Momentane Änderungsrate

Wir betrachten eine beliebige, zeitlich veränderliche Situation, deren einzelne Zustände durch die Funktion $f(t)$ beschrieben werden können. Man kann relativ einfach eine durchschnittliche Änderung des Funktionswertes über einem Bereich $[t_1,t_2]$ angeben, indem man die zu zwei bestimmten Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ gebildete Differenz der zugehörigen Funktionswerte $f(t_1)$ und $f(t_2)$ durch die Zeitspanne dividiert:

m = \frac{\text{Änderung von }f(t)}{\text{Änderung von }t} = \frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1} =: \frac{\Delta f}{\Delta t}

Man bezeichnet üblicherweise einen Zuwachs der Variablen $t$ mit $\Delta t$ und die entsprechende Änderung des Funktionswertes zwischen den Zeitpunkten $t$ und $t+\Delta t$ mit $\Delta f$ .

Da Zähler und Nenner jeweils Differenzen sind, heisst der Bruch Differenzenquotient; er gibt die Sekantensteigung über dem betrachteten Intervall an.

Jetzt betrachten wir den Bruch $\frac{\Delta f}{\Delta t}$ und lassen $\Delta t$ gegen Null streben: Zu Beginn gibt der Differenzenquotient die durchschnittliche Änderungsrate des Funktionswertes zwischen den Zeitpunkten $t$ und $t+\Delta t$ an. Wenn nun $\Delta t$ gegen Null strebt, so strebt $\Delta f$ auch gegen Null. Der Differenzenquotient $\frac{\Delta f}{\Delta t}\to\frac{0}{0}$ kann jedoch als Grenzwert $\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta f}{\Delta t}$ existieren. Dieser Grenzwert ist, falls er existiert, die momentane Änderungsgesrate des Funktionswertes $f(t)$ zum Zeitpunkt $t$ . Man schreibt dafür

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} := \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta f}{\Delta t}

und nennt diesen Grenzwert Differenzialquotient; er gibt die Tangentensteigung an der Stelle $t$ an.

Das Gesetz des freien Falls nach Galilei

Nach jahrelangen Experimenten und vielen theoretischen Anläufen konnte Galilei 1585 die Gesetze des freien Falls aufstellen: Ein auf die Erde herabfallender Körper legt in der Zeit $t$ den Weg

s(t)=4.9 t^2

zurück. Nach der Zeit $t$ hat der Körper die Geschwindigkeit $v(t)=9.8t\,\mathrm{m/s}$ , seine Beschleunigung ist zu jedem Zeitpunkt konstant, nämlich $9.8\,\mathrm{m/s^2}$ .

Mit der von Newton und Leibniz entdeckten Infinitesimalrechnung braucht man nur die Wegstreckenfunktion $s(t)=4.9t^2$ zu kennen. Die Geschwindigkeit ist die Änderung des Weges relativ zur Zeit, also der Differenzialquotient

\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{4.9(t+\Delta t)^2-4.9t^2}{\Delta t}

und kann berechnet werden:

v(t)=\lim_{\Delta t\to0}4.9\cdot 2t+4.9\Delta t=9.8t.

Exercise 1: Geschwindigkeit

Rechne nach, dass aus $s(t)$ mit Hilfe des Differentialquotienten $v(t)$ folgt.

Solution

\begin{align*} \lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta s}{\Delta t} &= \lim_{\Delta t\to0}\frac{4.9(t+\Delta t)^2-4.9t^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{4.9(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2)-4.9t^2}{\Delta t}\\ &= \lim_{\Delta t\to0}\frac{4.9(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2)-4.9t^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{9.8t\Delta t+4.9\Delta t^2}{\Delta t}\\ &= \lim_{\Delta t\to0}9.8t+4.9\Delta t=9.8t \end{align*}

Die Beschleunigung $a(t)$ ist die Veränderung der Geschwindigkeit relativ zur Zeit, also der Differenzialquotient

\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to0}\frac{9.8(t+\Delta t)-9.8t}{\Delta t} = 9.8 \,\mathrm{m/s^2}

Die Beschleunigung ändert sich nicht mehr mit der Zeit, sie ist konstant. Das hinter dem freien Fall stehende Naturgesetz, dass jeder frei fallende Körper mit der konstanten Beschleunigung $g$ von etwa $9.8\,\mathrm{m/s^2}$ auf die Erde fällt, tritt klar und ohne grossen Aufwand ans Licht.

