Die Ableitung des Logarithmus

Gegeben sei die logarithmische Funktion $f(x)=\log_a(x)$ , wobei $a$ die Basis ist. Zum Beispiel, $f(x)=\ln(x)$ (daher, die Basis ist Euler's Konstante $e$ ), oder $f(x)=log_2(x)$ .

Die Ableitung des Logarithmus ist

\boxed{ f(x)=\log_a(x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{\ln(a)\cdot x}}

Example 1

$f(x)=\log_2(x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{\ln(2)\cdot x}=\frac{1}{0.693...\cdot x}$
$f(x)=\ln(x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{\ln(e)\cdot x}=\frac{1}{x}$

Mit graphischem Ableiten sehen wir, dass diese Formel Sinn ergibt. Unten gezeigt ist der Graph der Funktion $f(x)=\ln(x)$ , und auch eine Skizze des Graphen von $f^\prime$ , welche wir durch graphisches Ableiten erhalten haben. Wir sehen, dass dieser Graph $f^\prime$ in der Tat die Form des Graphen $\frac{1}{x}$ besitzt.

Show

Da der Graph jeder logarithmischen Funktion ähnlich aussieht, ist klar, dass die Ableitung jeder logarithmischen Funktion ebenfalls ähnlich aussehen wird, also wieder von der Form $\frac{1}{x}$ ist. Die Ableitung könnte natürlich auch eine andere Funktion sein, wie etwa $\frac{3}{x}$ oder $\frac{1}{x^2}$ . Graphisches Ableiten ist nicht genau genug, um dies entscheiden zu können. Wir brauchen also einen formalen Beweis. Wir führen diesen durch am Beispiel der logarithmischen Funktion $f(x)=\log_2(x)$ . Siehe dazu die folgende Aufgabe.

Exercise 1

Beweise, dass die Ableitung der Funktion $f(x)=\log_2(x)$ die Funktion $f'(x)=\frac{1}{\ln(2)\cdot x}$ ist. Beantworte dazu die unten stehenden Fragen. Wir brauchen ebenfalls, dass die Ableitung von $g(x)=2^x$ die Funktion $g'(x)=\ln(2)\cdot 2^x$ ist.

F1) Betrachte den Punkt $P(x\vert y)$ . Falls $P$ an der Diagonalen reflektiert wird, was sind die Koordinaten des reflektieren Punkts $P'$ ?

Show

Lösung: Reflektiere ein paar Punkte. Wir sehen sofort, dass die Koordinaten vertauscht werden müssen:

P(x\vert y) \rightarrow P'(y\vert x)

F2) Betrachte die Gerade $t$ mit Steigung $a$ . Wenn wir $t$ an der Diagonalen reflektieren, was ist die Steigung der reflektieren Linie $t'$ ?

Show

Lösung: Die Steigung von $t'$ is $a'=\frac{1}{a}$ .

Um dies zu sehen, nimm zwei Punkte $A(x_A\vert y_A)$ und $B(x_B\vert y_B)$ auf $t$ und bilde das Steigungsdreieck zwischen diesen Punkten. Die Steigung von $t$ ist $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ . Die reflektierten Punkte $A'$ und $B'$ sind auf $t'$ und haben die Koordinaten $A'(y_A\vert x_A)$ und $B'(y_B \vert x_B)$ . Die Steigung von $t'$ ist also

a'=\frac{x_B-x_A}{y_B-y_A}=\frac{1}{\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}=\frac{1}{a}

F3) Die Graphen der Funktionen $f(x)=\log_2(x)$ und $g(x)=2^x$ sind unten gezeigt. Beachte, dass wenn wir den Graphen von $f$ an der Diagonale reflektieren, so erhalten wir den Graphen von $g$ . Sehen wir das auch mit einer Rechnung? Zum Beispiel, nehme den Punkt $A$ auf dem Graphen von $f$ mit der $x$ -Koordinate $x=2.5$ . Was für Koordinaten hat der reflektierte Punkt, und ist dieser Punkt auf dem Graphen von $g$ ?

Show

Lösung: Da $A$ auf dem Graphen von $f$ ist, ist die $y$ -Koordinaten von $A$ gegeben durch $y=\log_2(2.5)$ , also $A(2.5\vert \log_2(2.5))$ .

