Stereometrie

Die Stereometrie (griech.: Körpermessung) beschäftigt sich, im Gegensatz zur Planimetrie, mit der Form, gegenseitiger Lage und der Grösse geometrischer Gebilde des Raumes.

Die einfachen Körper - Würfel, Quader, Zylinder, Kugel - waren schon bei allen Völkern der vorgeschichtlichen Zeit bekannt und wurden praktisch genutzt. Sowohl die Babyionier (3500 bis 200 v.u.Z.) als auch die ägypter (3000 bis 500 v.u.Z.) haben Volumen und Oberfläche von Würfeln, Zylindern, Pyramiden und Kegeln, wenn auch teilweise nur in guter Näherung, berechnen können. Die Berechnung des Volumens und der Oberfläche einer Kugel gelang aber erst Archimedes (287 - 212 v.u.Z.).

Prismen

Exercise 1: Prisma

Berechne Volumen $V$ , Oberfläche $O$ und Raumdiagonale $d$ eines

a) Würfels mit Kantenlänge $k$

b) eines Quaders mit Kantenlänge $a,b,c$

Solution

a) $V=k^3$ , $O=6k^2$ , $d=\sqrt{3}k$ (zweimal Pythagoras anwenden)

b) $V=abc$ , $O=2(ab+ac+bc)$ , $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Pyramiden

Exercise 2: Pyramide

Die Cheopspyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge $233\,\mathrm{m}$ . Sie war ursprünglich $148\,\mathrm{m}$ hoch; heute ist sie auf einer Höhe von $137\,\mathrm{m}$ abgestumpft.

a) Der Bau soll $100\,000\,\mathrm{Mann}$ $20\,\mathrm{Jahre}$ beschäftigt haben. Welche Gesteinsmasse wurde dabei bewegt? (Dichte des Gesteins: $\rho_S=2.7\,\mathrm{g/cm^3}$ )

b) Welche Abmessung hat die heutige Plattform?

Solution

a) Nach dem Strahlensatz gilt für die Plattform $F=\left(\frac{11}{148}\cdot233\right)^2\approx300\,\mathrm{m^2}$ , also hat man eine Seitenlänge von ungefähr 17 Metern.

b) $V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\cdot233^2\cdot 148-\frac{1}{3}\cdot(10\sqrt{3})^2\cdot 11\approx2.7\cdot10^6$ mit einer Dichte von $2.7\,\mathrm{t/m^3}$ . Die Masse ist $m=V\rho\approx7$ Millionen Tonnen.

Gerader Kreiszylinder

Exercise 3: Zylinder

Ein rechteckiges Blatt mit den Seitenlängen $a$ und $b$ kann auf zwei Arten zu einem Zylinder gebogen werden. Wie gross ist das Verhältnis der (a) Volumina, (b) Mäntel

Solution

Entweder verwendet man $a$ oder $b$ als Umfang und das zweite für die Höhe. Wegen $U=2\pi r\Leftrightarrow r=\frac{U}{2\pi}$ . Die Volumina sind $V_1=(\frac{a}{2\pi})^2b$ und $V_2=(\frac{b}{2\pi})^2a$ , woraus $\frac{V_1}{V_2}=\frac{a}{b}$ . Die Mäntel ergeben $M_1=M_2$ , trivial.

Exercise 4: Konservendose

Wie viel Blech benötigt man für eine Konservendose (Durchmesser $10\,\mathrm{cm}$ , Inhalt $1\,\mathrm{Liter}$ ), wenn für Verschnitt etc. noch 15% zugeschlagen werden?

Solution

Der Radius ist $5$ Centimeter und das Volumen $1000$ Kubikcentimeter, die Höhe daher $h=\frac{1000}{2\pi\cdot5^2}\approx6.4$ . Also die Oberfläche ungefähr $357$ Quadratcentimeter; mit $15%$ Verschnitt sind es $410\,\mathrm{cm^2}$ .

Exercise 5: Kamin Anstrich

Die Metallverkleidung eines Kamins muss mit einer Spezialfarbe zweimal gestrichen werden. Die Kaminverkleidung ist ein Zylinder mit einem Durchmesser von $150\,\mathrm{cm}$ und einer Höhe von $18\,\mathrm{m}$ . Beim ersten Anstrich rechnet man mit $1\,\mathrm{kg}$ Farbe für $15\,\mathrm{m^2}$ ; beim zweiten Anstrich genügen 70% der Menge des ersten Anstrichs. Wie viele Dosen ( $5\,\mathrm{kg}$ bzw. $10\,\mathrm{kg}$ ) Farbe werden benötigt?

Solution

Der Mantel hat eine Fläche von $\pi\cdot1.5\cdot18\approx85\,\mathrm{m^2}$ und dazu bräuchte man etwas weniger als $6$ Liter Farbe. Für den zweiten Anstrich $70%$ , was insgesamt etwas weniger als $10$ Liter ergibt

Gerader Kreiskegel

Exercise 6: Kreiskegel

Von einem geraden Kreiskegel kennt man den Radius $r=5\,\mathrm{cm}$ und das Volumen $V=1000\,\mathrm{cm^3}$ . Berechne $h$ , $s$ , $M$ und $O$ .

