Die Euler'sche Zahl

Wir haben für die Polarform einer komplexen Zahl die Schreibweise $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ ("$r$-mal Einheitszeiger mit Winkel $\varphi$") eingeführt. Bisher handelte es sich dabei um eine reine Schreibweise. Von der Interpretation "$\mathrm{e}$ hoch $\mathrm{i}$ mal $\varphi$" haben wir bei allen Herleitungen oder Beweisen keinen Gebrauch gemacht. In diesem Abschnitt werden wir plausibel machen, dass die komplexe Zahl $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ tatsächlich als $\mathrm{e}$ hoch $\mathrm{i}$ mal $\varphi$ zu verstehen ist.

Die Zahl

wurde nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707-1783) benannt. Diese Eulersche Zahl ist definiert als

Die Zahlen $(1+\frac{1}{n})^n$ nähern sich für $n$ gegen unendlich immer mehr und ausschliesslich der bestimmten Zahl $2.718\dots$.

Allgemeiner gilt für jede Zahl $a\in\mathbb{R}$

was im Spezialfall $a=1$ mit dem Obigen übereinstimmt. In diesem Ausdruck treten nur Grundrechenarten auf, die auch in $\mathbb{C}$ ausgeführt werden können. Wegen des Permanenzprinzips sollte daher auch $\mathrm{e}^z$ mit $z\in\mathbb{C}$ definiert sein.

Example 1

Wir versuchen, mit $a = \mathrm{i}\frac{\pi}{2}$ eingesetzt

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\cdot\frac{\pi}{2}\right)^n$$

zu bestimmen. Dazu betrachten wir die Entwicklung in der Tabelle:

$n$	$(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\cdot\frac{\pi}{2})^n$
1	$1+\mathrm{i}\cdot 1.570796\dots$
2	$0.383149\dots+\mathrm{i}\cdot 1.570796\dots$
10	$0.014381\dots+\mathrm{i}\cdot 1.129518\dots$
100	$0.000130\dots+\mathrm{i}\cdot 1.012411\dots$
1000	$0.000001\dots+\mathrm{i}\cdot 1.001234\dots$
100000	$0.000000\dots+\mathrm{i}\cdot 1.000012\dots$

Geometrisch sehen die ersten drei Näherungen wie folgt aus:

Für die Polarform $r_ne^{\mathrm{i}\varphi_n}$ des Faktors $(1+\frac{\mathrm{i}}{n}\cdot\frac{\pi}{2})$ gilt

$$r_n = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}},\quad \tan(\varphi_n) = \frac{1}{n}\cdot\frac{\pi}{2}.$$

Daraus folgt

$$\left(r_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_n}\right)^n = r_n^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\varphi_n} = \sqrt{\left(1+\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\right)^n}\cdot\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\varphi_n}.$$

Es gilt nun für grosse $n$ näherungsweise $\tan(\alpha) \approx \alpha$, d.h. $\varphi_n \approx \frac{1}{n}\cdot\frac{\pi}{2}$ und damit

$$n\varphi_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{\pi}{2}.$$

Setzt man dies in den Exponenten und den Radikanden ein, erhält man schliesslich

$$\left(1+\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\right)^n\approx1+\frac{1}{n}\cdot\frac{\pi^2}{4}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1.$$

Damit gilt also die Definition der Eulerschen Zahl auch für komplexe Zahlen.