Die Produktregel

Wir wissen bereits, wie man die Ableitung einer Summe von zwei Funktionen uu und vv bildet. Dies ist die Summenregel:

f(x)=u(x)+v(x)f′(x)=u′(x)+v′(x)\begin{array}{lll} f(x) &= &u(x)+v(x)\\ f'(x) & = & u'(x)+v'(x) \end{array}

Hier ist ein Beispiel mit u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=sin⁡(x)v(x)=\sin(x):

f(x)=x2+sin⁡(x)f′(x)=2x+cos⁡(x)\begin{array}{lll} f(x) &= &x^2+\sin(x)\\ f'(x) & = & 2x+\cos(x) \end{array}

Was ist das Produkt zweier Funktionen

f(x)=u(x)⋅v(x)?f(x)=u(x)\cdot v(x) ?

Dazu brauchen wir die Produktregel. Sie lautet wie folgt:

f(x)=u(x)⋅v(x)f′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\boxed{\begin{array}{lll} f(x) & = &u(x)\cdot v(x)\\ f'(x) & = & u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \end{array}}

Also: Nimm die Ableitung der ersten Funktion und kopiere die zweite, dann kopiere die erste und nimm die Ableitung der zweiten. Für den Beweis siehe einer der Übungen unten.

Hier ist die Regel in Aktion, wieder mit u(x)=x2u(x)=x^2 und v(x)=sin⁡(x)v(x)=\sin(x):

f(x)=x2sin⁡(x)f′(x)=2xsin⁡(x)+x2cos⁡(x)\begin{array}{lll} f(x) &= &x^2 \sin(x)\\ f'(x) & = & 2x\sin(x)+x^2\cos(x) \end{array}
Note 1

  1. Die zur Summe analoge Regel f(x)=u(x)⋅v(x)→f′(x)=u′(x)⋅v′(x)f(x)=u(x)\cdot v(x) \rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot v'(x) ist falsch.

  2. Manchmal kann man die Anwendung der Produktregel vermeiden indem die Potenzregel angewandt wird: Es sei zum Beispiel

    f(x)=x2⋅x3f(x)=x^2\cdot x^3

    Mit Hilfe der Produktregel haben wir

    f′(x)=2x⋅x3+x2⋅3x2=2x4+3x4=5x4\begin{array}{lll} f^\prime(x) & = & 2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2\\ & = & 2x^4+3x^4\\ & = & 5x^4\\ \end{array}

    Unter Verwendung der Potenzregeln haben wir

    f(x)=x2⋅x3=x5f′(x)=5x4\begin{array}{lll} f(x) &= &x^2\cdot x^3\\ & = & x^5\\ f'(x) & = & 5x^4\\ \end{array}
Exercise 1
F1

Finde die Ableitung der folgenden Funktionen mit zwei verschiedenen Methoden. Die eine beinhaltet Potenzgesetze, Vereinfachen und/oder Erweitern, die andere ist die Produktregel.

  1. f(x)=x2⋅x4f(x)=x^2\cdot x^4
  2. f(x)=(x+1)(x−3)f(x)=(x+1)(x-3)
  3. f(x)=x2xf(x)=x^2\sqrt{x}
F2

Wir wissen bereits, wie man die Ableitung einer Funktion findet, die mit einer Konstanten multipliziert wird, z. B.

f(x)=3⋅sin⁡(x)f(x)=3\cdot \sin(x)

Die Ableitung lautet

f′(x)=3⋅cos(x)f'(x)=3\cdot cos(x)

das heisst, wir kopieren einfach die Konstante und nehmen die Ableitung des sin⁡\sin. Die konstante Zahl 33 kann auch als Funktion betrachten, welche immer den Output 33 besitzt, g(x)=3g(x)=3 für alle xx. In diesem Sinne können wir f(x)=3sin⁡(x)f(x)=3\sin(x) als das Produkt der beiden Funktionen

f(x)=g(x)⋅sin⁡(x)f(x)=g(x)\cdot \sin(x)

betrachten. Wende die Produktregel an und zeigen Sie, dass wir immer noch f′(x)=3cos⁡(x)f'(x)=3\cos(x) erhalten.

