Ereigniswahrscheinlichkeit in Laplace-Experimenten

In Laplace Experimenten ist die Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten besonders einfach. Nehmen wir an, ein Laplace Experiment hat mm Ergebnisse, und das Ereignis EE enthält kk dieser Ergebnisse, sagen wir E={o1,o2,...,ok}E=\{o_1,o_2, ..., o_k\}.

Daraus ergibt sich das folgende Theorem:

Theorem 1

Betrachte ein Laplace Experiment mit Ergebnisraum S={o1,…,om}S=\{o_1,\dots, o_m\}, daher mit mm möglichen Ergebnissen, und sei E⊂SE\subset S ein Ereignis mit kk dieser Ergebnisse. Dann gilt

Equation 1
p(E)=km=∣E∣∣S∣p(E)=\frac{k}{m}=\frac{|E|}{|S|}

Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Laplace Experimenten

Und wenn wir die Ergebnisse in EE als "wünschenswert" betrachten, dann können wir schreiben

Equation 2
p(E)=Anzahl gewu¨nschte ErgebnisseAnzahl mo¨gliche Ergebnissep(E)=\frac{\text{Anzahl gewünschte Ergebnisse}}{\text{Anzahl mögliche Ergebnisse}}

Laplaceformel Wünschensenswert über Mögliche

Proof

Da jeder Ausgang mit der Wahrscheinlichkeit p=1mp=\frac{1}{m} eintritt, und die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe seiner Ausgangswahrscheinlichkeiten ist, erhalten wir

p(E)=p(o1)+...+p(ok)=1m+...+1m=km\begin{array}{lll} p(E)&=& p(o_1)+...+p(o_k)\\[0.5em] &=& \frac{1}{m}+...+\frac{1}{m}\\[0.5em] &=& \frac{k}{m} \end{array}

Unter Verwendung der Mengenschreibweise haben wir ∣S∣=m\vert S\vert =m, wobei SS der Stichprobenraum ist, und ∣E∣=k\vert E\vert =k, so dass wir die obige Formel umschreiben können:

p(E)=∣E∣∣S∣p(E)=\frac{\vert E\vert}{\vert S\vert}

Wende die Formel auf die folgenden Probleme an. Wichtig: überlege immer, ob wir wirklich ein Laplace Experiment vor uns haben. Sonst gilt obige Formel nämlich nicht.

Exercise 1
F1

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eine gerade Zahl ist.

F2

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Kopf.

F3

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden beobachteten Zahlen zwischen 44 und 77 (einschliesslich 44 und 77) liegt.

F4

In einer Gruppe von 8282 Personen gibt es 1010 grosse Personen. Eine Person wird zufällig ausgewählt, wobei jede Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt werden kann. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, eine grosse Person auszuwählen.

F5

In einer Klasse mit 2525 Schüler wird festgestellt, dass 66 der Schüler sowohl Tennis als auch Schach spielen, 1010 spielen nur Tennis und 33 spielen nichts. Ein Schüler wird zufällig aus der Gruppe ausgewählt, wobei jeder Schüler mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt werden kann. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler

  1. sowohl Tennis als auch Schach spielt.
  2. nur Schach spielt.
  3. nicht Schach spielt.
F6

In einer Gruppe von Personen haben 72%72\% grüne Augen. Eine Person wird zufällig ausgewählt, wobei jede Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt werden kann. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person grüne Augen hat.

F7

In einer Stadt gibt es 33 Zeitungen. 20%20\% der Bevölkerung lesen Zeitung A (und vielleicht andere Zeitungen), 16%16\% lesen Zeitung B (und vielleicht andere Zeitungen), und 14%14\% lesen Zeitung C (und vielleicht andere Zeitungen). 8%8\% lesen die Zeitungen A und B (und vielleicht eine weitere), 5%5\% lesen die Zeitungen A und C (und vielleicht eine weitere), und 4%4\% lesen die Zeitungen B und C (und vielleicht eine weitere). 4%4\% lesen alle drei Zeitungen, der Rest liest überhaupt nicht.

Eine Person in der Stadt wird zufällig ausgewählt, wobei jede Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt werden kann.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person genau eine Zeitung liest.

  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person keine einzige Zeitung liest.

Solution
A1

Laplace Experiment mit S={1,2,3,4,5,6}S=\{1,2,3,4,5,6\} and E={2,4,6}E=\{2,4,6\}. Also p(E)=∣E∣∣S∣=36=0.5‾p(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{6}=\underline{0.5}.

A2

Laplace Experiment mit S={HH,HT,TH,TT}S=\{HH, HT, TH, TT\} and E={HH,HT,TH}E=\{HH,HT,TH\}. Also p(E)=∣E∣∣S∣=34=0.75‾p(E)=\frac{|E|}{|S|}=\frac{3}{4}=\underline{0.75}

A3

Laplace Experiment mit ∣S∣=36\vert S\vert =36 und E=18E=18 (siehe unten). Also p(E)=1836=12‾p(E)=\frac{18}{36}=\underline{\frac{1}{2}}

A4

Es handelt sich um ein Laplace Experiment, da jede Person die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, ausgewählt zu werden. Die möglichen Ergebnisse sind die Personen, also SS="die Personen"={P1,...,P82}\{P_1,...,P_{82}\}, ∣S∣=82\vert S\vert=82. Nehmen wir an, die grossen Personen sind P1,...,P10P_1,..., P_{10}, es ist also E={P1,...,P10}E=\{P_1,...,P_{10}\}, und somit ∣E∣=10\vert E\vert = 10. Daraus folgt p(E)=∣E∣∣S∣=1082‾p(E)=\frac{\vert E\vert}{\vert S\vert}=\underline{\frac{10}{82}}

A5

SS="die Schüler"={s1,...,s25}\{s_1,...,s_{25}\}, ∣S∣=25\vert S\vert=25. Jedes Ergebnis (ein Schüler) hat die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit →\rightarrow Laplace-Experiment. Ereignis TT="Schüler spielt Tennis" (z.B. T={s1,s4,...}T=\{s_1,s_4, ...\}), Ereignis CC="Schüler spielt Schach" (z.B. C={s1,s2,...}C=\{s_1,s_2, ...\}). Siehe Abbildung unten.

  1. p=∣T∩C∣∣S∣=625‾p=\frac{\vert T\cap C\vert}{\vert S\vert }=\underline{\frac{6}{25}}
  2. p=625‾p=\underline{\frac{6}{25}}
  3. p=1325‾p=\underline{\frac{13}{25}}
A6

Laplace Experiment, und EE="grüne Augen". Nehmen wir zum Beispiel an, dass 100100 Personen in der Gruppe sind, so haben 7272 grüne Augen, also ∣E∣=72\vert E\vert =72, und p(E)=∣E∣∣S∣=72100=0.72p(E)=\frac{\vert E\vert }{\vert S\vert} = \frac{72}{100}=0.72. Beachte, dass wir eine beliebige andere Anzahl von Personen in der Gruppe annehmen können, und immer p(E)=0.72‾p(E)=\underline{0.72} erhalten werden.

A7

Zeichne ein Venn-Diagramm und gebe die Wahrscheinlichkeiten an, beginnend mit den 4%4\% (siehe Abbildung unten).

  1. p("1 Zeitung")=11%+8%+9%=28%‾p(\text{"1 Zeitung"})=11\%+8\%+9\%=\underline{28\%}
  2. p("0 Zeitungen")=100%−11%−8%−9%−4%−1%−4%=63%‾p(\text{"0 Zeitungen"})=100\%-11\%-8\%-9\%-4\%-1\%-4\%=\underline{63\%}