Geraden

In Lektion 1 haben wir das folgende gesehen. Hängen wir viele gestreckte Versionen eines gegeben Vektors $\vec{v}$ an einen gegeben Punkt $A$ an, so bekommen wir viele neue Punkte $P$ , die alle auf einer Gerade liegen:

Dies führt direkt zur Geradegleichung:

Theorem 1: Geradengleichung

Gegeben ist eine Gerade $g$ , die durch den Punkt $A$ geht und Richtungsvektor $\vec{v}$ besitzt. Ein Punkt $P(x|y|z)$ liegt genau dann auf der Geraden $g$ , falls es eine Zahl (Streckungsfaktor, Skalar) $c$ so gibt, dass

P=A+c\vec{v}\text{ oder formaler, dass } \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+c\vec{v}

In Koordinatenform:

\left(\begin{array}{r} x\\y\\z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} A_x\\A_y\\A_z \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{r} v_x\\v_y\\v_z \end{array}\right)

Exercise 1

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A(2|-1|3)$ und $B(3|1|-1)$ .
1. Bestimme die Geradengleichung von $g$ .
2. Finde einen weiteren Punkt auf $g$ .
3. Ist der Punkt $P(5|-7|-9)$ auf $g$ ?
4. Bestimme die Geradengleichung der Geraden $h$ , die durch den Koordinatennullpunkt geht und parallel to $g$ ist.
$g$ geht durch den Punkt $B(-1|2|3)$ und ist parallel zur $x$ -Achse. Ist Punkt $P(-4|2|3)$ auf $g$ .
$h$ geht durch den Punkt $A(1|2|-5)$ und $B(2|-1|1)$ . Ist $P(1.5|0.5|-1)$ auf $g$ .

Solution