Zahlensysteme

Exercise 1: Zahlensysteme

In welchem Zahlensystem rechnen wir? Welche Ziffern brauchen wir dafür?

Solution

Wir rechnen im Dezimalsystem, dem $10$ er-System. Wie der Name sagt, brauchen wir in diesem Positionssystem $10$ Ziffern: $0, 1, 2, \dots, 8, 9$ .

Eine kurze Geschichte der Zahlen

Es ist nicht genau bekannt, seit wann die Menschen Zahlen benutzen. Die ersten Darstellungen von Zahlen waren wahrscheinlich Striche. Man spricht hier von einem unären Zahlensystem, weil alle Zahlen mit nur einem Zeichen (Strich) dargestellt werden.

Exercise 2: 5er-Paket

Weshalb fasst man just fünf Striche zu einem Bündel zusammen?

Solution

Vermutlich kommt dies vom Zählen mit den Fingern.

Zahlen in Babylonien (ca. 2000 v. Chr.)

Die Babylonier verwendeten als eines der ersten Völker ein sogenanntes Positionssystem in Keilschrift. Der Wert eines Zeichens hängt auch von dessen Position ab. Während wir heute in unserem Dezimalsystem (Basis $10$ ) die Ziffern $0, 1, 2, \dots, 9$ verwenden, nutzten die Babylonier ein Sechzigersystem. Für die Darstellung der Zahlen von $1$ bis $59$ kombinierten sie lediglich zwei Symbole: eines für die Einer und eines für die Zehner. Ein eigenes Zeichen für die Null gab es anfangs nicht, was zu Zweideutigkeiten führte: So sahen die Darstellungen für $1$ und $60$ ( $1$ bzw. $60^1$ ) identisch aus und mussten aus dem Kontext erschlossen werden. Später wurde für innere Leerstellen ein Platzhalter eingeführt, aber nicht am Ende einer Zahl.

Exercise 3: Babylonier

Welches Zahlensystem verwendeten die Babylonier? Wie alt ist dieses System etwa?

Solution

Die Babylonier verwendeten seit ca. 2000 v. Chr. das $60$ er-System, auch Sexagesimalsystem genannt. Überbleibsel davon stecken beispielsweise in der Zeit- (Minuten, Sekunden) oder Winkelmessung (Grad, Minuten, Sekunden).

Zahlen in Indien und Arabien

Die Ziffern, wie wir sie heute verwenden, haben ihren Ursprung in Indien und Arabien. Sie wurden unter anderem durch Kaufleute wie Fibonacci im 13. Jahrhundert nach Europa gebracht, konnten sich aber erst später gegen die römischen Zahlen durchsetzen.

Note 1

Eine grossartige Leistung des menschlichen Geistes stellt die Erfindung der Zahl Null dar. Für die Menschen war es lange Zeit unvorstellbar, ein Zeichen für "Nichts" zu gebrauchen. Bei Positionssystemen ist ein Zeichen für Null als Platzhalter aber unentbehrlich.

Römische Zahlen

Römische Zahlen sind ein antikes Zahlensystem, das die Römer verwendeten. Es basiert auf sieben Grundziffern, die aus dem lateinischen Alphabet stammen. Jede Grundziffer hat einen festen Wert.

Römisches Zeichen	Wert
$\texttt{I}$	1
$\texttt{V}$	5
$\texttt{X}$	10
$\texttt{L}$	50
$\texttt{C}$	100
$\texttt{D}$	500
$\texttt{M}$	1000

Um Zahlen darzustellen, werden die Zeichen kombiniert:

Additionsregel: Steht ein kleineres Zeichen rechts von einem grösseren, wird sein Wert addiert.

\texttt{VI} = 5 + 1 = 6

\texttt{LXX} = 50 + 10 + 10 = 70

Subtraktionsregel: Steht ein kleineres Zeichen ( $\texttt{I}$ , $\texttt{X}$ , $\texttt{C}$ ) links von einem grösseren, wird sein Wert abgezogen.

\texttt{IV} = 5 - 1 = 4

\texttt{XC} = 100 - 10 = 90

Exercise 4: Römer

Lerne die römischen Zahlen von $1$ bis $2000$ zu schreiben.

