Warum Analysis?

Analysis besteht aus zwei Teilen: Differentialrechnung und Integralrechnung. Diese beiden Teile bilden eine effektive Methode, komplizierte Probleme mit dem folgendem Rezept zu lösen:

Teile das Problem zuerst in kleine Teilprobleme auf (Differentialrechnung), löse dann das Problem für diese kleinen Teilprobleme, was meistens einfacher ist, und setze dann die gelösten Teilprobleme wieder zum Ganzen zusammen, um die Lösung für das komplizierte Problem zu erhalten (Integralrechnung).

Wir beginnen mit der Diskussion der Differentialrechnung. Zuerst geben wir aber noch ein paar Beispiele, wie wir Probleme mit der oben beschriebenen Strategie "teilen und zusammensetzen" lösen können.

Example 1

Wir wissen, dass der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ gegeben ist durch $2\pi r$ . Benutze die, um die Formel für die Kreisfläche herzuleiten.

Es war Archimedes, der die Kreisfläche auf diese Art bestimmte.

Wir könnten die Kreisfläche auch in konzentrische Ringe aufteilen, welche wir dann glätten und entlang der $x$ -Achse aufreihen:

Example 2

Johann Kepler (1571 - 1630) studierte die Bewegung der Planeten um die Sonne. Er fand heraus, dass sich ein Planet entlang einer Ellipse um die Sonne bewegt, aber entlang dieser Ellipse bewegt sich der Planet mit unterschiedlicher Geschwindigkeit: je näher bei der Sonne, desto grösser ist die Geschwindigkeit. Aber was ist die Regel, welche bestimmt, wie sich die Geschwindigkeit ändert? Kepler fand heraus, dass sich eine Planet immer so schnell bewegt, dass er im gleichen Zeitabstand die gleiche Fläche überstreicht:

Um diese Fläche zu bestimmen, musste Kepler die Fläche von Segmenten einer Ellipse (oben grau eingezeichnet) bestimmen, was nicht trivial ist. Er brauchte dazu eine ähnliche Methode wie wir für die Bestimmung der Kreisfläche angewendet haben: Er zerlegte die Fläche in kleinere Segmente, welche er durch Dreiecke approximierte. Dann summierte er diese Dreiecksflächen um die gesuchte Fläche zu bekommen.

Und noch ein letztes Beispiel.

Example 3

Eine Auto bewegt sich entlang einer geraden Strasse mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v=5m/s$ , wobei zur Zeit $t=0$ das Auto sich am Ort $s_0=3m$ befindet. Das Geschwindigkeits-Zeit Diagramm ist somit eine horizontale Gerade (Bild links):

Wo befindet sich das Auto nach $t=10 s$ ? Wegen

s=s_0+v\cdot t

wissen wir, dass dies am Ort $s(10)=3+5\cdot 10= \underline{53 m}$ ist. Beachte, dass die Distanz $v\cdot t=5\cdot 10 m$ , welche das Auto in der Zeit $t=10 s$ zurücklegt, gerade die Fläche unter der horizontalen Gerade des Geschwindigkeits-Zeit Diagramms ist (siehe Bild oben, rechts).

Dasselbe gilt, falls sich das Auto mit einer variablen Geschwindigkeit entlang der Strasse bewegt, etwa so, wie unten im Geschwindigkeits-Zeit Diagramm gezeigt (Bild links, die Funktion der Kurve ist $v(t)=0.2 t^2-0.001 t^4 m/s$ , dies ist aber nicht weiter von Bedeutung):

Es gilt dann immer noch, dass die Distanz, welche das Auto in der Zeit $t=10s$ zurücklegt, gerade die Fläche unter der Kurve Geschwindigkeits-Zeit Diagramms ist (siehe Bild oben, rechts). Wir müssen also diese Fläche bestimmen.

Und wie schon in den vorhergehenden Beispielen machen wir das, indem wir zuerst die Fläche in kleine Teilflächen zerlegen (Balken), und die Flächen dieser Balken dann aufaddieren (siehe Bild unten). Wie wir das machen können, und wie wir die exakte Fläche bekommen können, lernen wir in der Differential und Integralrechnung.

Eine andere Frage die wir klären werden ist die der momentanen Geschwindigkeit. Laut dem Graphen oben ändert die die Geschwindigkeit des Autos von einem Moment zu nächsten (der Graph is ja gekrümmt). Wie definieren wir aber die Geschwindigkeit in einem bestimmten Moment? Geschwindigkeit is ja definiert als die gefahrene Distanz per einem Zeitintervall. Wiederum hilft uns die Analysis, dies exakt zu definieren.