Planimetrie

Testfragen Basics

Exercise 1: Recap

Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Ist die Aussage richtig, dann versuche sie zu begründen. Ist die Aussage falsch, dann gib ein Gegenbeispiel.

Zwei Geraden haben genau einen Schnittpunkt
Die Summe eines Winkels $\alpha$ und seines Stufenwinkels beträgt $180^\circ$ .
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$
Der $90^\circ$ -Winkel kann konstruiert werden.
Der $15^\circ$ -Winkel kann konstruiert werden.
Wird hintereinander an zwei verschiedenen Achsen gespiegelt, so erhält man eine Verschiebung.
Eine Punktspiegelung entspricht einer Drehung um $180^\circ$ .
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen.
Die Innenwinkelsumme eines $n$ -Ecks berechnet sich nach der Formel

2^{n-3}\cdot180^\circ.

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks liegt im Innern des Dreiecks.
Halbieren sich die Diagonalen im einem Viereck, und besitzt das Viereck mindestens einen rechten Winkel, so handelt es sich um ein Rechteck.
Ein Parallelogramm ist ein spezielles Trapez.
Ein Rhombus besitzt gleich viele Symmetrieachsen wie ein gleichseitiges Dreieck.
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ( $\gamma=90^\circ$ ) ist

A=\frac{ab}{2}

Die Mittelsenkrechte einer Sehne eines Kreises geht durch den Mittelpunkt des Kreises.
Der Kreisbogen eines Kreises ist proportional zu seinem Zentriwinkel.
Der Flächeninhalt eines Kreises ist proportional zu seinem Radius.
Die Mittellinie eines Trapezes ABCD mit den parallelen Seiten $a$ und $c$ hat die Länge

m=\frac{a+c}{2}

Die Peripheriewinkel über einer Sehne sind alle gleich gross und halb so gross wie ihr Zentriwinkel.
Der Satz des Thales ist eine direkte Folgerung aus der oben genannten Feststellung.

Solution

❌, die Geraden können parallel laufen. Dann haben sie keinen oder unendlich viele Schnittpunkte.

❌,

2\alpha

✓ für die Innenwinkelsumme. Für einen Beweis betrachte man eine Dreieckseite und ihre Parallele durch die gegenüberliegende Ecke. Die Stufen- und der Zentriwinkel zusammen ergeben

180^\circ

✓, Mittelsenkrechte

✓, man halbiert einen konstruierten

60^\circ

Winkel zweimal.

❌, denn beispielsweise zwei Achsenspiegelungen (

x

- und

y

-Achse) ergeben eine Drehung um

180^\circ

um den Ursprung.

✓, die Verbindung Punkt-Bildpunkt geht durch das Drehzentrum.

✓

❌, korrekt ist

(n-2)\cdot180^\circ

. Für das Dreieck haben wir oben gesehen, dass die Innenwinkelsumme

180^\circ

ist. Wird nun eine weitere Ecke hinzugefügt, so ergibt sich durch Verbinden der beiden nächstgelegenen Punkte ein zusätzliches Dreieck, die Innenwinkelsumme wächst also um

180^\circ

❌, da er Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist, kann er ausserhalb liegen; beispielsweise in einem stumpfwinkligen Dreieck.

✓, denn wenn sich die Diagonalen halbieren, dann haben wir ein Parallelogramm vorliegen. Ist dann noch ein Winkel

90^\circ

, so müssen es die andern auch sein (insbesondere die Gegenwinkel).

✓, ein Trapez braucht zwei Seiten, die parallel sind.

❌, weniger, wie man durch eine Skizze bestätigt.

❌, denn eine zwei Seiten entsprechen auch just den Höhen.

❌, denn die Radien zu den Sehnenendpunkten sind die Schenkel eines Dreiecks, dessen Höhe auf die Sehne durch den Mittelpunkt verlaufen muss.

