Partialsumme

Häufig ist an einer Zahlenfolge interessant, wie gross nun die Summe ihrer Glieder ist. Hat man also eine Zahlenfolge

a_1\quad a_2 \quad\, a_3\quad \dots

so lautet die zugehörige Summe bis zum $n$ -ten Glied

a_1+a_2+a_3+\dots+a_n.

Deshalb definiert man:

Definition 1: Partialsumme

Die $k$ -te Partialsumme einer Zahlenfolge ist die Summe

a_1+a_2+\ldots+a_{k-1}+a_k =: s_k

Exercise 1: Gauss-"Trick"

Berechne die erste, dritte, 100., $n$ -te Partialsumme der Folge

1\quad3\quad5\quad7\quad\dots

Tipp: Verwende Kombinatorik oder den Trick von C.F.~Gauss.

Solution

$s_1=1$ und $s_3=9$ . Für $1+3+\dots+199$ addiert man paarweise Summanden so, dass deren Paketgrösse gleich ist: $(1+199), (3+197), (5+195),\dots$ . Von diesen Paketen hat man $50$ Stück. Also ist $1+3+\dots+199=200\cdot50=10'000$ . Analog findet man $s_n=(1+(2n-1))\cdot\frac{n}{2}=(2n)\cdot\frac{n}{2}=n^2$ .

Note 1

Man kann aus einer Zahlenfolge eine neue zusammenstellen, welche einfach aus den verschiedenen Teilsummen der ursprünglichen Zahlenfolge besteht. Wenn man beispielsweise die Zahlenfolge

1\quad2\quad3\quad4\quad5\dots

anschaut, dann ist ihre erste Teilsumme $s_1=1$ , ihre zweite $s_2=3$ , die dritte $s_3=6$ , die vierte $s_4=10$ , etc. Die Folge der Partialsummen sieht also so aus:

1\quad3\quad6\quad10\quad15\quad21\dots

Exercise 2: Leibniz

Stelle die Summe

s_k=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\dots+\frac{1}{k\cdot(k+1)}

mit einem einzigen Term dar. Berechne dazu erst einmal die Summe der ersten paar Glieder, also $s_1, s_2, s_3,\dots$ , explizite, und versuche dann eine Formel für obigen Ausdruck zu erraten, die den Wert von $s_k$ angibt. Versuche abzuschätzen, gegen welchen Wert diese Summe strebt, wenn $k$ sehr gross wird, i.e. $k\to\infty$ .

Solution

$s_1=\frac{1}{2}$ , $s_2=\frac{2}{3}$ , $s_3=\frac{3}{4}$ , vermutlich $s_k=\frac{k}{k+1}$ . Für $k\to\infty$ ist $\frac{k}{k+1}\to\frac{k}{k}=1$

Exercise 3: Unendlich oft halbieren

Wie vorhergehende Übung, aber mit dem Ausdruck

s_k=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+a_k

Finde zuerst eine Darstellung für $a_k$ . Gegen welchen Wert strebt die Summe für $k\to\infty$

Solution

$a_k=\frac{1}{2^{k-1}}$ . $s_1=1$ , $s_2=\frac{3}{2}$ , $s_3=\frac{7}{4}$ , $s_4=\frac{15}{8}$ und vermutlich $s_k=\frac{2^k-1}{2^{k-1}}$ . Für $k\to\infty$ ist $\frac{2^k-1}{2^{k-1}}\to\frac{2^k}{2^{k-1}}=2$

Note 2

Man notiert eine Summe kurz auch wie folgt:

a_1+a_2+a_3+\dots+a_n =: \sum_{k=1}^{n}a_k.

Dabei schreibt man also ein grosses $\Sigma$ (Sigma), um anzudeuten, dass es sich um eine Summe handelt. Unterhalb dieses Sigmas wird notiert, bei welchem natürlichen Wert die laufende Variable (hier $k$ ) startet. Dieses $k$ wird solange um $1$ erhöht, bis es die obere Grenze $n$ erreicht hat. Zwischen den Erhöhungen wird immer ein $+$ -Zeichen gesetzt.

Example 1

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k &=1+2+3+4+\dots +n\\ \sum_{k=1}^{n}k^2 &=1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+n^2\\ \sum_{k=100}^{999}k &=100+101+102+\dots+999 \end{align*}