Grundbegriffe

Exercise 1: Gerade Zahlen

Notiere und beschreibe mit einer Formel die Folge der geraden Zahlen.

Solution

Die Folge der geraden Zahlen, notiert $2, 4, 6, 8, \dots$ , beschreibt man beispielsweise so: $f(x)=2x$ , $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$ .

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine Folge, die nur aus Zahlen besteht.

Example 1

1 \quad 2 \quad 4 \quad 8 \quad 16 \quad \dots

ist eine Zahlenfolge. Allgemein schreiben wir

a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad a_4 \quad a_5 \quad \dots

Note 1

Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder der Zahlenfolge. Es ist naheliegend, jedem Glied einer bestimmten Folge seine Positionsnummer zuzuordnen. Für die Folge schreiben wir manchmal kürzer

a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad a_4 \quad a_5 \quad \dots =: \langle a_k \rangle_{k \in \mathbb{N}}.

Dabei sind also $a_1$ , $a_2$ usw. die Werte der Glieder in dieser Zahlenfolge an den jeweiligen Positionen $1$ , $2$ usw.

Exercise 2: Papier falten

Man falte einen Bogen Papier der Dicke $d$ in der Mitte und lege die beiden Hälften aufeinander. Danach setze man dieses Prozedere mit dem gefalteten Papier fort.

a) Wie hoch ist der Turm nach $1, 2, 3, 4, 5$ Faltungen?

b) Finde den Zusammenhang zwischen der Turmhöhe $h_k$ und der Anzahl Faltungen $k \in \mathbb{N}$ .

Solution

Sei $d$ die Dicke des Papiers. Zählt man $k=1$ als erste Faltung, so gilt für die Turmhöhe nach $k$ Faltungen

h(k) = d \cdot 2^k.

Also $h(1) = 2d$ , $h(2) = 4d$ , $h(3) = 8d$ , $h(4) = 16d$ , $h(5) = 32d$ .

Note 2

Man ahnt aus obiger Übung den Zusammenhang zwischen dieser Art von Folge und der Exponentialfunktion. Der Unterschied zu einer Exponentialfunktion besteht bloss darin, dass man hier nur an diskreten Werten ( $\mathbb{D} = \mathbb{N}$ ) bzw. ihren Funktionswerten interessiert ist.

Formal notieren wir:

Definition 1: Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge ist eine Funktion

f: \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{R}

mit $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{N}$ . Wir schreiben für das $k$ -te Glied kurz $a_k := f(k)$ und für die Zahlenfolge $\langle a_k \rangle_{k \in \mathbb{N}}$ .

Note 3

Häufig wird die Bemerkung $k \in \mathbb{D}\subset \mathbb{N}$ weggelassen, weil sie aus dem Kontext hervorgeht.

Definition 2: Glieder

Die reellen Zahlen

a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad \dots \quad a_{k-1} \quad a_k \quad a_{k+1} \quad \dots

einer Zahlenfolge heissen Glieder der Folge. $a_k$ heisst $k$ -tes Glied der Folge.

Note 4

Noch einmal: Der Index $k$ kann als Position in der jeweiligen Folge aufgefasst werden, $a_k$ hingegen ist der Wert, der an Position $k$ steht.

Example 2

Zur Illustration einige Beispiele:

$a_k = 2k$ ist die Folge der geraden Zahlen:

2 \quad 4 \quad 6 \quad 8 \quad \dots,

denn es ist $a_1 = 2$ , $a_2 = 4$ , $a_3 = 6$ , etc.

$a_k = 2k - 1$ :

1 \quad 3 \quad 5 \quad 7 \quad \dots

$a_k = k^2$ :

1 \quad 4 \quad 9 \quad 16 \quad \dots

Exercise 3: a_k und a_{101}

Berechne die ersten vier, das hundertste und das $101$ -ste Glied der Folge:

a) $a_k = 3k - 5$

b) $b_k = \frac{k}{k+1}$

c) $c_k = \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k$

d) $d_k = 2^{k-1}$

Solution

a) $-2, 1, 4, 7$ ; $295$ ; $298$

b) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}$ ; $\frac{100}{101}$ ; $\frac{101}{102}$

c) $2, \frac{9}{4}, \frac{64}{27}, \frac{625}{256}$ ; $(\tfrac{101}{100})^{100} \approx 2.7048$ ; $(\tfrac{102}{101})^{101} \approx 2.7049$

d) $1,2,4,8$ ; $2^{99}$ ; $2^{100}$

Exercise 4: Explizite Definition

Ermittle das $k$ -te Glied der Folge explizit:

a) $1, 3, 5, 7, 9, \dots$

b) $0, 2, 4, 6, 8, 10, \dots$

c) $-1, 1, -1, 1, -1, \dots$

d) $3, 8, 13, 18, 23, \dots$

e) $1, 3, 7, 15, 31, \dots$

f) $1, -4, 9, -16, 25, \dots$

g) $0, 2, 6, 12, 20, 30, \dots$

Solution

a) $a_k = 2k-1$

b) $b_k = 2(k-1)$

c) $c_k = (-1)^k$

d) $d_k = 5k - 2$

e) $e_k = 2^k - 1$

f) $f_k = (-1)^{k+1} \cdot k^2$

g) $g_k = k(k-1)$

Exercise 5: 🧩

Das Bild You know my name (Look up the number) ist vom Thuner Künstler Eugen Jost.

