Die Ableitung

Wir definieren nachträglich den Begriff der Stetigkeit über den Grenzwert:

Definition 1: Stetigkeit

Eine Funktion $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{R}$ heisst stetig in $x_0$ , falls

\lim_{h\to0}f(x_0+h) = f(x_0).

Ist $f$ stetig $\forall x_0\in\mathbb{D}$ , so nennen wir $f$ stetig.

Definition 2: Ableitung

Existiert für jedes $x$ in einem Intervall der Grenzwert

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x},

so kann damit eine neue Funktion $f'$ definiert werden. Diese Funktion $f'$ - die Symbolik stammt übrigens von Leonard Euler - nennt man Steigungsfunktion oder kurz Ableitung von $f$ . Wir nennen in diesem Fall $f$ auch differenzierbar.

Bei dieser Funktion $f'$ wird jedem $x$ aus dem Definitionsbereich genau eine reelle Zahl - nämlich $\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ - zugeordnet, was den Namen Funktion rechtfertigt. Durch $f'$ wird das Änderungsverhalten der Ausgangsfunktion $f$ charakterisiert.

Wir betrachten zuerst die Ableitung für Polynomfunktionen mit kleinem Grad. Ein Polynom $0$ -ten Grades $f(x)=a_0$ , eine konstante Funktion, muss Ableitung $0$ haben, da der Graph überall Steigung $0$ hat. Eine Gerade $g(x)=a_1x+a_0$ sollte Steigung $a_1$ haben:

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{a_1(x+h)+a_0-(a_1x+a_0)}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{a_1x+a_1h+a_0-a_1x-a_0}{h} = \lim_{h\to0}\frac{a_1h}{h} = a_1 \end{align*}

Exercise 1: Steigung der Parabel

Sei $a\in\mathbb{R}^*$ : Bestimme die Ableitung von $f(x) = ax^2$ .

Solution

Wir berechnen

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{a(x+h)^2-ax^2}{h} = \lim_{h\to0}\frac{ax^2+2axh+ah^2-ax^2}{h} = \lim_{h\to0}2ax+ah = 2ax.

Exercise 2: Ableitung Monom

Vervollständige die Tabelle.

$f(x)=$	$f'(x)=$
$x^4$
$x^3$
$x^2$
$x$
$x^0$
$\frac{1}{x}=x^{-1}$
$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$
$\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$

Solution

$f(x)=$	$f'(x)=$
$x^4$	$4x^3$
$x^3$	$3x^2$
$x^2$	$2x$
$x$	$1$
$x^0$	$0$
$\frac{1}{x}=x^{-1}$	$-x^{-2}$
$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$	$-2x^{-3}$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$	$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
$\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}$	$\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}$

(Tabelle kommentiert)

Wir begründen noch die Ableitung von $x^n$ für $n\in\mathbb{N}$ :

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{(x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+nxh^{n-1}+h^n)-x^n}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{h(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+nxh^{n-2}+h^{n-1})}{h}\\ &= \lim_{h\to0}nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+nxh^{n-2}+h^{n-1}\\ &= nx^{n-1} \end{align*}

Die beiden Funktionen $f$ und $g$ seien im betrachteten, offenen Intervall differenzierbar; dann gelten:

Eine konstante Funktion hat die Ableitung $0$ .

(c)'=0

Ein konstanter Summand fällt bei der Differenziation weg.

(f(x)+c)'= f'(x)

Ein konstanter Faktor bleibt bei der Differenziation erhalten.

(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)

Summen/Differenzen dürfen separat abgeleitet werden.

(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)

Exercise 3: Regeln beweisen

Beweise die vier Regeln mittels

F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}

Solution

a) $F(x)=c$ und daraus

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0 \end{align*}

b) $F(x)=f(x)+c$ und daraus

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+c-(f(x)+c)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) \end{align*}

c) $F(x)=c\cdot f(x)$ und daraus

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{c\cdot f(x+h)-(c\cdot f(x))}{h}\\ &= \lim_{h\to0}c\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = c\cdot f'(x) \end{align*}

Die obigen Regeln folgen unmittelbar aus der Definition der Ableitung; bei der letzten setzt man $\tilde{\varepsilon} = \frac{\varepsilon}{|c|}$ um einzusehen, dass man $c$ aus dem Limit ziehen kann.

