Die Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Es gilt das folgende (wobei xx Radianten sind):

sin⁡(x)→′cos⁡(x)cos⁡(x)→′−sin⁡(x)tan⁡(x)→′1cos⁡2(x)\boxed{\begin{array}{ll} \sin(x) & \overset{\prime}{\rightarrow} & \cos(x)\\ \cos(x) & \overset{\prime}{\rightarrow} & -\sin(x)\\ \tan(x) & \overset{\prime}{\rightarrow} & \frac{1}{\cos^2(x)} \end{array}}

Wir geben keinen formalen Beweis. Eine graphische Ableitung von sin⁡(x)\sin(x) und cos⁡(x)\cos(x) machen die ersten beiden Formeln aber plausiblen (siehe Aufgaben unten). Der Beweis der dritten Formel, die Ableitung der Tangensfunktion, verschieben wir auf später, wenn wir die Quotientenregel kennenlernen.

Exercise 1

Skizziere die Ableitung der Graphen von sin⁡(x)\sin(x) und cos⁡(x)\cos(x) und zeige damit, dass die ersten zwei Regeln oben stimmen könnten:

sin⁡(x)→′cos⁡(x)cos⁡(x)→′−sin⁡(x)\begin{array}{ll} \sin(x) & \overset{\prime}{\rightarrow} & \cos(x)\\ \cos(x) & \overset{\prime}{\rightarrow} & -\sin(x)\end{array}
Solution

Beachte, falls die Zahlenwerte von xx Grade bezeichnen, so erhalten wir einen anderen Graphen mit anderen Steigungen. Zum Beispiel, am Punkt x=0x=0 is die Steigung der Tangente dann viel kleiner (siehe unten). Es gilt dann also nicht mehr, dass

sin⁡(x)→′cos⁡(x)\sin(x) \overset{\prime}{\rightarrow} \cos(x)

Deshalb ist es immer wichtig, beim Ableiten Radianten zu benutzen.

Exercise 2

  1. Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von ff bei x=1x=1:

    1. f(x)=3cos⁡(x)f(x)=3\cos(x)
    2. f(x)=sin⁡(x)−2cos⁡(x)+3x−4ln⁡(x)+5⋅1.5xf(x)=\sin(x) - 2\cos(x) + 3\sqrt{x} - 4\ln(x)+5\cdot 1.5^x
    3. f(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)f(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)

  2. Was sind die Schnittwinkel zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion?

  3. Eine Tangente an den Graphen von f(x)=4sin⁡(x)−0.5x+1f(x)=4\sin(x)-0.5x+1 beschreibt einen 30∘30^\circ Winkel mit der xx-Achse. Wo schneidet diese Tangente die yy-Achse?

Solution

  1. Es ist

    1. f′(x)=3⋅(−sin⁡(x))=−3sin⁡(x)f'(x)=3\cdot(-\sin(x))=-3\sin(x), also f′(1)=−3⋅sin⁡(1)=−2.524‾f'(1)=-3\cdot \sin(1)=\underline{-2.524}
    2. f′(x)=cos⁡(x)+2sin⁡(x)+1.5x−1/2−4x+5ln⁡(1.5)⋅1.5xf'(x)=\cos(x)+2\sin(x)+1.5 x^{-1/2}-\frac{4}{x}+5\ln(1.5)\cdot 1.5^x, also f′(1)=cos⁡(1)+2sin⁡(1)+1.5−4+5ln⁡(1.5)⋅1.5=2.764‾f'(1)=\cos(1)+2\sin(1) + 1.5 -4+5\ln(1.5)\cdot 1.5 = \underline{2.764}
    3. Beachte, dass f(x)=1f(x)=1 für alle xx, es ist also f′(x)=0f'(x)=0 für alle xx.

  2. f(x)=sin⁡(x)f(x)=\sin(x), g(x)=cos⁡(x)g(x)=\cos(x). Schnittpunkt: finde xx mit

    sin⁡(x)=cos⁡(x)→tan⁡(x)=1\sin(x)=\cos(x)\rightarrow \tan(x)=1

    und somit x=arctan⁡(1)=π/4x=\arctan(1)=\pi/4.

    Winkel zwischen ff und der xx-Achse: αf=arctan⁡(f′(π/4))=35.26∘\alpha_f = \arctan(f'(\pi/4)) =35.26^\circ, Winkel zwischen gg und der xx Achse: αg=arctan⁡(g′(π/4))=−35.26∘\alpha_g = \arctan(g'(\pi/4)) =-35.26^\circ. Von einem Skizze sehen wir, dass der (kleinere) Winkel zwischen den beiden Tangenten gegeben ist durch α=35.26+35.26=70.52∘‾\alpha=35.26+35.26=\underline{70.52^\circ}

  3. Finde zuerst einen Punkt PP wo die Tangente den Punkt berührt, wobei die Tangente einen 30∘30^\circ Winkel mit der xx-Achse bildet. Die Steigung der Tangente ist somit tan⁡(30∘)=13=0.577...\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577.... Finde also einen Wert xx mit

    f′(x)=4cos⁡(x)−0.5=0.577f'(x)=4\cos(x)-0.5=0.577

    und somit x=arccos⁡(0.269)=1.298x=\arccos(0.269)=1.298 und y=f(1.298)=4.203y=f(1.298)=4.203. Es folgt P(1.298∣4.203)‾\underline{P(1.298\vert 4.203)}.

    Zweitens, finde den Schnittpunkt der Tangente mit der yy-Achse. Dazu müssen wir zuerst die Tangentengleichung finden. Sie ist t(x)=0.577⋅x+bt(x)=0.577\cdot x + b, und wegen t(1.298)=4.203t(1.298)=4.203 folgt 0.577⋅1.298+b=4.2030.577\cdot 1.298+b=4.203 und somit b=3.454‾b=\underline{3.454} (bb ist der Schnittpunkt mit der yy-Achse) .