Prozentuales Wachstum

Wir drücken das Wachstum oft als Prozentsatz aus. Wir besprechen nun den Fall, wo die prozentuale Zunahme (oder Abnahme) vom alten zum neuen Wert in jedem Zeitschritt konstant ist. Konkreter, nehmen wir an, dass es im Jahr $2000$ $120$ Bäume im Wald gibt, und alle $5$ Jahre steigt die Anzahl der Bäume um $2\%$ der vorherigen Anzahl der Bäume. Um welche Art von Wachstum handelt es sich? Schauen wir mal. Nach $5$ Jahren nimmt die Anzahl der Bäume um $2\%$ (von den $120$ Bäumen) zu, d.h. um

0.02\cdot 120=2.4

Bäume. Die Anzahl Bäume im Jahr $2005$ ist somit

120+2.4=122.4

Nach weiteren $5$ Jahren steigt die Anzahl der Bäume um $2\%$ der $120.4$ Bäume, d.h. um

0.02\cdot 122.4=2.448

Die Anzahl Bäume im Jahr $2010$ ist somit

122.4+2.448=124.848

und so weiter. Es handelt sich also eindeutig nicht um ein lineares Wachstum, da der Zuwachs von einem Schritt zum nächsten nicht konstant ist. Tatsächlich handelt es sich um ein exponentielles Wachstum, denn bei jedem Schritt multiplizieren wir mit

u=\frac{122.4}{120}=\frac{124.848}{122.4}=1.02

\begin{array}{rllll} \text{trees}:& 120 &\xrightarrow[]{+2\%, \cdot 1.02} & 122.4 &\xrightarrow[]{+2\%, \cdot 1.02} & 124.848 & \xrightarrow[]{+2\%, \cdot 1.02} & ... & \xrightarrow[]{+2\%, \cdot 1.02} & y\\ \text{year}:& 2000 & \xrightarrow[]{+5} & 2005 & \xrightarrow[]{+5} & 2010 & \xrightarrow[]{+5} & ... &\xrightarrow[]{+5} & x\\ \end{array}

Allgemein haben wir das Folgende.

Theorem 1: Prozentuales Wachstum

Proof

Der allgemeine Beweis eht wie folgt. Nehmen wir an, die Grösse sei $y_0$ zum Startzeitpunkt $x_0$ . Nach einem Zeitschritt steigt die Menge um $p\%$ von $y_0$ , also um den Wert

$\frac{p}{100}y_0$

Wir haben also

\begin{array}{lll} y_1 &=& y_0+\frac{p}{100}y_0\\ &=&(1+\frac{p}{100})\cdot y_0 \end{array}

Im nächsten Schritt steigt die Menge um $p\%$ von $y_1$ , was $\frac{p}{100}y_1$ entspricht. Wir haben also

\begin{array}{lll} y_2 &=& y_1+\frac{p}{100}y_1\\ &=&(1+\frac{p}{100})\cdot y_1 \end{array}

und so weiter. Wir sehen, dass der Wachstumsfaktor gegeben ist durch $u=1+\frac{p}{100}$ . Beim Exponentiellen Zerfall verringert sich der Wert um $p\%$ von $y_0$ , also um den Wert $\frac{p}{100}y_0$ . Wir haben also

\begin{array}{lll} y_1 &=& y_0-\frac{p}{100}y_0\\ &=&(1-\frac{p}{100})\cdot y_0 \end{array}

und wir sehen, dass der Wachstumsfaktor nun $u=1-\frac{p}{100}$ ist.

Betrachten wir eine Grösse, die nach jedem Zeitschritt um $p\%$ zunimmt, erhalten wir exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor ist gegeben durch

u=1+\frac{p}{100}

$p$ wird dann Wachstumsrate genannt. Wenn die Grösse nach jedem Zeitschritt um $p\%$ abnimmt, erhalten wir einen exponentiellen Zerfall, und der Wachstumsfaktor ist

u=1-\frac{p}{100}

$p$ wird dann ebenfalls Wachstumsrate, oder spezifischer Zerfallsrate genannt (wiederum nicht zu verwechseln mit der Zerfallskonstanten aus der Biologie, Chemie und Physik).

Exercise 1

Die Anzahl der Bakterien in einer Petrischale nimmt schnell zu. Zu Beginn (bei $0 h$ ) gibt es $100$ Bakterien, und alle $2 h$ erhöht sich ihre Anzahl um $10\%$ gegenüber der vorherigen Anzahl. Bestimme einen Ausdruck für die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $x$ .
Du hast im Jahr $2000$ ein Boot für $50 000$ CHF gekauft. Jeden dritten Monat verliert es $0.1\%$ seines vorherigen Wertes. Bestimme einen Ausdruck für den Wert des Bootes im Jahr $x$ .

Solution

Der Wachstumsfaktor ist $u=1+\frac{10}{100}=1.1$ . Somit ist $f(x)=\underline{100\cdot 1.1^{x/2}}$ .
Der Zerfallsfaktor ist $u=1-\frac{0.1}{100}=0.999$ . Alle "drei Monate" ist jedes viertel Jahr, also ist der Zeitschritt $0.25$ . Somit ist $f(x)=\underline{50 000\cdot 0.999^{(x-2000)/0.25}}$ .