Höhere Ableitungen

Gegeben sei eine Funktion ff und die Ableitung f′f'. Die Ableitung wird auch erste Ableitung genannt. Da f′f' wie auch ff eine Funktion ist, können wir auch die Ableitung der Funktion f′f' bestimmen. Wir nennen diese Funktion die zweite Ableitung, und sie wird mit f′′f^{\prime\prime} (sage: ff Strich Strich) bezeichnet. Die dritte Ableitung ist dann die Ableitung von f′′f^{\prime\prime}, und so weiter:

f′ = Ableitung von ff′′ = Ableitung von f′f′′′ = Ableitung von f′′f(4) = Ableitung von f′′′f(5) = Ableitung von f(4)......\boxed{\begin{array}{ll} f^\prime & \text{ = Ableitung von $f$}\\ f^{\prime\prime} & \text{ = Ableitung von $f^{\prime}$}\\ f^{\prime\prime\prime} & \text{ = Ableitung von $f^{\prime\prime}$}\\ f^{(4)} & \text{ = Ableitung von $f^{\prime\prime\prime}$}\\ f^{(5)} & \text{ = Ableitung von $f^{(4)}$}\\ ... & ...\\ \end{array}}
Example 1

Finde die sechste Ableitung der Funktion f(x)=x4f(x)=x^4.

Solution

f′(x)=4x3f′′(x)=4⋅3x2=12x2f′′′(x)=12⋅2x1=24xf(4)(x)=24⋅1x0=24f(5)(x)=0f(6)(x)=0\begin{array}{lll} f'(x) & = 4 x^3 &\\ f^{\prime\prime}(x) & = 4 \cdot 3 x^2 & = 12 x^2 \\ f^{\prime\prime\prime}(x) & = 12\cdot 2 x^1 & = 24 x \\ f^{(4)}(x) & = 24\cdot 1x^0 & =24 \\ f^{(5)}(x) & = 0 & \\ f^{(6)}(x) & = 0 & \\ \end{array}

Betrachten wir nochmals das Beispiel oben. Die erste Ableitung f′(x)=4x3f'(x)=4x^3 ist die Formel, um die Steigung der Tangente an den Graphen von ff bei xx zu berechnen. Analog, f′′(x)=12x2f^{\prime\prime}(x)=12x^2 ist die Formel, um die Steigung der Tangente and den Graphen von f′f' bei xx zu berechnen. Und mit f′′′(x)=24xf^{\prime\prime\prime}(x)=24x berechnet sich die Steigung der Tangente an den Graphen von f′′f^{\prime\prime}.

Wir können also die höheren Ableitung ebenfalls durch graphisches Ableiten skizzieren. Um zum Beispiel f′′f^{\prime\prime} zu skizzieren, bestimmen wir zuerst den Graphen von f′f' durch graphisches Ableiten von ff, und basierend auf diesen Graphen f′f' dann den Graphen f′′f^{\prime\prime}.

Example 2

Der Graph der Funktion ff ist unten gezeigt. Kopiere den Graph (mehr oder weniger genau) auf ein Blatt, und bestimme durch graphisches Ableiten den Graphen von f′′f^{\prime\prime}.

Solution
Exercise 1

  1. Bestimme f(4)f^{(4)}:

    1. f(x)=x7f(x)=x^7
    2. g(x)=exg(x)=e^x
    3. h(x)=sin⁡(x)h(x)=\sin(x)
    4. k(x)=ln⁡(x)k(x)=\ln(x)
    5. m(x)=x⋅xm(x)=\sqrt{x}\cdot x

  2. Bestimme f′′′(1)f^{\prime\prime\prime}(1) für die Funktion f(x)=3x4−5x3+2x2+1f(x)=3x^4-5x^3+2x^2+1.

Solution

  1. Es ist

    1. f(x)=x7→f′(x)=7x6→f′′(x)=7⋅6x5=42x5→f′′′(x)=42⋅5x4=210x4→f(4)(x)=210⋅4x3=840x3‾f(x)=x^7\rightarrow f^\prime(x)=7x^6\rightarrow f^{\prime\prime}(x)=7\cdot 6x^5=42x^5 \rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=42\cdot 5x^4=210x^4\rightarrow f^{(4)}(x)=210\cdot 4x^3=\underline{840 x^3}
    2. g(x)=ex→g′(x)=g′′(x)=g′′′(x)=g(4)(x)=ex‾g(x)=e^x \rightarrow g^\prime(x)=g^{\prime\prime}(x)=g^{\prime\prime\prime}(x)=g^{(4)}(x)=\underline{e^x} 3. h(x)=sin⁡(x)→h′(x)=cos⁡(x)→h′′(x)=−sin⁡(x)→h′′′(x)=−cos⁡(x)→h(4)(x)=−(−sin⁡(x))=sin⁡(x)‾h(x)=\sin(x) \rightarrow h^\prime(x)=\cos(x)\rightarrow h^{\prime\prime}(x)=-\sin(x) \rightarrow h^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos(x) \rightarrow h^{(4)}(x)=-(-\sin(x))=\underline{\sin(x)} ... und es fängt wieder an! 4. k(x)=ln⁡(x)→k′(x)=1x=x−1→k′′(x)=−1x−2=−x−2→k′′′(x)=−(−2x−3)=2x−3→k(4)(x)=2(−3x−4)=−6x−4=−6x4‾k(x)=\ln(x) \rightarrow k^\prime(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\rightarrow k^{\prime\prime}(x)=-1x^{-2}=-x^{-2} \rightarrow k^{\prime\prime\prime}(x)=-(-2x^{-3})=2x^{-3} \rightarrow k^{(4)}(x)=2(-3x^{-4})=-6x^{-4}=\underline{-\frac{6}{x^4}}
    3. m(x)=x⋅x=x1.5→m′(x)=1.5x0.5→m′′(x)=0.75x−0.5→m′′′(x)=−0.375x−1.5→m(4)=0.5625x−2.5‾m(x)=\sqrt{x}\cdot x = x^{1.5} \rightarrow m^\prime(x)=1.5x^{0.5} \rightarrow m^{\prime\prime}(x)=0.75 x^{-0.5} \rightarrow m^{\prime\prime\prime}(x)=-0.375x^{-1.5} \rightarrow m^{(4)}=\underline{0.5625 x^{-2.5}}

  2. f(x)=3x4−5x3+2x2+1→f′(x)=12x3−15x2+4x→f′′(x)=36x2−30x+4→f′′′(x)=72x−30→f′′′(1)=72⋅1−30=42‾f(x)=3x^4-5x^3+2x^2+1 \rightarrow f^\prime(x)=12x^3-15x^2+4x \rightarrow f^{\prime\prime}(x)=36x^2-30x+4 \rightarrow f^{\prime\prime\prime}(x)=72x-30 \rightarrow f^{\prime\prime\prime}(1)=72\cdot 1-30=\underline{42}