F3

Bestimme die folgenden Ableitungen

  1. f(x)=xcos⁡(x)f(x)=\sqrt{x} \cos(x)
  2. f(x)=2x⋅log⁡2(x)f(x)=2^x \cdot \log_2(x)
  3. f(x)=2xexf(x)=2x e^{x}
  4. f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\frac{\ln(x)}{x}
  5. f(x)=x2⋅ex⋅sin⁡(x)f(x)=x^2 \cdot e^x \cdot \sin(x)
  6. f(x)=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)
  7. f(x)=(ln⁡(x))2f(x)=(\ln(x))^2
F4

Beweise die Produktregel mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Solution
A1

  1. Potenzregel:

    f(x)=x2⋅x4=x6f′(x)=6x5\begin{array}{lll} f(x)&=&x^2\cdot x^4\\ &=&x^6\\ f^\prime(x)&=&6x^5 \end{array}

    Produktregel:

    f′(x)=2x⋅x4+x2⋅4x3=2x5+4x5=6x5\begin{array}{lll} f^\prime(x)&=& 2x\cdot x^4+x^2\cdot 4x^3\\ &=&2x^5+4x^5\\ &=&6x^5 \end{array}

  2. Multipliziere aus:

    f(x)=(x+1)(x−3)=x2−2x−3f′(x)=2x−2\begin{array}{lll} f(x)&=&(x+1)(x-3)\\ &=&x^2-2x-3\\ f^\prime(x)&=&2x-2 \end{array}

    Produktregel:

    f′(x)=1⋅(x−3)+(x+1)⋅1=x−3+x+1=2x−2\begin{array}{lll} f^\prime(x)&=&1\cdot (x-3)+(x+1)\cdot 1\\ &=&x-3+x+1\\ &=&2x-2 \end{array}

  3. Potenzregel:

    f(x)=x2x=x2x1/2=x2.5f′(x)=2.5x1.5\begin{array}{lll} f(x)&=&x^2\sqrt{x}\\ &=&x^2 x^{1/2}\\ &=&x^{2.5}\\ f^\prime(x)&=&2.5 x^{1.5} \end{array}

    Produktregel:

    f(x)=x2⋅x0.5f′(x)=2x⋅x0.5+x2⋅0.5x−0.5=2x1.5+0.5x1.5=2.5x1.5\begin{array}{lll} f(x)&=&x^2\cdot x^{0.5}\\ f^\prime(x)&=&2x\cdot x^{0.5} + x^2\cdot 0.5 x^{-0.5}\\ &=&2x^{1.5}+0.5x^{1.5}\\ &=&2.5x^{1.5} \end{array}
A2
f′(x)=0⋅sin⁡(x)+3⋅cos⁡(x)=3cos⁡(x)\begin{array}{lll}f^\prime(x)&=&0\cdot \sin(x)+3\cdot \cos(x)\\ &=&3\cos(x)\end{array}
A3

  1. Es ist

    f(x)=x1/2cos⁡(x)f′(x)=12x−1/2cos⁡(x)+x1/2⋅(−sin⁡(x))=12xcos⁡(x)−xsin⁡(x)\begin{array}{lll} f(x) &= & x^{1/2} \cos(x)\\ f^\prime(x) &= & \frac{1}{2}x^{-1/2}\cos(x)+x^{1/2}\cdot (-\sin(x))\\ &= & \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos(x)-\sqrt{x}\sin(x)\\ \end{array}

  2. Es ist

    f(x)=2x⋅log⁡2(x)f′(x)=ln⁡(2)⋅2x⋅log⁡2(x)+2x⋅1ln⁡(2)⋅x=2x(ln⁡(2)log⁡2(x)+1ln⁡(2)⋅x)\begin{array}{lll} f(x)&=&2^x \cdot \log_2(x)\\ f'(x)&=&\ln(2)\cdot 2^x\cdot \log_2(x)+2^x\cdot \frac{1}{\ln(2)\cdot x} \\ &=& 2^x (\ln(2)\log_2(x)+ \frac{1}{\ln(2)\cdot x})\end{array}

  3. Es ist

    f(x)=2x⋅exf′(x)=2⋅ex+2x⋅ex=2ex(1+x)\begin{array}{lll} f(x)&=&2x \cdot e^{x}\\ f^\prime(x)&=&2\cdot e^{x} + 2x\cdot e^{x}\\ &=&2e^{x}(1+x) \end{array}