Leibniz oder Newton?

Noch heute wird Newton als der grösste Physiker und als einer der grössten Mathematiker bezeichnet. Albert Einstein schrieb:

Für Newton war die Natur ein offenes Buch, dessen Buchstaben er mühelos lesen konnte.

Newton selbst sagte:

Mir selbst kommt es vor, als wäre ich wie ein Knabe gewesen, der am Strand des Meeres spielt und sich damit vergnügt, hier und da einen glatteren Kiesel oder eine schönere Muschel zu finden, während der grosse Ozean der Wahrheit unentdeckt vor mir lag.

An anderer Stelle erklärt er bescheiden, er habe nur deshalb weiterschauen können, weil er auf den "Schultern von Riesen" gestanden habe. Damit meinte er in erster Linie Archimedes (287 - 212 v.Chr.), Johannes Kepler (1571 - 1630), Galileo Galilei (1564 - 1642), Blaise Pascal (1623 - 1662), Pierre de Fermat (1601 - 1665) und René Descartes` (1596 - 1650).

Newtons Ergebnisse (Axiome, freier Fall, Planetenbewegung, Gravitation, Berechnung der Gezeiten, $\dots$ ), die schon 1671 in einem druckfertigen Manuskript vorlagen, erschienen erst 1687 in seinem Buch "Philosophiae naturalis principia mathematica", in dem die Bewegungsgesetze formuliert und damit die Grundlagen der Mechanik gelegt wurden. Erst durch Einstein wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts die Newton'sche Physik in einen noch tieferen Zusammenhang, den der Relativitätstheorie, eingebettet.

Leibniz war nicht nur ein bedeutender Mathematiker. Er sprach schon mit 12 Jahren griechisch und lateinisch, war Philosoph, Historiker, Jurist und Diplomat. Er lieferte wesentliche Beiträge zur Mechanik, Biologie und theoretischen Logik. 1700 gründete er die Berliner Akademie der Wissenschaften, war Erfinder einer Rechenmaschine, einer Universalsprache. Er machte unzählige alchemistische Versuche, kümmerte sich um Wasserförderung in den Bergwerken, Seidenraupenzucht und technische Verbesserungen von Maschinen. Leibniz war ein Universalgenie. 1675 gelingt Leibniz, unabhängig von Newton, die Entdeckung des "Calculus", wie er seine Version der Infinitesimalrechnung nannte. Er veröffentlichte bereits ab 1684 seine Ergebnisse. Dies führte denn auch zu einem hässlichen Prioritätsstreit.

Im diametralen Gegensatz zu seinem Rivalen Newton, der 1705 geadelt und 1727 feierlich mit einem Staatsbegräbnis in der Londoner Westminster Abtei beigesetzt wurde, war Leibniz bei seinem Fürsten in Ungnade gefallen und starb einsam und völlig verarmt.

Die Leibniz-Notation

Die rasche Verbreitung der Leibniz'schen Methoden und ihrer weitgefächerten Anwendungen auf dem Kontinent ist vor allem seiner genialen Wahl der Bezeichnungen und Symbole zu verdanken. Sein Notationssystem

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

für den Differenzialquotienten,

\int y\,\mathrm{d}x

für das Integral, wird noch heute so benutzt. Mit dieser Schreibweise war es möglich, Ergebnisse herzuleiten, ohne die tieferen Zusammenhänge zu verstehen.

