Vektoren

Fragen

1. Unterschied $(1|3|5)$ und $\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 1\\3\\5 \end{array}\right)$?

2. Operationen mit Vektoren?

   1. Multiplication eines Vektors mit Skalar
   2. Addition und Subtraktion zweier Vektoren
   3. Betrag eines Vektors

3. Vektor von Punkt $A(0|2|1)$ nach $B(0|7|3)$? Notation?

   Nützlich: $A$ und $\overrightarrow{OA}$ (Ortsvektor) haben dieselben Zahlen, und die Spitze vom Pfeil zeigt gerade auf den Punkt $A$, daher $\overrightarrow{OA}$ kann als "Vektorversion" des Punktes $A$ betrachtet werden: "$\overrightarrow{OA}=A$"

4. Gegeben ist $A(0|2|1)$ und Vektor

   $$\vec{u}=\left(\begin{array}{r} 0\\4\\6 \end{array}\right)$$

   1. Du startest bei $A$ und folgst dem Vektor $\vec{v}$. Du gelangst an einen Punkt $P_1$. Was sind die Koordinaten von $P_1$? Mache eine Skizze.

      Daher es ist $P_1=A+\vec{v}$ oder formaler, wenn wir die Punkte durch Ortsvektoren ersetzen, $\overrightarrow{OP}_1=\overrightarrow{OA}+\vec{v}$.

   2. Du startest wieder bei $A$ und folgst dem Vektor $2\vec{v}$. Du landest bei Punkt $P_2$. Koordinaten? Skizze?

   3. Wiederhole das Ganze mit Vektoren $0.5\vec{v}$ und $3\vec{v}$ und bestimme die Koordinaten von $P_{0.5}$ und $P_3$. Daher $P_2=A+\vec{2v}$, $P_{0.5}=A+0.5\vec{v}$, $P_3=A+3\vec{v}$

   4. Was für ein geometrischen Objekt erhalten wir, wenn wir alle Punkte $P_c=A+c\vec{v}$ zeichnen?

   5. Wie können wir alle Punkte $P(x|y|z)$ auf der Gerade durch $A$ und mit Richtungsvector $\vec{v}$ als Formel darstellen? Dies ist die Geradengleichung.

Exercise 1

1. Zeichne zwei Vektoren (Pfeile) $\vec{a}$ und $\vec{b}$ und konstruiere die Vectoren (Pfeile) $\vec{a}+2\vec{b}$ und $\vec{a}-0.5\vec{b}$.

2. Bestimme den Vektor von $A(3|1|-2)$ nach $B(4|-2|-3)$. Finde auch den Punkt in der Mitte zwischen $A$ und $B$.

3. Bestimme $|\vec{a}+2\vec{b}|$, wobei

   $$\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 4\\-1\\5 \end{array}\right)$$

   und

   $$\vec{b}=\left(\begin{array}{r} 3\\-1\\2 \end{array}\right)$$

4. Berechne den Umfang des Dreiecks $ABC$, wobei gilt $A(6|3|8), B(10|11|0), D(12|3|16)$

5. Gegeben sind die Punkte $A(0|1|2), B(4|2|3), C(5|3|1)$. Finde einen Punkt $D$ so, dass die Punkte $ABCD$ ein Parallelogramm bilden.

Solution