Um die Koordinaten von $A^\prime$ zu erhalten, müssen wir die Koordinaten von $A$ vertauschen, also

A^\prime(\log_2(2.5)\vert 2.5)

Ist Punkt $A^\prime$ auf dem Graphen von $g$ ? Dies ist dann der Fall, falls $g(\log_2(2.5))=2.5$ . Und dies ist in der Tat der Fall, da

g(\log_2(2.5))=2^{\log_2(2.5)}=2.5

F4) Wir setzen alles zusammen. Kann nun gezeigt werden, dass $f'(2.5)=\frac{1}{\ln(2) \cdot 2.5}$ ? Und allgemeiner, kann gezeigt werden, dass $f'(x)=\frac{1}{\ln(2)\cdot x}$ ?

Hint: Brauche, dass $g'(x)=\ln(2)\cdot 2^x$ .

Show

Lösung: Betrachte die Tangente $t$ zum Graphen von $f$ am Punkt $A(2.5\vert \log_2(2.5))$ und bezeichne die Steigung dieser Tangente mit $a$ . Wir haben also $a=f'(2.5)$ . Wir wollen nun den Wert von $a$ finden.

Beachte, dass die an der Diagonalen reflektierte Gerade $t'$ durch den Punkt

A'(\log_2(2.5)\vert 2.5)

geht (siehe Q1 und Q3) und die Tangente an den Graphen von $g$ ist. Wir wissen, dass die Steigung dieser Geraden $t'$ gegeben ist durch

a'=g'(\log_2(2.5))=\ln(2)\cdot 2^{\log_2(2.5)}=\ln(2)\cdot 2.5

(siehe Hinweis), und da

a=\frac{1}{a'}

(wegen Q2) folgt

a=\frac{1}{\ln(2)\cdot 2.5}

Das Argument für beliebe Werte $x$ geht analog.

Exercise 2

F1

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\log_3(x)-x^2+3$ .

Skizziere den Graphen von $f$ (mit oder ohne TA).
Finde die Koordinate des höchsten Punktes $P$ auf dem Graphen von $f$ (Hinweis: überlege, was die Steigung der Tangente an diesem höchsten Punkt sein muss).

F2

Eine Gerade $l$ geht durch den Koordinatennullpunkt und berührt den Graphen der Funktion $f(x)=\log_5(x)$ im Punkt $P$ .

Finde die Koordinaten von $P$ .
Finde den Schnittwinkel zwischen $l$ und der $x$ -Achse.

Solution

A1

Um den Graphen von $f$ mit dem Taschenrechner zu plotten, brauchen wir die Umformung $\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$ . Wir können also schreiben
$\log_3(x)=\frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(x)}$
or also
$\log_3(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(x)}$
Der Graph ist unten gezeigt.
Die Tangente am höchsten Punkt muss die Steigung $0$ besitzen. Wir müssen also einen Werte $x$ so finden, dass
$f'(x)=\frac{1}{\ln(3)x}-2x=0$
Es folgt $x=\sqrt{\frac{1}{2\ln(3)}}=0.675$ und somit $\underline{P(0.675\vert 2.187)}$ .

A2

Nimm an, $P$ habe die (unbekannte) $x$ -Koordinate $u$ , daher $P(u\vert\log_5(u))$ . Wir müssen $u$ finden. Skizziere die Situation. Beachte, dass wir die Steigung $a$ von $l$ auf zwei Arten ausdrücken können:

Da $l$ durch den Nullpunkt und den Punkt $P(\vert\log_5(u))$ geht, gilt $\Delta x = u$ and $\Delta y=\log_5(u)$ . Es ist also
$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\log_5(u)}{u}$
Da $l$ die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x=u$ ist, muss gelten $a=f'(u)=\frac{1}{\ln(5)u}$ .

Wir müssen also $u$ so finden, dass beide Ausrücke denselben Wert ergeben:
$\frac{\log_5(u)}{u} = \frac{1}{\ln(5)u}$
Multiplizieren wir beide Seiten bei $u$ , bekommen wir
$\log_5(u) = \frac{1}{\ln(5)}$
und somit gilt
$\underbrace{5^{\log_5(u)}}_{=u}=5^{\frac{1}{\ln(5)}}$
also $u=2.718$ und $\underline{P(2.718\vert 0.621)}$ . Die Steigung von $l$ ist $a=\frac{1}{\ln(5)\cdot 2.718}=0.229$ , der Schnittwinkel mit der $x$ -Achse ist $\arctan(0.229)=\underline{12.877}$