Solution

$V=\frac{1}{3}Gh\Leftrightarrow h=\frac{3V}{G}$ also $h\approx38$ Centimeter. $s=\sqrt{r^2+h^2}\approx39$ . Der abgewickelte Mantel ist ein Kreissektor mit Bogenlänge $2\pi r$ und Radius $s$ . Sei $\alpha$ der Öffnungswinkel, dann ist $\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$ . Für den Mantel gilt also $M=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi s^2=\frac{r}{s}\pi s^2=rs\pi\approx605$ Quadratcentimeter. Die Oberfläche ist $O=684$ .

Exercise 7: Holzkegel im Wasser

Wie tief taucht ein Holzkegel ( $r=5\,\mathrm{cm}$ , $h=12\,\mathrm{cm}$ , Dichte $0.8\,\mathrm{g/cm^3}$ ) mit der Spitze nach unten in Wasser ein?

Solution

Der Holzkegel wird schwimmen, da seine Dichte kleiner ist als die Dichte von Wasser. Der Kegel hat die Masse $m_K=80\pi\approx250\,\mathrm{g}$ . Also müssen wir die Höhe des Kegels berechnen, mit der Dichte von Wasser, der $250\,g$ verdrängt. Beachte, dass $\frac{r}{h}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow r=\frac{5}{12}h$ . Daraus folgt

m_W=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{5}{12}h\right)^2\cdot h\stackrel{!}{=}80\pi\Leftrightarrow h\approx10.7\,\mathrm{cm}.

Exercise 8: Mantel

Wie gross ist der Mittelpunktswinkel des Kreisausschnittes, der den abgewickelten Mantel eines Kegels mit r=6 cm und h=8 cm darstellt?

Solution

Die Seitenlänge ist $s=\sqrt{r^2+h^2}=10\,\mathrm{cm}$ . Der abgerollte Kegelmantel, Kreisausschnitt, hat den Radius $s$ und die Bogenlänge $2\pi r$ . Den Öffnungswinkel nennen wir $\varphi$ . Der Anteil einer vollen Umdrehung ist $\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{3}{5}$ , also ist $\varphi=\frac{3}{5}\cdot360^\circ=216^\circ$ .

Exercise 9: Kegel

Ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel 120¡ und dem Radius $8\,\mathrm{cm}$ wird zu einem Kegel zusammengebogen. Wie gross wird dessen Volumen?

Solution

Von vorhin wissen wir, dass $\frac{r}{s}=\frac{\varphi}{360^\circ}$ gilt. Es folgt $s=24$ und $h=\sqrt{s^2-r^2}\approx22.6$ . Daraus $V=\frac{1}{3}\pi r^2h\approx1.5$ Liter.

Kugel

Die Berechnung des Volumens der Kugel erfolgt mit dem Prinzip von Cavalieri. Als Vergleichskörper nimmt man denjenigen Körper, der entsteht, wenn man aus einem Zylinder (Radius $r$ , Höhe $r$ ) einen Kegel herausfräst.

Man schneidet die Halbkugel und den Vergleichskörper mit einer Ebene, die vom Mittelpunkt der Kugel den Abstand $a$ hat. Als Schnittflächen ergeben sich für die Halbkugel

A = \pi r'^2 =\pi(r^2 - a^2),

für den Vergleichskörper

A =A_{Kreisring} =\pi r^2-\pi a^2

Für das Volumen der Kugel gilt deshalb:

V_{Halbkugel}=V_{Zylinder}-V_{Kegel} =\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3,

also

V_{Kugel}=\frac{4}{3}\pi r^3.

Exercise 10: Kugelvolumen

Berechne den Radius einer Kugel mit $1\,\mathrm{m^3}$ Rauminhalt.

Solution

Es ist $V_K=\frac{4}{3}\pi r^3\Leftrightarrow r^3=\frac{3V_K}{4\pi}\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3V_K}{4\pi}}$ , also $r\approx 0.24$ Meter.

Exercise 11: Hohlkugel

Leite eine Formel für das Materialvolumen einer Hohlkugel in Abhängigkeit vom Kugelradius $r$ und der Wanddicke $d$ her. Welche Glieder der Formel können bei sehr kleinem $d$ vernachlässigt werden? Deute die entstehende Näherungsformel und leite somit die Formel für die Oberfläche einer Kugel ab.

Solution

Die äussere Hülle hat ein Volumen von $V_a=\frac{4}{3}\pi r^3$ und die innere $V_i=\frac{4}{3}\pi (r-d)^3$ . Für das Volumen der Hohlkugel gilt

V=V_a-V_i=\frac{4}{3}\pi r^3-\left(\frac{4}{3}\pi r^3-4\pi r^2d+4\pi rd^2-\frac{4}{3}\pi d^3\right)=4\pi d\left(r^2-rd+\frac{\pi}{3}d^2\right).

Wird nun $d\to0$ klein, so werden die Terme mit grösseren Exponenten rascher klein als solche mit kleineren Exponenten. Vermutlich dominiert also für kleine $d$ der Term $4\pi dr^2$ . Vermutlich ist also $O_K=4\pi r^2$ .

Exercise 12: In- und Umkugel eines Würfels

Wie verhalten sich die (a) Radien, (b) Oberflächen, (c) Volumina der In- und Umkugel eines Würfels?

Solution

Sei $k$ die Kantenlänge des Würfels. Dann hat die Innkugel Radius $r_i=\frac{k}{2}$ und die Umkugel $r_u=\frac{\sqrt{3}k}{2}=\sqrt{3}r_i$ . Also $\frac{r_u}{r_i}=\sqrt{3}$ , $\frac{O_a}{O_i}=3$ und $\frac{V_a}{V_i}=3\sqrt{3}$ .