Exercise 4: Ableiten

Differenziere die Funktionen

a) $\frac{1}{2}x^2-3x+2$

b) $5x^3+\frac{1}{3}x^2-2x-7$

c) $\frac{2}{x}-3x$

Solution

a) $x-3$

b) $15x^2+\frac{2}{3}x-2$

c) $-\frac{2}{x^2}-3$

Exercise 5: Grundlegende Ableitungen (Potenzregel)

Differenziere die folgenden Polynomfunktionen:

a) $f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 1$

b) $g(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + 9$

c) $h(x) = -x^5 + 2x^3 - 6x + \pi$

Solution

a) $f'(x) = 12x^2 - 14x + 5$

b) $g'(t) = t^3 - t$

c) $h'(x) = -5x^4 + 6x^2 - 6$

Exercise 6: Ableitungen mit negativen Exponenten

Schreibe die Terme zuerst als Potenzen (z.B. $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ) und leite dann ab.

a) $f(x) = 3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}$

b) $g(x) = \frac{x^3+2x}{x^2}$ (Tipp: Zuerst kürzen)

c) $h(x) = -\frac{7}{x^3} + 5x$

Solution

a) $f(x) = 3x^2 + 5x^{-1} - x^{-2}$ $f'(x) = 6x - 5x^{-2} + 2x^{-3} = 6x - \frac{5}{x^2} + \frac{2}{x^3}$

b) $g(x) = x + \frac{2}{x}$ $g'(x) = 1-\frac{2}{x^2}$

c) $h(x) = -7x^{-3} + 5x$ $h'(x) = 21x^{-4} + 5 = \frac{21}{x^4} + 5$

Exercise 7: Ableitungen mit Wurzelfunktionen

Schreibe die Wurzeln als gebrochene Exponenten (z.B. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ) und leite dann ab.

a) $f(x) = 2\sqrt{x} + 7x - 3$

b) $g(x) = 6\sqrt[3]{x} + x^3$

c) $h(t) = \frac{10}{\sqrt{t}} - \sqrt{2}$

Solution

a) $f(x) = 2x^{1/2} + 7x - 3$ $f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} + 7 = x^{-1/2} + 7 = \frac{1}{\sqrt{x}} + 7$

b) $g(x) = 6x^{1/3} + x^3$ $g'(x) = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} + 3x^2 = 2x^{-2/3} + 3x^2 = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + 3x^2$

c) $h(t) = 10t^{-1/2} - \sqrt{2}$ $h'(t) = 10 \cdot (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = -5t^{-3/2} = -\frac{5}{\sqrt{t^3}}$

Exercise 8: Weitere Ableitungen

Ermittle die Steigungsfunktion (die Ableitung) $f'$ für

a) die Geraden mit den Gleichungen $f(x)=x$ , $g(x)=2x-3$ ,

b) die Parabeln mit den Gleichungen $f(x)=x^2$ , $g(x)=3x^2-2$ ,

c) die Hyperbeln mit der Gleichung $f(x)=\frac{2}{x}$

und die Steigungen in den Punkten $P(3\mid\, ?)$ und $Q(-2\mid\, ?)$ .

Solution

Man geht jeweils über den Differenzialquotienten, um die zugehörige Ableitung zu finden. Exemplarisch an $f(x)=ax^2+bx+c$ :

\begin{align*} \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h\to0}\frac{a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{ax^2+2ahx+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c)}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{h(2ax+ah+b)}{h} = \lim_{h\to0}2ax+ah+b\\ &= 2ax+b \end{align*}

a) $f'(x)=1$ , $g'(x)=2$ und $f'(3)=1=f'(-2)$ , $g'(3)=2=g'(-2)$

b) $f'(x)=2x$ , $g'(x)=6x$ und $f'(3)=6$ , $f'(-2)=-4$ , $g'(3)=18$ , $g'(-2)=-12$

c) $f'(x)=-\frac{2}{x^2}$ und $f'(3)=-\frac{2}{9}$ , $f'(-2)=-\frac{1}{2}$

(Steigungsfunktion kommentiert)

Exercise 9: Glukose

Für die Masse $M$ (in g) von Glukose bei einem Stoffwechselexperiment in Abhängigkeit der Zeit $t$ (in h) gilt:

M(t)=4.5-0.03t^2.

a) Wie gross ist die durchschnittliche Änderung der Masse $M$ in den ersten beiden Stunden?

b) Berechne die momentane Änderung der Masse zu den Zeitpunkten $t=0$ und $t=2$ .

Solution

a) $\frac{\Delta M}{\Delta t}=\frac{M(2)-M(0)}{2}=\frac{4.38-4.5}{2}=-0.06$

b) $\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=-0.06t$ , also $M'(0)=0$ und $M'(2)=-0.12$ .