Analysis

Das Teilgebiet Analysis

An der weiteren Entwicklung der Infinitesimalrechnung sind vor allem die Basler Mathematiker Jakob und Johann Bernoulli (1654 - 1705, 1667 - 1748) beteiligt. Von Johann Bernoulli stammt auch die Bezeichnung Integral. Beide Brüder waren Anhänger Leibniz und Newton gegenüber eher feindlich gesinnt.

Den wahren Durchbruch der Infinitesimalrechnung in den Naturwissenschaften und insbesondere der Mechanik aber erreichte der in Riehen geborene Leonhard Euler (1707 - 1783). 1979 wurde ihm zu Ehren die bis 1997 gebräuchliche 10-Franken Note gestaltet. Auf der Vorderseite erkannte man eine Zeichnung des idealen Zahn-Profils eines Zahnrades, eine von Eulers zahlreichen Entdeckungen. Den Hintergrund bildeten Diagramme, die Euler zur Darstellung logischer Schlüsse verwandte. Die drei Motive auf der Rückseite zeigten: Eine von Euler auf Grund von Berechnungen entworfene Wasserturbine, deren Grundidee noch heute bei modernen Turbinen in den Kohle- und Kernkraftwerken verwendet wird, ein Schema eines Strahlengangs durch ein System von Linsen, und eine Darstellung unseres Sonnensystems im Zusammenhang mit Eulers Mondtheorie, die für die Schifffahrt wichtigen Tafeln der Mondbewegung enorm verbesserte.

Eulers gesammelte Werke, die seit Jahrzehnten in Basel und Leningrad neu herausgegeben werden, umfassen bis jetzt etwa 100 Quartbände. Euler gilt als der letzte Mathematiker, der noch die gesamte zeitgenössische Mathematik beherrschte.

Im 19. Jahrhundert waren es neben Lagrange vor allem Pierre Simon Laplace (1749 - 1823), Adrien Marie Legendre (1752 - 1833), Augustin Louis Cauchy (1789 - 1864), Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), Bernhard Riemann (1826 - 1866) und Karl Weierstrass (1815 - 1897), die eine strenge Begründung und einen weiteren Ausbau der Infinitesimalrechnung erreichten.

In früheren Aufgaben wurde die durchschnittliche Änderung einer Grösse berechnet; beispielsweise die durchschnittliche Geschwindigkeit einer Rakete, wenn man das Weg-Zeit-Diagramm kennt:

\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}

wobei $\Delta s$ die Höhendifferenz und $\Delta t$ die Länge des zugehörigen Zeitintervalls ist. Wie gross ist aber die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, zum Beispiel $15\,\mathrm{s}$ nach dem Start? Einen ersten, noch ungenauen Näherungswert für die gesuchte Momentangeschwindigkeit liefert sicher die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall $[15,20]$ . Durch die Verkleinerung des Zeitintervalls kann die Genauigkeit verbessert werden.

Exercise 2: Freier Fall

Fällt ein Körper aus der Ruhelage im freien Fall $t$ Sekunden lang, so lässt sich der zurückgelegte Weg $s$ (in Meter) annähernd durch

s(t)=5t^2

berechnen.

Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeiten in den Zeitintervallen $[3,3.5]$ , $[3,3.2]$ , $[3,3.1]$ , $[3,3.05]$ . Wie gross ist die Momentangeschwindigkeit nach genau drei Sekunden?

Solution

Man hat für $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ und die immer kleiner werden Intervalle $32.5$ , $31$ , $30.5$ , $30.25$ Meter pro Sekunde. Vermutlich ist die Momentangeschwindigkeit nach 3 Sekunden $30\,\mathrm{m/s}$ .

Die entsprechende mathematische Formulierung lautet: Die Momentangeschwindigkeit $v(t_0)$ zum Zeitpunkt $t_0$ ist der Grenzwert, gegen den die Durchschnittsgeschwindigkeit $\bar{v}$ im Zeitintervall $\Delta t=t_1-t_0$ strebt, wenn $t_1$ gegen $t_0$ geht ( $\Delta t\rightarrow 0$ ). In Formeln:

v(t_0)=\lim_{t_1\rightarrow t_0}\bar{v}=\lim_{t_1\rightarrow t_0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{t_1\rightarrow t_0}\frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}.