Suche Gesetzmässigkeiten in den Zahlenfolgen und beschreibe gefundene mathematisch. Welchen Wert hat die hundertste Zahl der jeweiligen Folge? Welchen Wert hat die $k$ -te Zahl der Folge?

Solution

a) Folge der natürlichen Zahlen, $a_k = k$

b) Folge der Kubikzahlen, $a_k = k^3$

c) Fibonacci-Folge: $a_k = a_{k-1} + a_{k-2}$ mit $a_1 = 1$ und $a_2 = 1$ . Diese Folge tritt häufig in der Natur auf, zum Beispiel bei der Sonnenblume (ital. Girasole).

d) Folge der Dreieckszahlen, $a_k = a_{k-1} + k$ mit $a_1 = 1$ .

e) Wortspiel: Um die nächste Zahl zu bestimmen, sagt man die Ziffern der vorhergehenden Zahl auf. Beispiel: Aus $a_3 = 21$ wird "eine 2 und eine 1" $\to$ $1211$ .

f) Vollkommene Zahlen: Eine Zahl heisst vollkommen, wenn die Summe ihrer echten positiven Teiler die Zahl selbst ergibt. Beispiel: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$ .

Note 5

Bei vielen Zahlenfolgen ist es schwierig, das Bildungsgesetz zu finden, mit dem man das $k$ -te Glied direkt berechnen kann. Oft kann man aber eine Regel erkennen, die $a_k$ aus $a_{k-1}$ berechnet (rekursive Definition).

Explizite und rekursive Definition

Explizite und rekursive Definitionen von Folgen sind zwei Möglichkeiten, Folgen zu beschreiben.

Note 6

Bei der expliziten Definition einer Folge erhält man ein beliebiges Glied direkt aus der Funktionsvorschrift, indem man $k$ einsetzt. Beispielsweise ist $a_k = 2k$ eine explizite Definition der Folge

2 \quad 4 \quad 6 \quad 8 \quad 10 \quad \dots

der geraden Zahlen.

Example 3

Eine explizite Definition von $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ ist

a_k = 2^k - 1.

Note 7

Bei der rekursiven Definition einer Folge ergibt sich das $k$ -te Glied aus vorhergehenden Gliedern mit Hilfe einer sogenannten Rekursionsvorschrift. Bei dieser Definition müssen selbstverständlich so viele Glieder explizit vorgegeben werden, wie die Rekursionsvorschrift "zum Starten" benötigt.

Example 4

Eine Rekursionsformel für $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ ist

a_k = 2 \cdot a_{k-1} + 1, \quad a_1 = 1.

Example 5: Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge

1 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 5 \quad 8 \quad 13 \quad 21 \quad \dots

kann rekursiv definiert werden durch

a_k = a_{k-1} + a_{k-2}, \quad a_1 = 1, \ a_2 = 1.

Die Fibonacci-Folge ist äusserst berühmt. Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr $1202$ das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war jedoch schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt. Heute findet man sie oft in Kunst, Musik und Naturdarstellungen.

Note 8

Für einige Zahlenfolgen können sowohl rekursive als auch explizite Definitionen gefunden werden. Zum Beispiel ist

a_k = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k

eine explizite Definition der Fibonacci-Folge. Diese Formel wird auch Binet-Formel genannt.

Exercise 6: 🧩

Berechne das fünfte Glied der Fibonacci-Folge mit der Binet-Formel.

Solution

Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks erhält man ohne Taschenrechner:

\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^5 - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^5\right) = 5.

Exercise 7: Explizit oder rekursiv

Finde ein Bildungsgesetz für die Folge, falls möglich explizit, sonst rekursiv.

a) $1, 8, 27, 64, 125, \dots$

b) $1, 2, 6, 24, 120, \dots$

c) $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots$

d) $0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, \dots$

Solution

a) $a_k = k^3$

b) $b_k = k!$

c) Folge der Primzahlen, kein Muster bekannt

d) $d_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}k\right)$

Exercise 8: Rekursive Definition

Gib eine mögliche rekursive Definition für die Folge:

a) $-7, -3, 1, 5, 9, \dots$

b) $10, 12, 15, 19, 24, 30, \dots$

c) $c_k = k \cdot 2^k$

d) Innenwinkelsumme eines $k$ -Ecks $w_k$

Solution

a) $a_k = a_{k-1} + 4$ , $a_1 = -7$

b) $b_k = b_{k-1} + k$ , $b_1 = 10$

c) $c_k = \frac{2k}{k-1} \cdot c_{k-1}$ , $c_1 = 2$

d) $w_k = 180^\circ \cdot (k - 2)$ , $k > 2$