❌,

b=\frac{2\pi r}{360^\circ}\cdot \alpha

✓,

A=\pi\cdot r^2

✓, eine Skizze motiviert die Aussage

✓

Betrachte beispielsweise die Sehne $AC$ . Benenne im Dreieck $AOC$ den Zentriwinkel $\delta$ und die Basiswinkel $\alpha$ . Die Basiswinkel für die beiden andern Dreiecke heissen $\beta$ bzw. $\gamma$ . Es ist $180^\circ-2\alpha=\delta$ , aber auch $180^\circ-2\alpha=2(\beta+\gamma)$ . Setze $\varphi:=\beta+\gamma$ und es folgt $2\varphi=\delta$ . Das heisst der Zentriwinkel $\delta$ ist doppelt so gross wie der Peripheriewinkel $\varphi$ über einer Sehne. 20. ✓, denn für $\delta=180^\circ$ ist $\varphi=90^\circ$ .

Konstruieren

Man hält grundsätzlich an folgenden Konventionen fest:

Konstruktionen sind mit Zirkel und Lineal durchzuführen.
Nicht konstruierbare Winkel misst man mit dem Geo-Dreieck (zB. $20^\circ$ )
Zu Geometrieaufgaben gehören im Allgemeinen eine Skizze und ein kurzer Konstruktionsbericht.

Exercise 2: Dreiecke konstruieren

Konstruiere Dreiecke aus folgenden Angaben:

a) $a=6\,\mathrm{cm}$ , $b=8\,\mathrm{cm}$ , $c=7\,\mathrm{cm}$

b) $c=5\,\mathrm{cm}$ , $a=8\,\mathrm{cm}$ , $\beta=40^\circ$

c) $a=8\,\mathrm{cm}$ , $\alpha=50^\circ$ , $\beta=70^\circ$

d) $a=5\,\mathrm{cm}$ , $b=8\,\mathrm{cm}$ , $\alpha=55^\circ$

e) $a=7\,\mathrm{cm}$ , $b=8\,\mathrm{cm}$ , $\alpha=55^\circ$

f) $a=9\,\mathrm{cm}$ , $b=8\,\mathrm{cm}$ , $\alpha=55^\circ$

Solution

a) Seite $a$ abtragen, Winkel $\beta$ und dann von $C$ aus mit der Länge $5$ abtragen um $A$ zu erhalten.

b) Man kann $\gamma=80^\circ$ ausrechnen und dann zusammen mit $\beta$ von $a$ aus abtragen.

c) $b$ und $\alpha$ abtragen, dann von $C$ aus die Länge von $a$ abtragen.

d) analog wie vorhin

e) analog wie vorhin

Winkel am Kreis

Es gilt bekanntlich folgender

Theorem 1: Peripheriewinkelsatz

Der Peripheriewinkel über einer Sehne $\overline{AB}$ ist halb so gross wie der zugehörige Zentriwinkel.

Proof

Verbinde die Ecken des Dreiecks mit dem Umkreismittelpunkt und rechne.

Note 1

Aus dem Beweis folgt direkt, dass alle Peripheriewinkel über gleichem Bogen gleich gross sind.

Exercise 3: Berechne \epsilon

Berechne den Winkel $\epsilon$ :

Solution

$\epsilon+4\epsilon+180^\circ=360^\circ$ , also $\epsilon=36^\circ$ .

Exercise 4: Berechne \epsilon II

Berechne den Winkel $\epsilon$ :

Solution

$2\epsilon =180^\circ-108^\circ$ , also $\epsilon=36^\circ$

Exercise 5: Berechne \epsilon III

Berechne den Winkel $\epsilon$ :

Solution

Brauche den skizzierten Kreisbogen, um dort ein gleichseitiges Dreieck zu skizzieren. Dann sieht man $2\epsilon = 90^\circ+60^\circ$ , also $\epsilon=75^\circ$ .

Exercise 6: Berechne \epsilon IV

Berechne den Winkel $\epsilon$ :

Solution

Das rechtwinklige Hilfsdreieck (dort wo sich die Radien treffen) liefert die Winkel $\alpha+\epsilon+\beta=90^\circ$ . Im Dreieck mit $\epsilon$ sind die Winkel auf dem Durchmesser $\alpha+\epsilon$ bzw. $\beta+\epsilon$ . Somit $2\epsilon+\alpha+\beta+\epsilon=180^\circ=2\epsilon+90^\circ$ und daraus $\epsilon=45^\circ$ .