Tangenten

Wir starten mit der Diskussion der Differentialrechnung. Zwei wichtige Konzepte sind die Tangente (diese Kapitel) und die Sekante (nächstes Kapitel).

Betrachte eine geschmeidige Kurve (daher ohne Ecken) und ein Punkt $A$ auf dieser Kurve. So eine Kurve ist unten gezeigt.

Die Tangente an diese Kurve im Punkt $A$ ist diejenige Gerade, welche die Kurve im Punkt $A$ berührt, aber nicht kreuzt. Sie bleibt also in der Nähe von $A$ immer auf der gleichen Seite der Kurve. Aber beachte, dass die Tangente bei $A$ die Kurve überall sonst kreuzen kann.

Beachte, da die Tangente eine gerade Linie ist, können wir eine lineare Funktion

finden, deren Graphen gerade die Tangente ist. Wir nennen die obige Gleichung auch Tangentengleichung. Zur Erinnerung, $a$ ist die Steigung der Geraden, und $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt, daher $b$ ist der Ort auf der $y$-Achse, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.

Wie wir später sehen werden, lassen sich viele interessante Problem auf die Bestimmung der Steigung einer Tangente zurückführen. Die Differentialrechnung erlaubt es uns, diese Tangentengleichung für viele verschiedene Kurven zu bestimmen.

Für einige Sonderfälle können wir die Tangentengleichung auch ohne Differentialrechnung bestimmen. Siehe das Beispiel unten.

Exercise 1

Gegeben ist ein Kreis mit Radius $1$ und Zentrum im Koordinatennullpunkt. Der Punkt $A$ ist auf dem Kreis, und bildet eine $30^\circ$ Winkel mit dem Kreiszentrum und der $x$-Achse (siehe Bild unten). Bestimme die Tangentengleichung an den Kreis bei $A$. Tipp: Trigonometrische Funktionen

Solution

Beachte, dass bei $A$ der Radius und die Tangente einen rechten Winkel bildet. Wir können also die trigonometrischen Funktion anwenden.

Die Tangentengleichung ist $t(x)=ax+b$. Für die Steigung $a$ gilt (siehe Bild unten):

$$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan(60^\circ)=1.732$$

Wir müssen aber den negativen Wert für die Steigung nehmen, da die Gerade abfallend ist.

Um $b$ zu finden, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck mit Hypotenuse $H=b$ (siehe Bild unten). Wir sehen, dass

$$\sin(30^\circ)=\frac{R}{H}=\frac{1}{b}$$

und deshalb

$$b=\frac{1}{\sin(30^\circ)}=2$$

Die Tangentengleichung ist also

$$t(x)=-1.732 x +2$$