Operationen in C

Addition und Subtraktion

Wir betrachten die Addition von komplexen Zahlen an einem Beispiel.

Example 1

Wir möchten 3+i3+\mathrm{i} und 1−2i1-2\mathrm{i} addieren:

(3+i)+(1−2i).(3+\mathrm{i})+(1-2\mathrm{i}).

Nach dem Permanenzprinzip sollen die Rechenregeln aus R\mathbb{R} weiterhin gültig sein. Wie würde man im Reellen addieren, wenn i\mathrm{i} eine Variable wäre? Man würde die beiden rein reellen Ausdrücke (d. h. die 33 und die 11) zusammenfassen, und ebenso die beiden rein imaginären Ausdrücke (d. h. i\mathrm{i} und −2i-2\mathrm{i}). Das Gleiche tun wir auch hier:

(3+i)+(1−2i)=3+i+1−2i=(3+1)+(i−2i)=4−i.(3+\mathrm{i})+(1-2\mathrm{i})=3+\mathrm{i}+1-2\mathrm{i}=(3+1)+(\mathrm{i}-2\mathrm{i})=4-\mathrm{i}.
Note 1

Bei der Subtraktion funktioniert das Zusammenfassen der rein reellen Ausdrücke und der rein imaginären Ausdrücke analog.

Exercise 1: Subtrahiere mit \mathrm{i}

Berechne (3+i)−(1−2i)(3+\mathrm{i})-(1-2\mathrm{i}).

Solution(3+i)−(1−2i)=3+i−1+2i=2+3i.(3+\mathrm{i}) - (1-2\mathrm{i}) = 3 + \mathrm{i} - 1 + 2\mathrm{i} = 2 + 3\mathrm{i}.
Exercise 2: Rechne mit \mathrm{i}

Berechne:

a) (4+3i)+(2+i)(4+3\mathrm{i})+(2+\mathrm{i})

b) (14+2i)+(15−i)(\frac{1}{4}+2\mathrm{i})+(\frac{1}{5}-\mathrm{i})

c) (5+3i)+(−2+i)−(4i)(\sqrt{5}+3\mathrm{i})+(-2+\mathrm{i})-(4\mathrm{i})

d) (4+3i)−(2+3i)(4+3\mathrm{i})-(2+3\mathrm{i})

e) Re((−2+i)−(−2−3i))\mathcal{Re}((-2+\mathrm{i})-(-2-3\mathrm{i}))

f) Im(7−(4+3i)−(5−4i))\mathcal{Im}(7-(4+3\mathrm{i})-(5-4\mathrm{i}))

Solution

a) 6+4i6+4\mathrm{i}

b) 920+i\frac{9}{20}+\mathrm{i}

c) 5−2\sqrt{5}-2

d) 22

e) Re(4i)=0\mathcal{Re}(4\mathrm{i})=0

f) Im(−2+i)=1\mathcal{Im}(-2+\mathrm{i})=1

Exercise 3: 1 als Summe imaginärer Zahlen?

Lässt sich 11 als Summe von zwei imaginären Zahlen schreiben?

Solution

Nein, denn für alle b,d∈Rb, d \in \mathbb{R} gilt: Re(1)=1\mathcal{Re}(1) = 1, aber Re(ib+id)=0\mathcal{Re}(\mathrm{i}b+\mathrm{i}d) = 0. Da 1≠01 \neq 0, ist dies unmöglich.

Definition 1: Addition und Subtraktion

Die Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen a+bia+b\mathrm{i} und c+dic+d\mathrm{i} erfolgt komponentenweise, indem man die Realteile und die Imaginärteile separat addiert bzw. subtrahiert:

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.(a+b\mathrm{i}) \pm (c+d\mathrm{i}) = (a \pm c) + (b \pm d)\mathrm{i}.

Geometrisch entspricht dies der Vektoraddition bzw. -subtraktion in der Ebene.

Multiplikation

Wir multiplizieren zwei komplexe Zahlen unter Beachtung von i2=−1\mathrm{i}^2 = -1.

Example 2

Nach dem Permanenzprinzip gilt:

(3+i)⋅(1−2i)=3−6i+i−2i2.(3+\mathrm{i})\cdot(1-2\mathrm{i}) = 3 - 6\mathrm{i} + \mathrm{i} - 2\mathrm{i}^2.

Da i2=−1\mathrm{i}^2 = -1, folgt:

3−5i−2(−1)=3−5i+2=5−5i.3 - 5\mathrm{i} - 2(-1) = 3 - 5\mathrm{i} + 2 = 5 - 5\mathrm{i}.
Exercise 4: Rechne mit \mathrm{i} II

Berechne für v=1+iv=1+\mathrm{i}, w=4iw=4\mathrm{i} und z=2−5iz=2-5\mathrm{i}:

a) v⋅zv \cdot z

b) v(w−z)v(w-z)

c) Re(vwz)\mathcal{Re}(vwz)

d) Im(v+wz)\mathcal{Im}(v+wz)

Solution

a) 7−3i7 - 3\mathrm{i}

b) −11+7i-11 + 7\mathrm{i}

c) 1212

d) 99

Konjugiert komplexe Zahlen

Definition 2: Konjugiert komplex

Ist z=a+biz = a + b\mathrm{i}, so heisst zˉ=a−bi\bar{z} = a - b\mathrm{i} die zu zz konjugiert komplexe Zahl.

Division

Example 3
3+i1−2i=(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=1+7i5=15+75i.\frac{3+\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}} = \frac{(3+\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})}{(1-2\mathrm{i})(1+2\mathrm{i})} = \frac{1+7\mathrm{i}}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}\mathrm{i}.
Exercise 5: Dividiere

Berechne: a) 3+2i7−i\frac{3+2\mathrm{i}}{7-\mathrm{i}} b) 1i\frac{1}{\mathrm{i}}

Solution

a) 1950+1750i\frac{19}{50} + \frac{17}{50}\mathrm{i}

b) −i-\mathrm{i}