Brüche

Theorem 1

Brüche haben die Form

Za¨hlerNenner\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}

wobei der Zähler eine ganze Zahl (...,−2,−1,0,1,2,......,-2,-1,0,1,2,...). Der Nenner ist ebenfalls eine ganze Zahl, aber die Null ist nicht erlaubt. Ein Bruch ist dasselbe wie eine Division:

Za¨hlerNenner=Za¨hler:Nenner\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}=\text{Zähler}:\text{Nenner}
Exercise 1

Aufgabe 1

  1. Ersetze die Division durch Brüche und lass wo immer möglich die Klammern weg. Es muss nichts ausgerechnet werden.

    1. 4:54:5
    2. 1+4:51+4:5
    3. 4−5:7+14-5:7+1
    4. (4−1):(5+1)(4-1):(5+1)
    5. 6:3:26:3:2
    6. 6:(3:2)6:(3:2)
    7. (6:3):2(6:3):2
    8. 8⋅4:38\cdot 4:3
    9. (8⋅4):3(8\cdot 4):3
    10. 8⋅(4:3)8\cdot (4:3)
    11. 1+5⋅4:3−11+5\cdot 4: 3-1
    12. 1:3⋅4:51:3\cdot 4:5

  2. Ersetze wo immer möglich die Brüche durch Division, und setze Klammern wo nötig. Es muss nichts ausgerechnet werden.

    1. 45\frac{4}{5}
    2. 45+1\frac{4}{5}+1
    3. 5+23+15+\frac{2}{3}+1
    4. 4+17−3\frac{4+1}{7-3}
    5. 3⋅54⋅5\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}
    6. 3+54⋅5\frac{3+ 5}{4\cdot 5}
    7. 2:34:5\frac{2:3}{4:5}
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Lösung 1

    1. 4:5=454:5=\frac{4}{5}
    2. 1+4:5=1+451+4:5=1+\frac{4}{5}
    3. 4−5:7+1=4−57+14-5:7+1=4-\frac{5}{7}+1
    4. (4−1):(5+1)=4−15+1(4-1):(5+1)=\frac{4-1}{5+1}
    5. 6:3:2=6326:3:2=\frac{\frac{6}{3}}{2}
    6. 6:(3:2)=6326:(3:2)=\frac{6}{\frac{3}{2}}
    7. (6:3):2=632(6:3):2=\frac{\frac{6}{3}}{2}
    8. 8⋅4:3=8⋅438\cdot 4:3=\frac{8\cdot 4}{3}
    9. (8⋅4):3=8⋅43(8\cdot 4):3=\frac{8\cdot 4}{3}
    10. 8⋅(4:3)=8⋅438\cdot (4:3)=8\cdot \frac{4}{3}
    11. 1+5⋅4:3−1=1+5⋅43−11+5\cdot 4: 3-1=1+\frac{5\cdot 4}{3}-1
    12. 1:3⋅4:5=13⋅451:3\cdot 4:5=\frac{\frac{1}{3}\cdot 4}{5}
    1. 45=4:5\frac{4}{5}=4:5
    2. 45+1=4:5+1\frac{4}{5}+1=4:5+1
    3. 5+23+1=5+2:3+15+\frac{2}{3}+1=5+2:3+1
    4. 4+17−3=(4+1):(7−3)\frac{4+1}{7-3}=(4+1):(7-3)
    5. 3⋅54⋅5=(3⋅5):(4⋅5)\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=(3\cdot 5):(4\cdot 5)
    6. 3+54⋅5=(3+5):(4⋅5)\frac{3+ 5}{4\cdot 5}=(3+5):(4\cdot 5)
    7. 2:34:5=(2:3):(4:5)\frac{2:3}{4:5}=(2:3):(4:5)
Exercise 2

Aufgabe 2

Welche Aussagen stimmen? Gib immer mindestens ein Beispiel an um zu belegen, dass die Aussage stimmt oder eben nicht (TA kann gebraucht werden).

  1. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn der Zähler wie auch der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.
  2. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn die Zähler wie auch die Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.
  3. Der Wert eines Bruches bleibt sich gleich, wenn die Zähler wie auch die Nenner mit der gleichen Zahl addiert werden.
  4. Zwei Brüche werden multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert werden, und die Nenner multipliziert werden.
  5. Zwei Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert werden und die Nenner addiert werden.
  6. Zwei Brüche werden addiert, indem zuerst beide Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden, und dann die Zähler addiert werden.
  7. Ist der Zähler ein Bruch und der Nenner ein Bruch (Doppelbruch), so kann dies geschrieben werden als die Multiplikation des Bruchs im Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner.
  8. Jede Ganze Zahl (...,−2,−1,0,1,2,......,-2,-1,0,1,2,...) kann als Bruch geschrieben werden.
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Lösung 2