  4. Es ist

    f(x)=x−1⋅ln⁡(x)f′(x)=−x−2ln⁡(x)+x−1⋅1x=1x2(1−ln⁡(x))\begin{array}{lll} f(x)&=&x^{-1} \cdot \ln(x)\\ f^\prime(x)&=&-x^{-2}\ln(x)+x^{-1}\cdot \frac{1}{x}\\ &=&\frac{1}{x^2}(1-\ln(x))\\ \end{array}

  5. Wende die Produktregel zweimal an:

    f(x)=x2⏟u(x)⋅ex⋅sin⁡(x)⏟v(x)f′(x)=2x⏟u′(x)⋅ex⋅sin⁡(x)⏟v(x)+x2⏟u(x)⋅(ex⋅sin⁡(x)+ex⋅cos⁡(x)⏟v′(x))\begin{array}{lll} f(x)&=&\underbrace{x^2}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x \cdot \sin(x)}_{v(x)}\\ f^\prime(x)&=&\underbrace{2x}_{u^\prime(x)}\cdot \underbrace{e^x \cdot \sin(x)}_{v(x)} \\ &+& \underbrace{x^2}_{u(x)} \cdot (\underbrace{e^x \cdot \sin(x)+e^x \cdot \cos(x)}_{v^\prime(x)}) \end{array}

  6. Es ist

    f(x)=sin⁡(x)⋅cos⁡(x)f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\begin{array}{lll} f(x)&=&\sin(x)\cdot \cos(x)\\ f^\prime(x)&=&\cos(x)\cdot\cos(x)+\sin(x)\cdot(-\sin(x)\\ &=&\cos^2(x)-\sin^2(x)\end{array}

  7. Es ist

    f(x)=ln⁡(x)⋅ln⁡(x)f′(x)=1x⋅ln⁡(x)+ln⁡(x)⋅1x=2ln⁡(x)x\begin{array}{lll} f(x)&=&\ln(x)\cdot\ln(x)\\ f^\prime(x)&=&\frac{1}{x}\cdot \ln(x)+\ln(x)\cdot\frac{1}{x}\\ &=&\frac{2\ln(x)}{x} \end{array}
A4

Mit f(x)=u(x)⋅v(x)f(x)=u(x)\cdot v(x) und einem kleinen hh in der Nähe von Null folgt:

f′(x)≈f(x+h)−f(x)h=u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)h\begin{array}{lll} f'(x) &\approx& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=& \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\ \end{array}

Als Nächstes wenden wir ein wenig Magie an. Wir schreiben den Ausdruck

u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)

auf eine kompliziertere Weise als

(u(x+h)−u(x))⋅v(x)+(v(x+h)−v(x))⋅u(x+h)(u(x+h)-u(x))\cdot v(x)+ (v(x+h)-v(x))\cdot u(x+h)

Warum? Weil wir am Ende den Ausdruck

v(x)⋅u′(x)+u(x)⋅v′(x)v(x)\cdot u'(x) + u(x)\cdot v'(x)

haben wollen, und indem wir ihn auf diese komplizierte Weise schreiben, werden wir genau dies erhalten:

(u(x+h)−u(x))⋅v(x)+(v(x+h)−v(x))⋅u(x+h)=u(x+h)v(x)−u(x)v(x)+v(x+h)u(x+h)−v(x)u(x+h)=−u(x)v(x)+v(x+h)u(x+h)=u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)\begin{array}{l} (u(x+h)-u(x))\cdot v(x)+ (v(x+h)-v(x))\cdot u(x+h) \\ = u(x+h)v(x)-u(x)v(x)+v(x+h)u(x+h)-v(x)u(x+h)\\ = -u(x)v(x)+v(x+h)u(x+h)\\ = u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) \end{array}

Wir haben jetzt also

f′(x)≈f(x+h)−f(x)h=u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)h=(u(x+h)−u(x))⋅v(x)+(v(x+h)−v(x))⋅u(x+h)h=v(x)⋅u(x+h)−u(x)h+u(x+h)⋅v(x+h)−v(x)h≈v(x)⋅u′(x)+u(x)⋅v′(x)\begin{array}{lll} f'(x) &\approx& \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=& \frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\ &=& \frac{(u(x+h)-u(x))\cdot v(x)+ (v(x+h)-v(x))\cdot u(x+h) }{h}\\ &=& v(x)\cdot \frac{u(x+h)-u(x)}{h}+u(x+h)\cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}\\ &\approx& v(x)\cdot u'(x) + u(x)\cdot v'(x) \end{array}

q.e.d