Impedanz am RLC seriell

Impedanzen am RLC-Serienschwingkreis

Note 1

Konvention: harmonische Anregung mit Kreisfrequenz $\omega$ und komplexen Exponentialfunktionen.

Elemente des Stromkreises

Definition 1: Bauelementgesetze

Für den Serienschwingkreis mit Widerstand $R$ , Induktivität $L$ und Kapazität $C$ gelten:

\begin{align*} U_R(t)&=R\cdot I(t)\\ U_L(t)&=L\cdot \dot I(t)\\ U_C(t)&=\frac{1}{C}\int I(t)\,\mathrm{d}t \end{align*}

Note 2: Wasser- und Mechanik-Analogie

Widerstand: proportionaler Spannungsabfall wie ein Strömungswiderstand.
Spule: träge Reaktion auf Stromänderung (analoge Trägheit in der Mechanik).
Kondensator: speichert Ladung; bei sehr kleinen Frequenzen wird der Stromfluss gehemmt.

Maschenregel und DGL

Nach Kirchhoff entstehen bzw. fallen Spannungen nur an Bauteilen ab:

U(t)=U_R(t)+U_L(t)+U_C(t)

Damit:

U(t)=R\cdot I(t)+L\cdot \dot I(t)+\frac{1}{C}\int I(t)\,\mathrm{d}t

Example 1: Ableitung zur linearen DGL

Differenziere nach der Zeit:

\dot U(t)=R\cdot \dot I(t)+L\cdot \ddot I(t)+\frac{1}{C}I(t)

Sortiere die Gleichung:

L\cdot \ddot I(t)+R\cdot \dot I(t)+\frac{1}{C}I(t)=\dot U(t)

Solution

Das ist die zentrale lineare Differentialgleichung 2. Ordnung für den Strom bei beliebigem Eingang $U(t)$ .

Erwartung an den Frequenzgang

Note 3

Qualitativ aus dem Schaltbild:

Bei kleinen Frequenzen dominiert der Kondensator (Strom klein).
Bei grossen Frequenzen dominiert die Spule (Strom ebenfalls klein).
Dazwischen liegt ein Maximum der Stromamplitude (Resonanzbereich).

Gesucht sind also Stromamplitude $\hat I(\omega)$ und Phasenverschiebung $\varphi(\omega)$ .

Harmonische Anregung und Impedanz

Wir setzen eine harmonische Spannung an:

U(t)=\operatorname{Re}\!\left(U\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)

Wir erwarten eine harmonische Antwort mit gleicher Frequenz:

I(t)=\operatorname{Re}\!\left(I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)

mit komplexen Zeigern

U=\hat U\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_U},\qquad I=\hat I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_I}.

Ableitungen

\begin{align*} \dot U(t)&=\operatorname{Re}\!\left(\mathrm{i}\omega U\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)\\ \dot I(t)&=\operatorname{Re}\!\left(\mathrm{i}\omega I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right)\\ \ddot I(t)&=\operatorname{Re}\!\left(-\omega^2 I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) \end{align*}

Einsetzen in

\dot U(t)=L\ddot I(t)+R\dot I(t)+\frac{1}{C}I(t)

liefert in der komplexen Darstellung:

\mathrm{i}\omega U\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = L\left(-\omega^2 I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) +R\left(\mathrm{i}\omega I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) +\frac{1}{C}I\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}

Teilen durch $\mathrm{i}\omega \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ :

U=I\left(R+\mathrm{i}\omega L-\frac{\mathrm{i}}{\omega C}\right)

Definition 2: Serienimpedanz

Z(\omega)=R+\mathrm{i}\omega L-\frac{\mathrm{i}}{\omega C}

Damit:

I=\frac{U}{Z(\omega)}

und komponentenweise:

\begin{align*} Z_R&=R,\qquad Z_L=\mathrm{i}\omega L,\qquad Z_C=-\frac{\mathrm{i}}{\omega C}\\ Z_{\mathrm{tot}}&=Z_R+Z_L+Z_C \end{align*}

Betrag und Phase

Aus

I=\frac{U}{Z(\omega)}

folgt für den Betrag:

\hat I(\omega)=|I| =\left|\frac{U}{Z(\omega)}\right| =\frac{\hat U}{|Z(\omega)|}

Mit

Z(\omega)=|Z(\omega)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_Z(\omega)}

erhält man für die Phasenverschiebung:

\varphi(\omega)=\varphi_I-\varphi_U =\operatorname{arg}\!\left(\frac{I}{U}\right) =-\operatorname{arg}\!\left(Z(\omega)\right) =-\varphi_Z(\omega)

Damit kann der Strom als

I(t)=\hat I(\omega)\cos\!\bigl(\omega t+\varphi_I\bigr)

geschrieben werden mit

\hat I(\omega)=\frac{\hat U}{|Z(\omega)|}.

Resonanz

Die Resonanz liegt bei minimaler Impedanz, d. h. verschwindendem Blindanteil:

\begin{align*} \omega L-\frac{1}{\omega C}&=0\\ \omega^2&=\frac{1}{LC}\\ \omega_0&=\sqrt{\frac{1}{LC}} \end{align*}

Note 4

Bei $\omega=\omega_0$ sind Spannung und Strom in Phase.
Unterhalb der Resonanz ist das Verhalten kapazitiv, oberhalb induktiv.

Geometrische Deutung in der komplexen Ebene

Die Impedanz kann als Zeiger in der komplexen Ebene gelesen werden:

Realteil: Wirkwiderstand (Resistenz)
Imaginärteil: Blindwiderstand (Reaktanz)
Betrag: Scheinwiderstand

Example 2: Interpretation

Wenn der Imaginärteil negativ ist, ist der Kreis kapazitiv (Strom eilt voraus).
Wenn der Imaginärteil positiv ist, ist der Kreis induktiv (Strom hinkt nach).

Note 5

Für beliebige Eingangssignale arbeitet man mit der DGL.
Für harmonische Signale ist die Impedanzdarstellung besonders effizient.