  1. stimmt, das nennt man Erweitern. Zum Beispiel den Bruch 23\frac{2}{3} mit 55 erweitern: 23=2⋅53⋅5=1015\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}
  2. stimmt, braucht man zum Kürzen. Zum Beispiel den Bruch 1015\frac{10}{15} mit 55 Kürzen: 1015=10:515:5=23\frac{10}{15}=\frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3}
  3. nein, zum Beispiel 42≠4+12+1\frac{4}{2}\neq \frac{4+1}{2+1}
  4. Ja, etwa 23⋅45=2⋅43⋅5=815\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}
  5. Nein, etwa 42+126≠12+42+6\frac{4}{2}+ \frac{12}{6}\neq \frac{12+4}{2+6}
  6. stimmt, etwa 12+23=36+26=2+36=56\frac{1}{2}+ \frac{2}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}
  7. stimmt, etwa 2345=23⋅54\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}
  8. Ja, zum Beispiel 2=212=\frac{2}{1}, oder −4=−41-4=\frac{-4}{1}
Exercise 3

Aufgabe 3

Ohne Taschenrechner.

  1. Erweitere den Bruch mit 4:
    1. 35\frac{3}{5}
    2. 3+15+2\frac{3+1}{5+2}
    3. 284\frac{28}{4}
  2. Vereinfache durch Kürzen:
    1. 24\frac{2}{4}
    2. 6042\frac{60}{42}
    3. 2+12+4\frac{2+1}{2+4}
    4. 2⋅33⋅5\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}
    5. 76⋅2+176⋅3+1\frac{76\cdot 2+1 }{76\cdot 3+1}
    6. 76⋅(2+1)76⋅(3+1)\frac{76\cdot (2+1) }{76\cdot (3+1)}
    7. 3⋅4⋅5⋅10⋅142⋅3⋅5⋅7\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 10\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}
  3. Berechne ohne Taschenrechner. Schreibe das Endresultat als möglichst einfachen (gekürzten) Bruch.
    1. 23+79\frac{2}{3}+\frac{7}{9}
    2. 54⋅39\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{9}
    3. 1213−56\frac{12}{13}-\frac{5}{6}
    4. 12:45\frac{1}{2}:\frac{4}{5}
    5. 2+342+\frac{3}{4}
    6. 2⋅342\cdot\frac{3}{4}
    7. 2436+12144\frac{24}{36}+\frac{12}{144}
    8. 34+45+56\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}
    9. 51616⋅8516\frac{516}{16}\cdot \frac{8}{516}
    10. 2147⋅4428\frac{214}{7}\cdot \frac{4}{428}
    11. 12⋅47+2\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}+2
    12. 3489\frac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}
    13. 389\frac{3}{\frac{8}{9}}
    14. 346\frac{\frac{3}{4}}{6}
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Lösung 3

    1. 35=1220\frac{3}{5}=\frac{12}{20}
    2. 3+15+2=1628\frac{3+1}{5+2}=\frac{16}{28}
    3. 284=11216\frac{28}{4}=\frac{112}{16}
    1. 24=12\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  3. 6042=107\frac{60}{42}=\frac{10}{7}
  4. 2+12+4=36=12\frac{2+1}{2+4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
  5. 2⋅33⋅5=25\frac{2\cdot 3}{3\cdot 5}=\frac{2}{5}
  6. 76⋅2+176⋅3+1=153229\frac{76\cdot 2+1 }{76\cdot 3+1}=\frac{153}{229}
  7. 76⋅(2+1)76⋅(3+1)=2+13+1=34\frac{76\cdot (2+1) }{76\cdot (3+1)}=\frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}
  8. 3⋅4⋅5⋅10⋅142⋅3⋅5⋅7=40\frac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 10\cdot 14}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}=40
    1. 23+79=139\frac{2}{3}+\frac{7}{9}=\frac{13}{9}
  10. 54⋅39=1536=512\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{9}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}
  11. 1213−56=778\frac{12}{13}-\frac{5}{6}=\frac{7}{78}
  12. 12:45=1245=12⋅54=58\frac{1}{2}:\frac{4}{5}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{8}
  13. 2+34=21+34=1142+\frac{3}{4}=\frac{2}{1}+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}
  14. 2⋅34=21⋅34=322\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}
  15. 2436+12144=23+112=34\frac{24}{36}+\frac{12}{144}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}
  16. 34+45+56=14360\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{143}{60}
  17. 51616⋅8516=816=12\frac{516}{16}\cdot \frac{8}{516}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}
  18. 7214+4428=9214\frac{7}{214}+ \frac{4}{428}=\frac{9}{214}
  19. 12⋅47+2=27+2=167\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}+2=\frac{2}{7}+2=\frac{16}{7}
  20. 3489=34⋅982732\frac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8}\frac{27}{32}
  21. 389=3189=278\frac{3}{\frac{8}{9}}=\frac{\frac{3}{1}}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{8}
  22. 346=3461=18\frac{\frac{3}{4}}{6}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{6}{1}}=\frac{1}{8}