Exercise 10: Ein Klassiker

Gegeben sei die Funktion

f(x) = x(x+1)(x-1).

Unter welchen Winkeln schneidet der Graph die $x$ -Achse?

Finde die Funktionsgleichung der Tangente $T(x)$ an die Funktion $f$ an den Stellen

a) $x=-1$ und

b) $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Solution

Wir schreiben $f(x)=x(x+1)(x-1)=x^3-x$ , also $f'(x)=3x^2-1$ : $f'(-1)=2=f'(1)$ und $f'(0)=-1$ . Daher $\alpha_1 = \arctan(2)\approx63^\circ$ und $\alpha_2=\arctan(-1)=-45^\circ$ .

a) Die Tangente geht durch den Punkt $(-1\mid 0)$ und die Steigung beträgt $f'(-1)=2$ . In $T(x)=2x+q$ setzen wir den Berührungspunkt ein und erhalten nach kurzer Rechnung $T(x)=2x+2$ .

b) Die Tangente geht durch den Punkt $(\frac{\sqrt{3}}{3}\mid -\frac{2\sqrt{3}}{9})$ und die Steigung beträgt $f'(\frac{\sqrt{3}}{3})=0$ . In $T(x)=q$ setzen wir den Berührungspunkt ein und erhalten direkt $T(x)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ .

Exercise 11: Tangente an Polynomfunktion

Gegeben sei die Funktion $f(x)$ durch

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5

a) Berechne den Funktionswert an der Stelle $x=4$ .

b) Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=2$ .

c) Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente an der Stelle $x=2$ .

Solution

a) $f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) + 5 = 64 - 6(16) + 36 + 5 = 64 - 96 + 36 + 5 = 9$ .

b) Zuerst berechnen wir die erste Ableitung $f'(x)$ , die der Steigung der Tangente entspricht: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ Jetzt setzen wir $x=2$ ein: $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$ . Die Steigung beträgt $m = -3$ .

c) Für die Tangentengleichung $t(x) = mx + b$ benötigen wir die Steigung $m$ (aus b)) und einen Punkt $(x_1, y_1)$ auf dem Graphen. Wir kennen $m = -3$ und $x_1 = 2$ . Wir berechnen $y_1 = f(2)$ : $f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 5 = 8 - 6(4) + 18 + 5 = 8 - 24 + 18 + 5 = 7$ . Der Punkt ist $P(2, 7)$ . Jetzt setzen wir $m$ und $P$ in die Punktsteigungsform (oder $t(x)$ ) ein, um $b$ zu finden:

y = mx + b

7 = (-3)(2) + b

7 = -6 + b

b = 13

Die Funktionsgleichung der Tangente lautet $t(x) = -3x + 13$ .

Exercise 12: Tangente an Polynomfunktion II

Gegeben sei die Funktion $f(x)$ durch

f(x) = x^3 + (1+\sqrt{2})x^2 + (\sqrt{2}-12)x - 12\sqrt{2}

a) Berechne den Funktionswert an der Stelle $x=3$ .

b) 🧩 $x=3$ ist Nullstelle: Bestimme die übrigen Nullstellen von $f(x)$ mittels Polynomdivision durch $(x-3)$ .

c) Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=2$ .

d) Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente an der Stelle $x=2$ .

Solution

a) Es ist $f(3) = 0\quad\checkmark$ .

b) Wir führen eine Polynomdivision mit der ausmultiplizierten Form $f(x)$ durch. $(x^3 + (1+\sqrt{2})x^2 + (\sqrt{2}-12)x - 12\sqrt{2}) : (x-3) = x^2 + (4+\sqrt{2})x + 4\sqrt{2}$

Wir müssen nun die Nullstellen des quadratischen Rests $g(x) = x^2 + (4+\sqrt{2})x + 4\sqrt{2}$ finden. Die Nullstellen von $g(x)$ sind $x_2 = -4$ und $x_3 = -\sqrt{2}$ .

c) Zuerst berechnen wir die erste Ableitung $f'(x)$ aus der ausmultiplizierten Form: $f'(x) = 3x^2 + 2(1+\sqrt{2})x + (\sqrt{2}-12)$ $f'(x) = 3x^2 + (2+2\sqrt{2})x + \sqrt{2}-12$

Jetzt setzen wir $x=2$ ein, um die Steigung $m$ zu erhalten: $m = f'(2) = 3(2)^2 + (2+2\sqrt{2})(2) + \sqrt{2}-12$ $m = 3(4) + 4 + 4\sqrt{2} + \sqrt{2}-12$ $m = 12 + 4 + 4\sqrt{2} + \sqrt{2}-12$ $m = (12 + 4 - 12) + (4\sqrt{2} + \sqrt{2})$ $m = 4 + 5\sqrt{2}$ Die Steigung beträgt $4 + 5\sqrt{2}$ .

