$ in dieser neuen $\varepsilon$ -Umgebung liegen. Weil also dieses $N$ von der Grösse der Umgebung abhängt, schreibt man oft deutlicher $N(\varepsilon)$ . Wir nennen diese Nummer Stichzahl.

Exercise 2: Stichzahl

Berechne zu obiger Folge die Stichzahl $N(\tfrac{1}{100})$ für den Grenzwert $g=2$ , den wir ja zu kennen glauben.

Solution

Wir wollen $|a_k-2|<\tfrac{1}{100}$ . Es folgt

\begin{align*} |a_k-2| &< \tfrac{1}{100}\\ |2+(-1)^k\frac{4}{k}-2| &< \tfrac{1}{100}\\ |(-1)^k\frac{4}{k}| &< \tfrac{1}{100}\\ \frac{4}{k} &< \tfrac{1}{100}\\ 400 &< k \end{align*}

Also ist die Stichzahl $N=400$ und alle Glieder von $401$ an aufwärts sind in der $\varepsilon$ -Umgebung.

Damit ist $N(0.01) = 400$ . Vom $401.$ Glied an liegen alle Glieder der Folge in der $\tfrac{1}{100}$ -Umgebung von $2$ . Entsprechend gilt für alle Glieder mit den Nummern $k > 4\,000\,000$ : $|a_k - 2| < 0.000001$ . Durch passende Wahl einer Gliednummer $N$ kann man bei dieser Folge immer erreichen, dass von dieser Nummer an alle Betragsdifferenzen $|a_k - 2|$ kleiner als jede noch so klein gewählte Zahl $\varepsilon$ ausfallen. Man sagt dann: „die Folge $\langle a_k\rangle$ konvergiert gegen den Grenzwert $g=2$ “.

Definition 2: Konvergenz

Eine Folge $\langle a_k\rangle$ heisst konvergent mit Grenzwert $g$ , wenn zu jeder noch so kleinen $\varepsilon$ -Umgebung von $g$ eine Stichzahl $N(\varepsilon)$ so existiert, dass alle Glieder $a_k$ mit $k > N(\varepsilon)$ in dieser Umgebung liegen. Kurz:

\forall\varepsilon>0\quad\exists N(\varepsilon)\text{ so, dass }|a_k-g|<\varepsilon\quad\forall k>N(\varepsilon)

(Konvergenz kommentiert)

Note 2

Konvergiert die Folge $\langle a_k\rangle$ gegen den Grenzwert $g$ , so schreibt man dafür

\lim_{k\to\infty}a_k=g

Für die bestimmt divergenten Folgen, deren Glieder gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ streben, benutzt man die gleiche Symbolik und schreibt:

\lim_{k\to\infty}a_k=\infty\quad\text{ bzw. }\quad\lim_{k\to\infty}a_k=-\infty

Das Symbol $\infty$ stammt von John Wallis (1616–1703), der Begriff limes (lat. Grenze) von Isaac Newton (1643–1716).

Exercise 3: N(\varepsilon)

Untersuche die Folge mit

a) $a_k=\tfrac{5}{k+1}$

b) $b_k=\tfrac{7k+8}{2k-3}$

c) $c_k=\tfrac{k}{k^2+1}$

d) $x_k=k^2-3$

e) $y_k=\sin(\frac{\pi}{2}k)$

auf Konvergenz. Berechne, falls die Folge konvergent ist, die Nummern $N(10^{-3})$ und $N(\varepsilon)$ für ein beliebiges $\varepsilon$ .

Solution

a) $\langle a_k\rangle$ konvergiert gegen $0$ . $|a_k-0|<\varepsilon$ , d.h. $\tfrac{5}{k+1}<\varepsilon$ . Da $k\in\mathbb{N}$ ist der Term strikt positiv:

\begin{align*} \frac{5}{k+1} &< \varepsilon\\ 5 &< (k+1)\varepsilon\\ \frac{5}{\varepsilon}-1 &< k \end{align*}

b) $\langle b_k\rangle$ konvergiert gegen $\tfrac{7}{2}$ . $|b_k-\tfrac{7}{2}|<\varepsilon$ , d.h. $\left|\tfrac{7k+8}{2k-3}-\tfrac{7}{2}\right|<\varepsilon$ . Für $k>2$ ist der Term strikt positiv:

\begin{align*} \frac{7k+8}{2k-3}-\frac{7}{2} &< \varepsilon\\ 2(7k+8)-7(2k-3) &< (4k-6)\varepsilon\\ \frac{37+6\varepsilon}{4\varepsilon} &< k\\ \frac{37}{4\varepsilon}+\frac{3}{2} &< k \end{align*}

c) $\langle c_k\rangle$ konvergiert gegen $0$ . $|c_k-0|=\tfrac{k}{k^2+1}<\varepsilon$ . Wir rechnen

\begin{align*} \tfrac{k}{k^2+1} &< \varepsilon\\ k &< \varepsilon(k^2+1)\\ 0 &< \varepsilon k^2-k+\varepsilon\\ k_1 &> \frac{1+\sqrt{1-4\varepsilon^2}}{2\varepsilon} \end{align*}

was sinnvoll für $\varepsilon\leq\frac{1}{2}$ ist. Für $\varepsilon = \frac{1}{2}$ kriegt man $N=1$ , also $k>1$ .

d) $x_k=k^2-3$ ist divergent.

e) $y_k=\sin(\frac{\pi}{2}k)$ ist weder konvergent noch divergent.

Note 3

Die Eulersche Zahl hatten wir definiert als

\mathrm{e} := \lim_{n\to0}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Über den binomischen Lehrsatz findet man die äquivalente Definition als Summe:

\mathrm{e} := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}.

Exercise 4: Näherung der Eulerschen Zahl

Berechne mit der Summendarstellung von oben einen Näherungswert von $\mathrm{e}$ mit den ersten vier Summanden.

Solution

Man erhält $\mathrm{e} \approx 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} = \frac{8}{3} = 2.\overline{6}$ .

Exkurs Cauchy-Folgen

Man kann die Konvergenz einer Folge auch nachweisen, ohne den Grenzwert zu kennen. Das von Augustin Louis Cauchy (1789–1857) stammende Konvergenzkriterium besagt nämlich, dass eine Folge konvergiert, wenn der Unterschied beliebiger Folgenglieder mit genügend grosser Nummer kleiner als jede vorgegebene positive reelle Zahl ist. Dies motiviert die

Definition 3: Cauchy-Folge

Eine Folge $\langle a_k\rangle_{k\in\mathbb{N}}$ heisst Cauchy-Folge, falls

\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\mathbb{N}\text{ so, dass } |a_n-a_m|<\varepsilon\quad\forall n,m\geq N.

Definition 4: monoton

Eine Folge $\langle a_k\rangle$ heisst monoton wachsend, wenn $a_{k+1}\geq a_k$ , resp. monoton fallend, wenn $a_{k+1}\leq a_k$ für alle $k$ ist.

Definition 5: beschränkt

Eine Folge $\langle a_k\rangle$ heisst beschränkt, wenn es eine positive Zahl $M$ mit $|a_k|< M\;\forall k\in\mathbb{N}$ gibt.

Exercise 5: 🧩

Untersuche folgende Folgen:

a) $a_k=\tfrac{1}{k}$ . Zeige, dass es sich um eine Cauchy-Folge handelt.

b) $b_k=2-\tfrac{1}{k}$ . Bestimme, ob die Folge monoton wachsend oder fallend ist, und gib ihren Grenzwert an.

Solution

a) Seien $m,n\in\mathbb{N}$ . Wir zeigen zuerst, dass für $n,m\geq N$

|a_m-a_n|\leq\frac{1}{N}

gilt.
OEdA $m\leq n$ . Dann

|a_m-a_n| = \left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{m}-\frac{1}{n} = \frac{n-m}{mn}

Sicher $n < n + m$ und daraus $0\leq n-m < n$ . Damit folgt

\frac{n-m}{mn} < \frac{n}{mn} = \frac{1}{m} \leq \frac{1}{N}

wie behauptet.
Für jedes $\varepsilon>0$ wähle $N>\tfrac{1}{\varepsilon}$ , dann ist $|a_n-a_m|<\varepsilon$ . Also ist $\langle a_k\rangle$ eine Cauchy-Folge.

b) $b_{k+1}-b_k=\left(2-\frac{1}{k+1}\right)-\left(2-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}>0$ .
Also ist $\langle b_k\rangle$ monoton wachsend. Der Grenzwert ist $\lim_{k\to\infty}b_k=2$ .