Bilder von Geraden

Um eine Vorstellung von einer Abbildung zu bekommen, ist es häufig hilfreich nicht nur über die Bilder von einzelnen Punkten Bescheid zu wissen, sondern auch zu sehen, wie beispielsweise eine Gerade abgebildet wird. Insbesondere interessieren die Bilder der Koordinatenachsen.

Exercise 1: Bild der Koordinatenachsen

Eine Abbildung sei durch

\alpha=\begin{cases}x(1+y) \\ y(1+x)\end{cases}

gegeben.

a) Berechne die Bildpunktkoordinaten des Ursprungs, von $E_1 = (1 \mid 0)$ , $E_2 = (0 \mid 1)$ , von $A=(a \mid 0)$ , $B=(0 \mid b)$ , $C_1 =(1 \mid 1)$ , $C_2 =(-1 \mid -1)$ , $D_1 =(2 \mid 2)$ und $D_2 =(-2 \mid -2)$ .

b) Gib die Bilder der Koordinatenachsen an.

c) Wie lauten die Gleichungen der Bildgeraden $f_1 : y = 1$ und $f_2 : x = 1$ ?

d) Bestimme das Bild der Winkelhalbierenden $g : y = x$ .

e) Es sieht so aus, wie wenn Geraden auf (Halb)Geraden abgebildet wÜrden. Ist das tatsächlich so? Untersuche dazu das Bild der Geraden $h: y = 2x$ .

Solution

a) $E_1'(1 \mid 0)$ , $A'(a \mid 0)$ , $B'(0 \mid b)$ , $C_1'(2 \mid 2)$ , $C_2'(0 \mid 0)$ , $D_1'(6 \mid 6)$ , $D_2'(2 \mid 2)$ , $E_2'(0 \mid 1)$

b) $\alpha(a \mid 0)=(a \mid 0)$ und $\alpha(0 \mid b)=(0 \mid b)$ , d.h. die Koordinatenachsen sind Fixpunktgeraden.

c) $\alpha(a \mid 1)=(2a \mid 1+a)=(a' \mid 1+\frac{1}{2}a')$ , $\alpha(1 \mid b)=(1+b \mid 2b)=(b' \mid 2b'-2)$

d) $\alpha(a \mid a)=(a+a^2 \mid a+a^2)=(a' \mid a')$ mit $a'\geq-\frac{1}{4}$ (Scheitel von $a+a^2$ )

e) $\alpha(a \mid 2a)=(a+2a^2 \mid 2a+2a^2)=(x' \mid x'+\frac{-1\pm\sqrt{1+8x'}}{4})$ , nein

Exercise 2: Berechne Bilder

Beantworte die unten stehenden Fragen für die folgenden Abbildungen:

\alpha=\begin{cases}3x&-\phantom{\;2}y\\ \phantom{3}x&+\;2y\end{cases} \quad\quad \beta\begin{cases}-x&\phantom{+y}+1\\ \phantom{-}x&+\;y\end{cases}

und

\gamma=\begin{cases}x&\;-1\\ x^2\end{cases}

a) Berechne die Bildpunktkoordinaten des Ursprungs, von $E_1 = (1 \mid 0)$ , $E_2 = (0 \mid 1)$ , von $A=(a \mid 0)$ , $B=(0 \mid b)$ , $C=(1 \mid 1)$ und $D=(2 \mid -3)$ .

b) Gib die Urbilder der Punkte $F' =(-2 \mid 4)$ , $G' =(5 \mid -3)$ und $H' =(2 \mid 9)$ an.

c) Wie lauten die Umkehrabbildungen von $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ ?

d) Gib die Bilder der Koordinatenachsen an.

e) Wie lauten die Gleichungen der Bildgeraden $f_1 : y = 1$ und $f_2 : x = 1$ ?

f) Bestimme das Bild der Winkelhalbierenden $g : y = x$ und das Bild der Geraden $h: y=2x-1$ rechnerisch.

g) Wird jede Gerade auf eine Gerade abgebildet?

h) Handelt es sich bei den Abbildungen um Bijektionen?

Solution

a) $\alpha$ : $E_1'(3 \mid 1)$ , $E_2'(-1 \mid 2)$ , $A'(3a \mid a)$ , $B'(-b \mid 2b)$ , $C'(2 \mid 3)$ , $D'(9 \mid -4)$ ; $\beta$ : $E_1'(0 \mid 1)$ , $E_2'(1 \mid 1)$ , $A'(-a+1 \mid a)$ , $B'(1 \mid b)$ , $C'(0 \mid 2)$ , $D'(-1 \mid -1)$ ; $\gamma$ : $E_1'(0 \mid 1)$ , $E_2'(-1 \mid 0)$ , $A'(a-1 \mid a^2)$ , $B'(-1 \mid 0)$ , $C'(0 \mid 1)$ , $D'(1 \mid 4)$

c) $\gamma^{-1}$ nicht definiert

\alpha^{-1}= \begin{cases}\frac{1}{7}(2x+y)\\ \frac{1}{7}(-x+3y)\end{cases}

\beta^{-1}= \begin{cases}-x+1\\ x+y-1\end{cases}

b) $\alpha$ : $F(0,2)$ , $G(1 \mid -2)$ , $H(\frac{13}{7} \mid \frac{25}{7})$

d) $\alpha:(a \mid \frac{1}{3}a)$ , $(b \mid -2b)$ ; $\beta$ : $(a \mid -a+1)$ , Parallele zur $y$ -Achse durch $x=1$ ; $\gamma$ : $(a \mid (a+1)^2)$ , $(-1 \mid 0)$ .

e) $\alpha(a \mid 1)=(a' \mid \frac{1}{3}a'+\frac{7}{3})$ , $\alpha(1 \mid b)=(b' \mid -2b'+7)$ ; $\beta(a \mid 1)=(a' \mid -a'+2)$ , $\beta(1 \mid b)=(0 \mid 1+b2)$ ; $\gamma(a \mid 1)=(a' \mid (a'+1)^2)$ , $\gamma(1 \mid b)=(0 \mid 1)$ .

f) $\alpha(x \mid x)=(x \mid \frac{3}{2}x)$ , $\alpha(x \mid 2x-1)=(x \mid 5x-7)$ ; $\beta(x \mid x)=(a' \mid -a'+2)$ , $\beta(x \mid 2x-1)=(x \mid -3x+2)$ ; $\gamma(x \mid x)=(a' \mid (a'+1)^2)$ , $\gamma(x \mid 2x-1)=(x \mid (2x+1)^2)$ .

g) $\alpha(x \mid mx+q)=((3-m)x-b \mid (2m+1)x+2b)$ ; $\beta(x \mid mx+q)=(-x+1 \mid (m+1)x+b)$ , $\gamma(x \mid mx+q)=(x-1 \mid x^2)$ .

h) Die ersten zwei bijektiv, das letzte nicht.