Komplexe Zahlen

Zur Geschichte der Komplexen Zahlen

Um 1530 stiess eine Gruppe italienischer Mathematiker beim Lösen von Gleichungen auf unbekannte Zahlen, die nicht zum Zählen oder Messen von Dingen verwendet werden konnten. Diese Zahlen schienen zunächst nutz- und sinnlos.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) beispielsweise nannte sie "ein Amphibium zwischen Sein und Nicht-sein", für Leonhard Euler (1707–1783) war sie eine "unmögliche Zahl", und noch Carl Friedrich Gauss (1777–1855) bezeichnete sie im 19. Jahrhundert als "Schatten von Schatten".

Da $\mathrm{i}$ also eine "unmögliche Zahl" war – das heisst, keine reelle Zahl –, nannte René Descartes sie imaginär (lat. imaginarius: eingebildet). Nach langem Widerstand wurden im 19. Jahrhundert die imaginären Zahlen akzeptiert und bald darauf entdeckte man ihre Nützlichkeit.

Heute sind imaginäre Zahlen aus der Mathematik und Technik nicht mehr wegzudenken. Ohne imaginäre Zahlen gäbe es Radio/Fernsehen in der heutigen Form nicht. Auch die digitale Fotografie oder das Internet wären nicht realisierbar. Ferner lieferten die imaginären Zahlen enorme Fortschritte in der Insulinforschung, Virenforschung oder DNA-Analyse. Alle Wissenschaften, die auf komplexe, umfangreiche Simulationen und Messungen angewiesen sind – z. B. Medizin, Meteorologie, Geologie, Klimatologie – brauchen zwingend imaginäre Zahlen.

Abgeschlossenheit

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Abgeschlossenheit

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Um die Notwendigkeit der imaginären Zahlen besser zu erkennen, scheint es sinnvoll, noch einmal auf die Entstehung unserer bereits bekannten Zahlenmengen zurückzublicken. In den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ kann problemlos addiert werden, denn das Ergebnis liegt wieder in $\mathbb{N}$ :

a,b \in \mathbb{N} \implies a+b \in \mathbb{N}.

Man sagt, dass die natürlichen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition sind. Ferner sind sie auch abgeschlossen bezüglich der Multiplikation. Will man Abgeschlossenheit bezüglich der Subtraktion, so müssen wir unsere Menge mit negativen Zahlen zu den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ erweitern, für eine abgeschlossene Division zu $\mathbb{Q}$ (natürlich gilt die Division mit $0$ nicht). Die positiven reellen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich des Potenzierens, d. h. es gilt:

a \in \mathbb{R}^+, r \in \mathbb{R} \implies a^r \in \mathbb{R}^+.

Fordert man schliesslich die Abgeschlossenheit aller reellen Zahlen $\mathbb{R}$ bezüglich des Potenzierens, so stellt sich die Frage, wie man den bislang sinnlosen Ausdruck $(-1)^{\frac{1}{2}}$ definieren soll. Damit hätte man eine "Zahl", welche die Gleichung

x^2 = -1

lösen würde.

Die komplexen Zahlen stellen eine sinnvolle Erweiterung der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ dar. Genau so wie $\mathbb{R}$ eine Erweiterung der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ darstellt, oder $\mathbb{Q}$ eine Erweiterung der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und diese wiederum eine Erweiterung der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ . Viele Probleme, die in $\mathbb{R}$ keine Lösung besitzen, werden im Bereich der komplexen Zahlen endlich lösbar. Darüber hinaus erlaubt die geometrische Interpretation der komplexen Zahlen eine elegante Beschreibung von geometrischen Abbildungen und führt zu einer Vielzahl neuer Fragestellungen.