$s(t)$ bezeichne die bis zum Zeitpunkt $t$ erreichte Höhe.

Kreistangenten an die Parabel

Tangenten an die Parabel

Wir betrachten die Funktion $f(x) = x^2$ an einer Stelle $a$ ; die Sekantensteigungen links- und rechtsseitig sind

\begin{align*} a<x &: \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = x+a > 2a\\ x<a &: \frac{f(a)-f(x)}{a-x} = x+a < 2a. \end{align*}

Mit dem Stetigkeitsargument bekannt aus den Kreistangenten setzen wir die Steigung $2a$ in $a$ ; daraus erhält man die Tangentengleichung

T_a(x) = 2a\cdot x-a^2.

Diese Tangente liegt strikt unterhalb der Tangente, denn

f(x)-T_a(x) = (x-a)^2 > 0

für $x\neq a$ und $0$ bei $x=a$ .

Nun betrachten wir denjenigen Kreis zur Tangente an $f$ in $x=a$ , dessen Radius senkrecht auf der Tangenten steht und seinen Mittelpunkt auf der Symmetrieachse der Parabel hat; $(a\mid a^2)$ ist Berührungspunkt der Parabel und der Tangente. Die Senkrechte auf $T_a(x)$ durch diesen Punkt ist

N_a(x) = -\frac{1}{2a}\cdot x +a^2+\frac{1}{2}

und wir erhalten den Mittelpunkt $M=N_a(0)=(0\mid a^2+\frac{1}{2})$ und den Radius $r=\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}$ .

Wir wissen, dass die Parabel oberhalb der Tangente verläuft; wir zeigen noch, dass die Parabel unterhalb des Kreises verläuft - also insgesamt verläuft die Parabel zwischen Kreis und Tangente. Die Kreisgleichung mit $y=x^2$ liefert:

\begin{align*} x^2 + (x^2-(a^2+\frac{1}{2}))^2 &= x^2+x^4-2x^2(a^2+\frac{1}{2})+(a^2+\frac{1}{2})^2\\ &= (x^2-a^2)^2+a^2+\frac{1}{4} > a^2+\frac{1}{4} =r \end{align*}

für $x\neq a$ und Gleichheit für $x=a$ .

Insgesamt haben wir also für die Parabel $y=x^2$ an der Stelle $a$ die Steigung $2a$ .

Tangenten von Funktionen

Eine Funktion $f$ sei im betrachteten Intervall $[a,b]$ stetig. Mit der Steigung der Sekante lässt sich das Änderungsverhalten der Funktion, d.h. die Steigung, an einer beliebigen, aber festgehaltenen Stelle $x_0\in[a,b]$ in einfacher Weise erklären. Will man nun das Änderungsverhalten der Funktion in $x_0$ exakt bestimmen, so ist dazu die Tangentensteigung im Punkt $P=(x_0\mid f(x_0))$ zu berechnen.

Wir haben gesehen, dass sich bei einer Parabel zu jedem Punkt ein Kreis finden lässt, so dass der Graph der Parabel zwischen Kreis und Kreistangente verläuft; also können wir für die Approximationsungleichungen Parabeln statt Kreise verwenden - das ist rechnerisch praktischer:

Definition 1: Tangente an eine Funktion

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $a$ eine Tangente

T_a(x) = m(x-a) + f(a),

wenn es ein Intervall $[a-\delta, a+\delta]$ und eine Konstante $B$ gibt, so dass

\begin{align*} \forall x\in[a-\delta, a+\delta] : |f(x)-T_a(x)| \leq B\cdot|x-a|^2 \end{align*}

Nachdem die Tangente im Punkt eines Graphen definiert ist, kann das Tangentenproblem rechnerisch formuliert werden. Es genügt, die Steigung der Tangente in $P$ zu ermitteln, da die Stelle $x_0$ bzw. der Punkt $P$ gegeben ist, womit die Lage der Tangente eindeutig bestimmt ist.