d) Für die Tangentengleichung $t(x) = mx + b$ benötigen wir die Steigung $m$ (aus c)) und den Punkt $P(2\mid f(2))$ . Wir haben $m = 4 + 5\sqrt{2}$ . Wir berechnen $f(2)$ (wieder mit der faktorisierten Form): $f(2) = (2-3)(2+\sqrt{2})(2+4)$ $f(2) = (-1)(2+\sqrt{2})(6)$ $f(2) = -6(2+\sqrt{2}) = -12 - 6\sqrt{2}$ Der Punkt ist $P(2\mid -12 - 6\sqrt{2})$ .

Jetzt setzen wir $m$ und $P$ in $y = mx + b$ ein, um $b$ zu finden:

\begin{align*} -12 - 6\sqrt{2} &= (4 + 5\sqrt{2})(2) + b\\ -12 - 6\sqrt{2} &= 8 + 10\sqrt{2} + b\\ b &= -12 - 6\sqrt{2} - 8 - 10\sqrt{2}\\ b &= (-12 - 8) + (-6\sqrt{2} - 10\sqrt{2})\\ b &= -20 - 16\sqrt{2} \end{align*}

Die Funktionsgleichung der Tangente lautet $t(x) = (4 + 5\sqrt{2})x - 20 - 16\sqrt{2}$ .

Exercise 13: Kugelvolumen

Differenziere die Funktion $V$ , deren Funktionswerte das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r$ angeben. Was fällt auf?

Solution

Aus $V(r)=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3$ folgt $V'(r)=4\pi r^2=O(r)$ .

Exercise 14: O'zapft is!

Am Oktoberfest in München sind in einem grossen Fass Bier anfänglich $2000\,\mathrm{Liter}$ Bier. Der Inhalt $V(t)$ des Fasses lässt sich in Abhängigkeit der Zeit $t$ in Minuten durch

V(t)=2000-\frac{5}{48}t^2+\frac{1}{3456}t^3

beschreiben.

a) Überprüfe, dass das Fass nach vier Stunden leer ist.

b) Wie viel Liter Bier fliessen genau 30 Minuten nach dem Anstich des Fasses in die Humpen?

c) Wann ist das Fest an seinem "Tiefpunkt" angelangt?

Solution

a) $V(240)=2000-\frac{5}{48}\cdot240^2+\frac{1}{3456}\cdot240^3=0$ .

b) $V'(t)=-\frac{5}{24}t+\frac{1}{1152}t^2\quad\implies\quad V'(30)\approx-5.5$ Liter pro Minute

c) Ich berechne den minimalen Bierfluss aus dem Fass pro Minute: Dies ist der Fall, wenn die momentane Änderung des Volumens $V'(t)$ minimal ist; das impliziert $V''(t)\stackrel{!}{=}0$ .

V''(t)=-\frac{5}{24}+\frac{1}{576}t\stackrel{!}{=}0,

was unmittelbar $t=120$ Minuten liefert.

Exercise 15: Graphen

Finde zu den fünf Graphen a bis e in der Abbildung jeweils die passende Ableitungsfunktion A bis E.

Solution

aD, bB, cE, dA, eC

Exercise 16: Hängebrücke

Die Tragseile einer Hängebrücke sind an den Pfeilern befestigt, die $250\,\mathrm{m}$ auseinander stehen; die Seile hängen annähernd in Form einer Parabel, deren tiefster Punkt $50\,\mathrm{m}$ unter den Aufhängungspunkten liegt. Berechne den Winkel zwischen Seil und Pfeiler.

Solution

Ich nehme den Scheitelpunkt in den Ursprung. Damit werden die Aufhängepunkte $A_1(-125\mid 50)$ und $a_2(125\mid 50)$ und wir nehmen $f(x)=ax^2$ an. Es folgt $50=a\cdot125^2$ und sofort $a=\frac{50}{125^2}=0.0032$ ,

f(x)=0.0032x^2.

Der Winkel am Aufhängepunkt bezüglich der Horizontalen ist $f'(125)$ . Es ist $f'(x)=0.0064$ . Daraus folgt $f'(125)=0.8$ und $\alpha=\arctan(0.8)\approx38.7^\circ$ . Also ist der Winkel zwischen Seil und Pfosten $180-90-38.7\approx51.3^\circ$ .

(Hängebrücke kommentiert)