Eigenschaften von Ereigniswahrscheinlichkeiten

Hier sind einige nützliche Eigenschaften von Ereigniswahrscheinlichkeiten. Wir werden sie immer wieder brauchen.

Theorem 1

Betrachten drei Ereignisse $E\subset S, F\subset S$ und $G\subset S$ eines Zufallsexperiments mit Ergebnisraum $S$ . Es gilt:

Equation 1

\begin{array}{lll} p(\{ \})&=&0\\ p(S)&=&1\\ p(E\cup F)&=&p(E)+p(F)-p(E\cap F)\\ p(E\cup F)&=&p(E)+p(F) \text{ falls $E, F$ disjunkt}\\ p(E\cup F \cup G)&=&p(E)+p(F)+p(G) \text{ falls $E, F, G$ disjunkt}\\ p(E^\prime)&=&1-p(E) \end{array}

Wahrscheinlichkeitsaxiome

Proof

Das Ereignis $\{\}$ enthält keine Ergebnisse, und da ein Zufallsexperiment immer genau ein Ergebnis liefert, tritt dieses Ereignis nie ein. Die relative Häufigkeit dieses Ereignisses ist also null, und somit gilt $p(\{\})=0$ .
Das Ereignis $S$ enthält alle möglichen Ergebnisse, und da ein Zufallsexperiment immer ein Ergebnis liefert, tritt dieses Ereignis jedes Mal ein. Also $p(S)=1$ .
Die Aussage folgt aus der folgenden Abbildung:
Da $E$ und $F$ disjunkt sind, ist es nicht möglich, dass $E$ und $F$ in im gleichen Experiment auftreten. Somit ist $p(E \cap F)=0$ und somit mit (3),
$p(E\cup F)=p(E)+p(F)-0=p(E)+p(F)$
Beachte, dass wir auch argumentieren können, dass $p(E\cap F)=0$ ist, weil $E\cap F=\{ \}$ .
Die Ereignisse $E$ und $H=F\cup G$ sind ebenfalls paarweise disjunkt (die Schnittmenge ist leer), also gilt mit (4):
$\begin{array}{lll} p(E\cup F\cup G) &= & p(E\cup H)\\ &=&p(E)+p(H)\\ &=& p(E)+p(F\cup G)\\ &=& p(E)+p(F)+p(G) \end{array}$
Ein anderes Argument lautet wie folgt: Wiederholen wir das Experiment $N$ mal. Da $E$ , $F$ und $G$ nie im selben Experiment vorkommen, muss die prozentuale Häufigkeit des Auftretens von $p(E\cup F\cup G)$ die Summe der Prozentsätze $p(E)+p(F)+p(G)$ sein.
Es ist $p(E\cup E^\prime)=p(S)=1$ und da $E$ und $E^\prime$ disjunkt sind, haben wir auch $1=p(E\cup E^\prime)=p(E)+p(E^\prime)$ , und somit $p(E^\prime)=1-p(E)$ .

Wir könnten die Aussage auch direkt beweisen. Wiederholen wir das Experiment $N$ mal ( $N$ gross). Bei jeder Wiederholung wird entweder $E$ oder das entgegengesetzte Ereignis $E^\prime$ eintreten. Somit ist $p(E)+p(E^\prime)=1$ , und somit $p(E^\prime)=1-p(E)$ .

Die Richtigkeit obiger Aussagen wird besonders deutlich, wenn wir die Ereignisse in einem Venn-Diagramm darstellen und die Kreisflächen mit der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses identifizieren. Das Rechteck, das $S$ anzeigt, hat die Fläche $1$ .

Die Verwendung von Venn-Diagrammen auf diese Weise hilft auch bei der Lösung von weiteren Problemen. Siehe die folgende Übung.

Exercise 1

Betrachte ein Zufallsexperiment, bei dem das Ereignis $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0.6$ und das Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0.3$ eintritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ und $B$ in demselben Experiment auftreten, sei $0.2$ . Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

$A$ oder $B$ eintritt.
$B$ nicht auftritt.
$A$ auftritt und $B$ nicht auftritt.
weder $A$ noch $B$ eintreten.

Solution

Zeichne das Venn-Diagramm und gib die Wahrscheinlichkeiten an, beginnend mit dem Schnittpunkt $p(A\cap B)=0,2$ .

$p(A\cup B)=0.4+0.2+0.1=\underline{0.7}$
$p(B^\prime)=1-0.3=\underline{0.7}$
$p(A\cap B^\prime)=\underline{0.4}$
$p((A\cup B)^\prime) =1-p(A\cup B)=1-0.7=\underline{0.3}$