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Definition 2: Differenzialquotient

Die Steigung der Tangente erhält man für $\Delta x\rightarrow0$ ; sie ist also

\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Falls dieser Grenzwert existiert - was ja keinesfalls sicher ist, da sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen Null streben ( $x_0$ ist eine Unbestimmtheitsstelle) - nennt man ihn den Differenzialquotienten von $f$ an der Stelle $x_0$ .

Der Differenzialquotient ist der wichtigste Begriff der Differenzialrechnung. Mit ihm bewältigten Newton und Leibniz den Übergang von der antiken zur modernen Mathematik, da sie jetzt das momentane Änderungsverhalten einer Funktion bzw. die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle $x_0$ rechnerisch untersuchen konnten. Sowohl der Name Differenzialquotient als auch die Schreibweise $\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x}$ stammen von Leibniz.

Note 1

Für die praktische Berechnung des Differenzialquotienten ersetzt man $x$ durch $x_0+h$ und lässt $h$ gegen $0$ streben. Der Differenzialquotient erhält dann die Form

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)_{x=x_0} = \frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Exercise 3: Differenzialquotient

Vervollständige die Tabelle mit weiteren Beispielen für lokale Änderungen.

$x$	$f(x)$	$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$
Abszisse	Ordinate	Graphensteigung
Zeit	Ort
Zeit		Beschleunigung
Zeit	elektrische Ladung
	Energie	Leistung
	chem. Konzentration	chem. Reaktionsgeschw
Zeit		Wachstumsgeschwindigkeit
Zeit	Geldwert

Solution

$x$	$f(x)$	$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$
Abszisse	Ordinate	Graphensteigung
Zeit	Ort	Geschwindigkeit
Zeit	Geschwindigkeit	Beschleunigung
Zeit	elektrische Ladung	Strom
Zeit	Energie	Leistung
Zeit	chem. Konzentration	chem. Reaktionsgeschw
Zeit	Population	Wachstumsgeschwindigkeit
Zeit	Geldwert	Inflation/Deflation

Exercise 4: Differenzialquotient für Funktionen

Berechne den Differenzialquotienten der Funktion $f$ an der Stelle $x$ und die Steigung der Tangente im Punkt $P(x\mid f(x))$ . Überprüfe dein Ergebnis mit einer Skizze.

a) $f(x)=x^2$ in $x=1$

b) $g(x)=-x^3$ in $x=-1$

Solution

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0}2x+h=2x \end{align*}

also $\frac{\mathrm{d}f(1)}{\mathrm{d}x}=2$

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} &= \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-(x+h)^3+x^3}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{-x^3-3x^2h-3xh^2-h^3+x^3}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{-(x+h)^3+x^3}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-3x^2h-3xh^2-h^3}{h}\\ &=\lim_{h\to0}-3x^2-3xh-h^2=-3x^2 \end{align*}

also $\frac{\mathrm{d}g(-1)}{\mathrm{d}x}=-3$

Exercise 5: Momentangeschwindigkeit

Berechne die Momentangeschwindigkeit zur Zeit $t=2$ für eine Bewegung mit $s(t)=t^2+3t$ , wenn $t$ in Sekunden und $s(t)$ in Meter angegeben sind.

Solution

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} &= \lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(t+h)^2+3(t+h)-(t^2+3t)}{h}\\ &= \lim_{h\to0}\frac{(t^2+2th+h^2)+3(t+h)-(t^2+3t)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2th+h^2+3h}{h}\\ &= \lim_{h\to0}2t+h+3=2t+3 \end{align*}

und damit $v(2)=7\,\mathrm{m/s}$ . (Momentangeschwindigkeit kommentiert)