Solution

Von $\texttt{I}$ bis $\texttt{M}$ kann man diese Ziffern kombinieren. Beachte, dass nie mehr als drei gleichartige Ziffern nebeneinander stehen. Steht aber eine minderwertige Ziffer links einer höherwertigen, so wird ihr Wert abgezogen.

Exercise 5: Jahreszahlen

Schreibe das aktuelle Jahr mit römischen Zahlzeichen sowie die Zahl $1848$ .

Solution

Selbstkontrolle und $\texttt{MDCCCXLVIII}$

Positionssystem

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im Wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen).

Ein Positionssystem hat eine Basis $b \in \N \setminus \{1\}$ . Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die $k$ -te Position ( $k$ von rechts beginnend bei $0$ ) hat man einen Wert von $b^k$ . Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffern $z_i$ mit den zugehörigen Stellenwerten $b^i$ und Summation dieser Produkte:

z = z_n \cdot b^n + z_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + z_1 \cdot b^1 + z_0 \cdot b^0

Example 1

Unter der Zahl $1257$ im üblichen Dezimalsystem (d. h. die Basis ist $10$ ) verstehen wir den Wert

1257 = 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf $0$ kann man nur ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise einen Punkt:

121.47 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2}

Example 2: Binärsystem

Wir rechnen im Binärsystem, das die Basis $2$ hat. Die Binärzahl $10_{(2)}$ hat im Dezimalsystem den Wert $1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 2 + 0 = 2$ . Es gibt nur die Ziffern $0$ und $1$ – danach muss zur nächsthöheren Potenz gesprungen werden.

Note 2

Falls aus dem Kontext nicht hervorgeht, in welchem Zahlensystem eine Zahl interpretiert werden soll, schreiben wir dies als Index (angehängt und tiefgestellt) zur Zahl.

Example 3

Beispielsweise $10$ dezimal als $10_{(10)}$ oder $10$ binär – was dezimal der $2$ entspricht – als $10_{(2)}$ .

Das Binärsystem

Exercise 6: Binärzahlen

Computer stellen Zahlen nur mit den Ziffern $0$ und $1$ dar, und zwar als magnetische Polung oder elektrisches Signal (Nord oder Süd bzw. Plus oder Minus). Zahlen im Zweiersystem nennen wir Binärzahlen. Die binäre Zahl $1011$ entspricht der Dezimalzahl

1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Stelle die Dezimalzahlen von $1$ bis $20$ im Binärsystem dar.

Solution

BIN	DEC	BIN	DEC
0001	1	1011	11
0010	2	1100	12
0011	3	1101	13
0100	4	1110	14
0101	5	1111	15
0110	6	10000	16
0111	7	10001	17
1000	8	10010	18
1001	9	10011	19
1010	10	10100	20

Exercise 7: Ziffern

Zwei wichtige Zahlensysteme sind das Binärsystem (Basis $2$ ) und das Hexadezimalsystem (Basis $16$ ). Welche Ziffern werden in diesen Systemen üblicherweise verwendet?

Solution

Im Binärsystem werden die beiden Ziffern üblicherweise mit $0$ und $1$ notiert; im Hexadezimalsystem behilft man sich nach $0, \dots, 9$ mit den Grossbuchstaben $\texttt{A}$ , $\texttt{B}$ , $\texttt{C}$ , $\texttt{D}$ , $\texttt{E}$ , $\texttt{F}$ .

Exercise 8: Bin zu Dec

Schreibe folgende Binärzahlen im Dezimalsystem:

a) $10$

b) $1000$

c) $1111$

d) $1001001$

Solution

a) $2$

b) $8$

c) $15$

d) $73$

Exercise 9: Dec zu Bin

Notiere folgende Dezimalzahlen im Binärsystem:

a) $2$

b) $31$

c) $17$

d) $10$

Solution

Man prüft, welche grösste Zweierpotenz in der gegebenen Dezimalzahl Platz hat, und arbeitet sich mit gleichbleibender Strategie durch die Überbleibsel.

a) $10$

b) $11111$

c) $10001$

d) $1010$

Note 3: Alternative: Die Restwertmethode

Eine systematischere Methode zur Umrechnung von Dezimal- in Binärzahlen ist die Restwertmethode. Dabei wird die Dezimalzahl wiederholt durch $2$ geteilt und der jeweilige Rest ( $0$ oder $1$ ) notiert. Dies wird so lange fortgesetzt, bis das Ergebnis der Division $0$ ist. Die Binärzahl ergibt sich dann aus den notierten Resten, von unten nach oben gelesen.

