Münzwurf

p(Z) = 0.8, p(K) = 0.2\\[0.4em] K = "Anzahl Köpfe"\\[0.4em] 0.9999 \leq p(K \geq 2) \\[0.4em]

\begin{array}{lll} 0.9999 &\leq& 1 - p(K = 1) - p(K = 0)\\[0.4em] 0.9999 &\leq& 1 - binompdf(n, 0.2, 1) - binompdf(n, 0.2, 0)\\[0.4em] 0.9999 &\leq& 1 - n \cdot 0.2 \cdot 0.8^{n-1} - 0.8^n\\[0.4em] 0.9999 &\leq& 1 - n \cdot 0.2 \cdot 0.8^n \cdot 0.8^{-1} - 0.8^n | -1\\[0.4em] 0.0001 &\geq& n \cdot 0.2 \cdot 0.8^n \cdot \frac{1}{0.8} + 0.8^n\\[0.4em] 0.0001 &\geq& 0.8^n \left( n \cdot \frac{0.2}{0.8} + 1 \right)\\[0.4em] &\geq& 0.8^n \cdot \frac{0.8 + 0.2n}{0.8} |\cdot 0.8\\[0.4em] 0.8 \cdot 0.0001 &\geq& 0.8^n \cdot (0.8 + 0.2n)\\[0.4em] &\geq& 0.8^n \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{5}n \right)\\[0.4em] &\geq& 0.8^n \cdot \frac{4+n}{5} |\cdot 5\\[0.4em] 0.0004 &\geq& 0.8^n \cdot (4+n)\\[0.4em] \end{array}

Mit $\omega = 4+n$ bzw. $\omega - 4 = n$ :

\begin{array}{lll} 0.0004 &\geq& 0.8^{(\omega-4)} \cdot \omega\\[0.4em] &\geq& \frac{0.8^\omega}{0.8^4} \cdot \omega |\cdot0.8^4\\[0.4em] 0.0004 \cdot 0.8^4 &\geq& \omega \cdot 0.8^\omega\\[0.4em] &\geq& \omega \cdot e^{\ln(0.8)\omega} |\cdot \ln(0.8)\\[0.4em] 0.00016384 \cdot \ln(0.8) &\leq& \ln(0.8) \cdot \omega \cdot e^{\ln(0.8)\omega}\\[0.4em] \end{array}

Für die Lambert-W Funktion gilt $W(\varphi\cdot e^\varphi) = \varphi$ und hier $\varphi = \ln(0.8)*\omega$ , somit:

\begin{array}{lll} W(-0.0000365598) &\leq& \ln(0.8) \cdot \omega\\[0.4em] \frac{W(-0.0000365598)}{\ln(0.8)} &\leq& \omega\\[0.4em] \end{array}

Durch die resubstitution folgt:

\begin{array}{lll} \frac{W(-0.0000365598)}{\ln(0.8)} &\leq& n + 4\\[0.4em] \frac{W(-0.0000365598)}{\ln(0.8)} - 4 &\leq& n\\[0.4em] \end{array}

W liefert mehrere Werte, hier relevant ist der -1. Zweig der Lösungen (Zweig mit positiver reeller Lösung). Somit folgt (Wolframalpha mit Productlog(-1, -0.0000365598)): $n \geq 53.1969$ also $n \geq 54$