Die Erweiterung

Im Zahlbereich der reellen Zahlen kann man uneingeschränkt alle vertrauten Rechenoperationen ausführen. Alle? Nein! So stösst man zum Beispiel beim Wurzelziehen an eine Grenze des Zahlbereichs: Die Gleichung

x^2 = -1

ist unlösbar. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich $-1$ ist. Allgemeiner gilt: Quadratische Gleichungen sind manchmal lösbar und manchmal nicht. Um diesen Mangel zu beheben, soll eine neue Zahl eingeführt werden, das heisst, der Zahlbereich der reellen Zahlen soll erweitert werden.

Sinngemäss wurde seinerzeit der Zahlbereich $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen auf den Bereich $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen erweitert. Ausgangspunkt war damals die Frage nach der Lösung der Gleichung

x^2 = 2.

Diese Gleichung besitzt keine Lösung in $\mathbb{Q}$ , den rationalen Zahlen. Es gibt keine Bruchzahl, deren Quadrat gleich $2$ ist. Deshalb wurde eine neue Zahl eingeführt, welche die Gleichung $x^2 = 2$ lösbar macht. Sie wurde mit $\sqrt{2}$ bezeichnet und hat die Eigenschaft, dass sie mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} := 2.

Das Permanenzprinzip

Bei dieser Erweiterung von $\mathbb{Q}$ nach $\mathbb{R}$ wurden drei wesentliche Punkte eingehalten:

Teilmengen: Die alten Zahlen sind ein Teil der neuen Zahlen ( $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ).
Operationen: Alle Rechenoperationen, die mit den alten Zahlen möglich sind, sind auch mit den neuen möglich.
Regeln: Für die neuen Zahlen gelten dieselben Rechenregeln wie für die alten.

Es ist vernünftig, dieses Permanenzprinzip bei der Erweiterung eines Zahlbereichs zu fordern. Denn wir wollen so wichtige Eigenschaften wie die Gültigkeit der bereits formulierten Rechenregeln nicht verlieren.

Die imaginäre Einheit i

In $\mathbb{R}$ ist die Gleichung $x^2 = -1$ nicht lösbar. Wir wollen den Bereich der reellen Zahlen nun so erweitern, dass die Gleichung $x^2 = -1$ lösbar ist. Dazu führen wir eine neue "Zahl" ein, die wir imaginäre Einheit nennen und mit dem Symbol $\mathrm{i}$ bezeichnen. Sie soll die Eigenschaft haben:

\mathrm{i} \cdot \mathrm{i} := -1.

Definition 1: Imaginäre Einheit

Die Zahl $\mathrm{i}$ mit

\mathrm{i}^2 = -1

heisst imaginäre Einheit.

i ist nicht Wurzel aus -1

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i ist nicht $\sqrt{-1}$

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In Lehrbüchern findet man manchmal die Schreibweise $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$ . Dies führt allerdings zu Widersprüchen, wenn man die üblichen Rechenregeln für Wurzeln ungeprüft übernimmt.

Example 1

Verwendet man in $\mathbb{C}$ die Wurzelregeln aus $\mathbb{R}$ , erhält man:

-1 = \mathrm{i}^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1.

Da $-1 \neq 1$ , ist die Schreibweise $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$ irreführend und sollte vermieden werden.

Exercise 1

Überlege dir, wo in der obigen Rechnung der Fehler stecken muss. Welche Operation ist demnach in $\mathbb{C}$ nicht erlaubt?

solution

Die Wurzelrechenregel $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ der reellen Zahlen gilt nicht uneingeschränkt für negative Radikanden.

Komplexe Zahlen

Das Wort komplex steht hier für "zusammengesetzt" (lat. complexus: verflochten).

Definition 2: Komplexe Zahl

Seien $a$ und $b$ reelle Zahlen. Eine Zahl der Form

z = a + b\mathrm{i}

heisst komplexe Zahl.

Realteil: $\mathcal{Re}(z) = a$
Imaginärteil: $\mathcal{Im}(z) = b$ (Beachte: Der Imaginärteil ist die reelle Zahl $b$ , nicht $b\mathrm{i}$ ).

Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit $\mathbb{C}$ . Es gilt:

\mathbb{R} \subset \mathbb{C}.