Example 4

Umrechnung von $13$ :

\begin{align} 13 : 2 &= 6 \tag{Rest 1} \\ 6 : 2 &= 3 \tag{Rest 0} \\ 3 : 2 &= 1 \tag{Rest 1} \\ 1 : 2 &= 0 \tag{Rest 1} \end{align}

Liest man die Reste von unten nach oben, erhält man $1101$ . Also ist $13 = 1101_{(2)}$ .

Exercise 10: 🧩

Zeige, dass der oben beschriebene Divisionsalgorithmus funktioniert.

Solution

Betrachte eine Zahl $z \in \N$ in ihrer Darstellung zur Basis $b$ . Es gilt $0 \leq c_i < b$ .

z = c_n \cdot b^n + c_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + c_1 \cdot b + c_0

Bei Division durch $b$ erhalten wir als Rest $c_0$ , da alle anderen Summanden Vielfache von $b$ sind. Wir fahren mit dem ganzzahligen Quotienten fort:

z_1 = c_n \cdot b^{n-1} + c_{n-1} \cdot b^{n-2} + \dots + c_1

Erneute Division durch $b$ liefert $c_1$ . So fährt man fort, um nacheinander alle $c_i$ zu erhalten. Schliesslich notieren wir:

z = (c_n c_{n-1} \dots c_1 c_0)_{(b)}

Exercise 11: Dec zu Bin II

Finde für die Dezimalzahlen $34$ und $37$ die Binärschreibweise.

Solution

$100010$ und $100101$ .

Exercise 12: 🧩

Stelle die Zahl $\pi$ binär mit sechs Nachkommastellen dar.

Solution

Es gilt $3 = 11_{(2)}$ . Weiter haben $2^{-3}$ und $2^{-6}$ in den Nachkommastellen Platz:

11.001001\dots

Hexadezimalsystem

In der Informatik verwendet man manchmal statt des Binärsystems das $16$ er-System (Hexadezimalsystem). Dadurch können Werte übersichtlicher geschrieben werden und die Umrechnung ist wegen $16 = 2^4$ sehr einfach. Man braucht nun $16$ Ziffern:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \texttt{A}, \texttt{B}, \texttt{C}, \texttt{D}, \texttt{E}, \texttt{F}.

Exercise 13: Hex zu Dec und Bin

Welche Werte haben $1\texttt{A}_{(16)}$ und $\texttt{ABC}_{(16)}$ dezimal bzw. binär?

Solution

Es ist $1\texttt{A}_{(16)} = 26$ , binär ist das $11010_{(2)}$ . $\texttt{ABC}_{(16)} = 2748$ . Für die Binärdarstellung schreibe ich direkt 4er-Pakete um: $\texttt{ABC}_{(16)} = 101010111100_{(2)}$ .

Exercise 14: Dec zu Hex

Notiere die Dezimalzahl $100$ im Hexadezimalsystem.

Solution

Die Umrechnung ergibt sich aus $100 = 6 \cdot 16 + 4 = 64_{(16)}$ .

Exercise 15: Hex zu Dec II

Welchen Wert haben folgende Hexadezimalzahlen im Dezimalsystem?

a) $10_{(16)}$

b) $\texttt{A}_{(16)}$

c) $1\texttt{A}_{(16)}$

d) $\texttt{DEF}_{(16)}$

Solution

a) $16$

b) $10$

c) $26$

d) $3567$

Exercise 16: Dec zu Hex II

Schreibe folgende Dezimalzahlen im Hexadezimalsystem:

a) $10$

b) $100$

c) $16$

d) $257$

Solution

a) Die $10$ entspricht dem Hexadezimalsymbol $\texttt{A}$ , also $\texttt{A}_{(16)}$ .

b) $64_{(16)}$

c) $10_{(16)}$

d) $101_{(16)}$

Exercise 17: Der direkte Draht

Da $16 = 2^4$ ist, entspricht jede Hexadezimalziffer genau einem 4er-Block von Binärziffern. Wandle folgende Zahlen direkt um:

a) $11100101_{(2)}$ in eine Hexadezimalzahl.

b) $\texttt{A7F}_{(16)}$ in eine Binärzahl.

