Rechenoperationen mit Zahlen

Theorem 1
Regel: Hierarchie der Operatoren
  1. Multiplikation und Division binden stärker als Addition und Subtraktion.
  2. Multiplikation und Division sind gleichwertig, und werden von links nach rechts ausgewertet.
  3. Addition und Subtraktion sind gleichwertig und werden von links nach rechts ausgewertet.
  4. Klammern müssen gesondert berechnet werden.

Aufgabe 1

Berechne ohne TA

  1. 5+3⋅7−8⋅2+325+3\cdot 7-8\cdot 2+32
  2. 3⋅18+6−3⋅17+2⋅8−2⋅33\cdot 18+6-3\cdot 17+2\cdot 8-2\cdot 3
  3. 117−91:13+10+51:17−14117-91:13+10+51:17-14
  4. 168:7−12:2⋅3+1+20:5⋅2:4−3168:7-12:2\cdot 3+1+20:5\cdot 2:4-3
  5. 13+17⋅5−(8+12:3)+513+17\cdot 5-(8+12:3)+5
  6. 3⋅(20−20:2)−26+16⋅43\cdot (20-20:2)-26+16\cdot 4
  7. 12⋅17−4⋅51:(6⋅17)−2⋅3412\cdot 17-4\cdot 51:(6\cdot 17)-2\cdot 34
  8. (15−3+17−22)⋅(318−12∗23)(15-3+17-22)\cdot (318-12*23)
  9. 225−[82−(94−86)+8]⋅2225-[82-(94-86)+8]\cdot 2
  10. 3⋅(75−20)−(60−27):33\cdot (75-20)-(60-27):3
  11. [55+(81−15):3]⋅6−(45+32)[55+(81-15):3]\cdot 6-(45+32)
  12. [16+(65−13⋅5):2]⋅(45:3:5)[16+(65-13\cdot 5):2]\cdot(45:3:5)
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Lösung 1

  1. 4242
  2. 1919
  3. 109109
  4. 66
  5. 9191
  6. 6868
  7. 134134
  8. 294294
  9. 6161
  10. 154154
  11. 385385
  12. 4848

Aufgabe 2

Falls nötig, setze Klammern so, dass die Gleichung stimmt.

  1. 5−2⋅7=215-2\cdot 7 = 21
  2. 2⋅7−4⋅3=182\cdot 7 - 4 \cdot 3 = 18
  3. 2⋅3⋅4+5=292\cdot 3\cdot 4+5 = 29
  4. 10−5+3⋅5−2=2410-5+3\cdot 5-2 = 24
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Lösung 2

  1. (5−2)⋅7=21(5-2)\cdot 7 = 21
  2. 2⋅(7−4)⋅3=182\cdot (7 - 4) \cdot 3 = 18
  3. 2⋅3⋅4+5=292\cdot 3\cdot 4+5 = 29 braucht keine Klammern
  4. (10−5+3)⋅(5−2)=24(10-5+3)\cdot (5-2) = 24

Aufgabe 3

Kann die Klammer weggelassen werden? Formuliere eine Regel.

  1. 2+3+(4+5)=2+3+4+52+3+(4+5)=2+3+4+5 ?
  2. 2+3−(4+5)=2+3−4+52+3-(4+5)=2+3-4+5 ?
  3. 2⋅3⋅(4⋅5)=2⋅3⋅4⋅52\cdot 3\cdot(4\cdot 5)=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 ?
  4. 2⋅(3⋅(4⋅5)))=2⋅3⋅4⋅52\cdot (3\cdot (4\cdot 5))) = 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 ?
  5. 2⋅(3:4)⋅5=2⋅3:4⋅52\cdot (3:4) \cdot 5 = 2\cdot 3:4 \cdot 5 ?
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Lösung 3

  1. ja
  2. nein
  3. ja
  4. ja
  5. nein

Für die Regel siehe unten.

Theorem 2
Regel: Assoziativgesetz

Bei der puren Addition von Zahlen kann die Klammer weggelassen werden. Ebenso für die pure Multiplikation von Zahlen.

Aufgabe 4

Kann die Reihefolge der Zahlen geändert werden? Formuliere eine Regel.

  1. 2+3+4+5=5+3+2+42+3+4+5=5+3+2+4 ?
  2. 2⋅3⋅4⋅5=5⋅3⋅2⋅42\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 5\cdot 3\cdot 2\cdot 4 ?
  3. 2+3−4+5=3+5−2+42 +3-4+5 = 3+5-2+4 ?
  4. 2⋅3:4⋅5=3⋅5:2⋅42\cdot 3 : 4\cdot5 = 3\cdot5:2\cdot4
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Lösung 4

  1. ja
  2. ja
  3. nein
  4. nein

Die Regel steht unten.

Theorem 3
Regel: Kommutativgesetz

Bei der puren Addition von Zahlen kann die Reihenfolge der Zahlen beliebig verändert werden. Ebenso für die pure Multiplikation von Zahlen.

Aufgabe 5

Lassen sich Klammern so verteilen? Formuliere eine Regel.

  1. 4+(3⋅5)=(4+3)⋅(4+5)4+(3\cdot 5) =(4+3)\cdot (4+5) ?
  2. 4⋅(3+5)=(4⋅3)+(4⋅5)4\cdot (3+5) =(4\cdot 3)+(4 \cdot 5) ?

Und wo können Klammern weggelassen werden?

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Lösung 5

  1. nein
  2. ja

Die Regel steht unten.

Beim Term (4⋅3)+(4⋅5)(4\cdot 3)+(4 \cdot 5) können die Klammern weggelassen werden, da Multiplikation stärker bindet.

Theorem 4
Regel: Distributivgesetz

Es gilt a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)=a⋅b+a⋅ca\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=a\cdot b+a\cdot c