Solution

a) $11100101_{(2)} \rightarrow \texttt{E5}_{(16)}$

b) $\texttt{A7F}_{(16)} \rightarrow 101001111111_{(2)}$

Exercise 18: Binäre Addition

Addiere die folgenden Binärzahlen schriftlich, wie du es vom Dezimalsystem gewohnt bist. Beachte die Überträge (z. B. $1_{(2)} + 1_{(2)} = 10_{(2)}$ ).

a) $101_{(2)} + 10_{(2)}$

b) $1110_{(2)} + 1011_{(2)}$

Solution

a) $111_{(2)}$ (Dezimal: $5 + 2 = 7$ )

b) $11001_{(2)}$ (Dezimal: $14 + 11 = 25$ )

Exercise 19: Die Macht der Null

Erkläre in eigenen Worten, warum die Erfindung der Null für Stellenwertsysteme so entscheidend war. Welches konkrete Problem hatten die Babylonier ohne sie?

Solution

Die Null dient als Platzhalter. Ohne sie kann man in einem Positionssystem nicht zwischen Werten wie $2, 20$ und $200$ unterscheiden. Die Babylonier konnten z. B. $61$ ( $1, 1_{(60)}$ ) nicht eindeutig von $3601$ ( $1, 0, 1_{(60)}$ ) unterscheiden, was zu Missverständnissen führen konnte.

Exercise 20: Farben im Web

Farben am Computer werden oft als Hexadezimal-Code im RGB-Format (Rot, Grün, Blau) angegeben. Der Code #FF8800 steht für eine Farbe. Die ersten beiden Stellen (FF) geben den Rotwert an, die nächsten beiden (88) den Grünwert und die letzten beiden (00) den Blauwert. Rechne die drei Farbwerte ins Dezimalsystem um (Wertebereich $0$ – $255$ ).

Solution

Rot: $\texttt{FF}_{(16)} = 15 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 240 + 15 = 255$

Grün: $88_{(16)} = 8 \cdot 16^1 + 8 \cdot 16^0 = 128 + 8 = 136$

Blau: $00_{(16)} = 0$

Das Sexagesimalsystem

Das babylonische Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis $60$ , mit dem beliebig grosse, aber auch beliebig kleine Zahlen systematisch dargestellt werden können. Die Babylonier benutzten eine Keilschrift. Da pro "Stelle" $60$ Ziffern verwendet werden können, nennt man dieses Zahlensystem auch Sexagesimalsystem.

Interessant ist auch, dass die Babylonier ihr Stellenwertsystem für Nachkommazahlen nutzten. Dabei kam ihnen die vielfältige Teilbarkeit der Zahl $60$ zugute – dies war vermutlich auch der Grund, weshalb das Sexagesimalsystem überhaupt eingeführt wurde. Ein Zeichen für den "Punkt" war nicht vorhanden, sodass die Zuordnung der Stellen zu den 60er-Potenzen nicht eindeutig war. Welche Position z. B. die $60^0$ -Stelle hat, musste aus dem Kontext erraten werden.

Eine genaue Untersuchung des Objekts fördert folgendes Schriftbild zutage. Wir erhalten so für die erste Zeile:

1 \cdot 60^0 + 24 \cdot 60^{-1} + 51 \cdot 60^{-2} + 10 \cdot 60^{-3}

Exercise 21: 🧩

Welche Zahl wird hier beschrieben?

Solution

Es ist $1 \cdot 60^0 + 24 \cdot 60^{-1} + 51 \cdot 60^{-2} + 10 \cdot 60^{-3} = 1.41421296\dots$ , was nahe bei $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ liegt.

Alte Einheiten

Früher waren noch Einheiten wie das Dutzend und, wie eben bei den Babyloniern gesehen, 60er-Einheiten gebräuchlich. Folgende Tabelle, in der die Anzahl Teiler der ersten $100$ Dezimalzahlen aufgelistet ist, kann einen Hinweis liefern, wieso gerade $12$ und $60$ als Basen so beliebt waren.